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普陀区2012高三数学二模文科


上海市普陀区 2012 届高三第二学期 上海市普陀区 2012 届高三第二学期 4 月质 量调 研 数学试 卷(文科)
说明: 分钟。本套试卷另附答题纸,每道题的解答必须 说明:本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。本套试卷另附答题纸,每道题的解答必须 .. 写在答题纸的相应位置, 写在答题纸的相应位置,本卷上任何解答都不作评分依据。 ............

............. 填空题( 小题, 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,每个空格填对得 4 分. 1.设函数 f ( x ) =

1 ?1 ?1 __________. 的反函数为 f ( x) ,则 f ( ?2) = __________. 则 x +1
2

________. 2.设集合 M = {x | 0 ≤ x ≤ 2} ,集合 N = {x | x ? 4 x + 3 ≥ 0} ,则 M I N = ________. ____________. 3.方程 log 3 ( x ? 4 x ? 5) = log 3 ( x + 1) 的解是 x = ____________.
2

是虚数单位) _______________. 4.若复数 z 满足 i ? z = 2 + i (其中 i 是虚数单位) 则 | z ? 1| = _______________. ,
2 准线方程是______________ ______________. 5.抛物线 x = 8 y 的准线方程是______________.

?x + 2 y ≤ 2 ? 6.若变量 的最大值为___________. 6.若变量 x, y 满足条件 ? 3 x ? y ≥ 1 ,则 z = x ? 2 y 的最大值为___________. ? y≥0 ?
的展开式中, 的系数为 7.在二项式 ( ax + 1) ( a ∈ R ) 的展开式中, x 的系数为 21 ,则 lim( a + a + L + a ) 的
7
3
3 6 3n n →∞

值是__________. 值是__________. __________ 8. 角

α 的 终 边 经 过 直 线

2 x + y = 0 与 曲 线 y = 3 ? x2 的 交 点 , 则

cos 2(π ? α ) = ____________.

x
行列式 9.

1

m +1 x ?1

的取值范围是__________ __________. 的值在 x ∈ [?1,1] 上恒小于 0 , 则实数 m 的取值范围是__________.

10. 10. 在 ?ABC 中,| AB | = 1 ,| AC | = 2 且 AB 与 AC 的夹角为 的长为______________. 的长为______________. ______________

uuu r

uuur

π
3

则 , BC 边上的中线 AD

11.在北纬 两点, 11.在北纬 45 圈上有 A、B 两点,若该纬度圈上 A、B 两点间的劣弧

o

y l

长为

2 πR( R 为 地 球 的 半 径 ) , 则 A、B 两 点 间 的 球 面 距 离 4
.

P
x F1

O

F2



12.如图, 12.如图, 如图 已知 F1、F2 是双曲线 L:

x2 y2 ? = 1 (a > 0、b > 0) 的左、 的左、 右 a2 b2

第 12 题图

第1页

焦点, 焦点,过点 F1 且斜率为 2 的直线 l 交双曲线 L 的左支于点 P .若直线 PF2 ⊥ 直线 l ,则 值为___________. 值为___________. 13.点 13.点 Q ( x, y ) 是函数 y =

a 的 b

x2 ? 1 图像上任意一点,点 P (0, 5) ,则 P、Q 两点之间距离的最 图像上任意一点, 两点之间距离的最 2

小值是 小值是_____________. 14. 个整数形成的样本数据中,至少有六个互不相同的整数,若平均数、中位数、 14.由 8 个整数形成的样本数据中,至少有六个互不相同的整数,若平均数、中位数、唯一 可能成为样本数据中的最大 样本数据中的最大整 的众数和全距(即样本中最大数与最小数之差 最大数与最小数之差) 的众数和全距(即样本中最大数与最小数之差)都是 8 ,则可能成为样本数据中的最大整数 是_____________. 选择题( 本大题共有 小题, 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 小题,每题选对得 5 分. 15. “ 上是增函数” 15. a = 2 ”是“函数 f ( x) = | x ? a | 在 [3 + ∞ ) 上是增函数”的 A.充分非必要条件; B.必要非充分条件 必要非充分条件; A.充分非必要条件; B.必要非充分条件; 充分非必要条件 16.下列命题中, 16.下列命题中,正确的是 ( )

C.充要条件 D.非充分非必要条件 非充分非必要条件. C.充要条件 ; D.非充分非必要条件. ( )

A. 若 | a | = | b | ,则 a = b 或 a = ?b ; B. 若 a ? b = 0 ,则 a = 0 或 b = 0 ; C. 若 ka = 0 ,则 k = 0 或 a = 0 ;

r

r

r

r

r

r

r r

r

r

r

r

r

r

r

r

都是非零向量, D. 若 a 、 b 都是非零向量,则 | a + b | > | a ? b | . ( )

r

r

r

r

r r

17. 恒成立, 17.已知函数 f ( x ) = cos(2 x + ? ) 满足 f ( x ) ≤ f (1) 对 x ∈ R 恒成立,则 A. 函数 f ( x + 1) 一定是偶函数 ; 一定是奇函数; C.函数 f ( x + 1) 一定是奇函数; 一定是偶函数; B. 函数 f ( x ? 1) 一定是偶函数; 一定是奇函数. D. 函数 f ( x ? 1) 一定是奇函数.

18.某银行有一自动取款机,在某时刻恰有 18.某银行有一自动取款机,在某时刻恰有 k ( k ∈ N ) 个人正在使用或等待使用该取款机的

概率为 p ( k ) ,根据统计得到 p ( k ) = ? 2

? 1 k ?( ) ? p (0),(0 ≤ k < 5)
,则在该时刻没有人正在使 则在该时刻没有人正在使 时刻没有

?0 ?

, ≥ 5) (k
( C. )

用或等待使用该取款机的概率为 A.

8 ; 15

B.

4 ; 7

32 ; 63

D.

16 . 31

三、解答题(本大题满分 74 分) 答题(

19. (本题满分 19. 本题满分 12 分) ( 已知一个几何体的主视图和左视图均如图 已知一个几何体的主视图和左视图均如图 1,俯视图如图 试描述该几何体的形状,并求出该几何体的体积. 2,试描述该几何体的形状,并求出该几何体的体积.

2

2

2

图1

图2

第 19 题图
第2页

20. (本题满分 20. 本题满分 12 分,其中第一小题 6 分,第二小题 6 分) ( 已知向量 a = ( ,

uu r r r 1 1 3 sin x + cos x) 和向量 b = (1, f ( x)) ,且 a∥b . 2 2 2

最小正周期和最大值 周期和最大值; (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和最大值; (2)已知 ?ABC 的三个内角分别为 A, B, C ,若有 f ( A ?

π
3

) = 3 , BC = 7 ,

sin B =

21 的长度. ,求 AC 的长度. 7

21. (本题满分 21. 本题满分 14 分,其中第一小题 7 分,第二小题 7 分) (
2k k 由等式 (1 + i ) = 2 ? i ( i 是虚数单位 ) 成立的所有正整数 k ,按从小到大顺序排列所

形 成 的 数 列 记 为 { an } , S n 是 数 列 { an } 的 前 n 项 和 , 且 数 列 { bn } 满 足 关 系 :

bn = S n ? n + 1 ( n ∈ N ? ) .
的通项公式; (1)试求数列 { an } 和 { bn } 的通项公式; (2)若甲数列的每一项都是乙数列的项,且乙数列中至少有一项不是甲数列的项,则称甲 若甲数列的每一项都是乙数列的项,且乙数列中至少有一项不是甲数列的项, 数列是乙数列的真子数列.试证明 的真子数列. 数列是乙数列的真子数列.试证明:数列 { bn } 是数列 { an } 的真子数列.

22.( 22.(本题满分 18 分,其中第一小题 6 分,第二小题 6 分,第三小题 6 分)

x2 y2 2 2 为圆心, 以椭圆 C : 2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 的中心 O 为圆心, a + b 为半径的圆称为该 a b
椭圆的“准圆” 椭圆的“准圆”.设椭圆 C 的左顶点为 A ,左焦点为 F ,上顶点为 B ,且满足 AB = 2 ,

S ?OAB =

6 S ?OFB . 2

及其“准圆”的方程; (1)求椭圆 C 及其“准圆”的方程;
2 2 两点, (2)若过点 P (0, a + b ) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点,当 OM ? ON = 0 时,

试求直线 l 交“准圆”所得的弦长; 准圆”所得的弦长; (3)射线 y =

3 x ( x ≥ 0) 与椭圆 C 的“准圆”交于点 P ,若过点 P 的直线 l1 , l 2 与椭圆 准圆”

第3页

C 都只有一个公共点,且与椭圆 C 的“准圆”分别交于 R, T 两点,试问弦 RT 是否为“准 都只有一个公共点, 准圆”分别交于 两点, 是否为“
圆”的直径?若是,请给出证明;若不是,请说明理由. 的直径?若是,请给出证明;若不是,请说明理由.

23. (本题满分 23. 本题满分 18 分,其中第一小题 5 分,第二小题 6 分,第三小题 7 分) ( 已知数列 { an } 是仅从 ?1 , 0 ,1 这三个整数中取值所得 到的数列, 为常数,经过右框图中的程序处理, 到的数列,λ 为常数,经过右框图中的程序处理,输出 S 和 T. 且输出的 (1)若输入 n = 50 及一个确定的 λ 值,且输出的 S 和 T 分别满 T 分别满足 S = ?50λ , = 34 .试求总体 a1 , a2 ,L , an 的标 准差; 准差; 且输出的 分别满足 (2)若输入 n = 10 , λ = 1 ,且输出的 S 和 T 分别满足 开始 输入 n, λ

i ← 1, S ← 0, T ← 0

S ← S + ai
T ← T + ( ai + λ )
i ← i +1

2

S = 6 , T = 30 .试求满足条件的数列 { an } 的个数; 的个数;
已知数列 { an } 中恰有 54 项的值为 0 , 输出的 S 的 ( 3) 已知数列 且 恒成立, 值为 20 ,若对于任意的 λ < 4 都有 T > 106 恒成立,试求 的最小值. 数列 { an } 的项数 n 的最小值.

i≤n
否 输出 S , T

结束

第 23 题图

第4页

学年第二学期高三数学质量调研参考答案 数学质量调研 2011 学年第二学期高三数学质量调研参考答案
( 1) ?

(PT) PT)

小题, 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,每个空格填对得 4 分. 填空题(

3 (2 (3 (4 (5 (6 (文 ; 2) [0,1] ; 3) 6 ; 4) 2 ; 5) y = ?2 ; 6) 文) 2 ; ( ( ( ( ( ( 2

( 7)

3 7 π 1 (8 (9 (10 (文 ; 8) ? ; 9) (1,+∞ ) ; 10) ( ( (10) ; 11) 文) R ; (11) ( 2 3 2 3

(文 (12) 文) 12) (

1 (13 (14 ; 13) 11 ; 14) 13 . (13) (14) 2

小题, 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 小题,每题选对得 5 分. 选择题( 15 16 17 18 A C A D

三、解答题(本大题满分 74 分) 解答题( 的正四棱锥, 19. (文 19. 文)该几何体的上部是一个底面对角线和侧棱长均为 2 的正四棱锥,下部是一个底面 ( 的圆柱。 直径和母线长均为 2 的圆柱。 因而该几何体的体积为: 因而该几何体的体积为: V =

1 1 2 2 3 ? ? 2 ? 3 + π ?12 ? 2 = 2π + . 3 2 3

(方法二):以 D 为坐标原点 O 、以 DB、DC、DA 方法二):以 ): 轴正向, 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正向,如图 3,建立空间直 角坐标系 O ? xyz 。由 AD ⊥ 底面 BCD 于 D ,

z A

AB 斜交底面 BCD 于 B ,则 ∠ABD 就是侧棱 与底面 所成的角, AB 与底面 BCD 所成的角,即 ∠ABD = 60° 。 BD = a DC = 2 BD = 2a 设 , 得


B x

O (D) E 图3

C y

AD = BD tan 60° = 3a ; B(a, 0, 0) 、 A(0, 0, 3a ) 、 C (0, 2a, 0) ;

uuu r a uuu uuur r a BC 中点为 E ( , a, 0) ,则 DB = OD = (a, 0, 0) 、 AE = ( , a, 3a ) , 2 2 uuu uuu r r 设异面直线 AE 与 BD 所成的角为 θ ,向量 BD 与 AE 的夹角为 α ,则

uuu uuu r r | BD ? AE | 1 r r cos θ = | cos α | = uuu uuu = , | BD || AE | 17
∴ 异面直线 AE 与 BD 所成角大小为 arccos

17 . 17

第5页

20. ( 1 ) 由条件得

1 1 3 π f ( x ) ? ( sin x + cos x ) = 0 , 得 f ( x ) = 2 sin( x + ) . 则函数 3 2 2 2

f (x ) 的周期为 2π ,最大值为 2.
( 2) 由 f ( A ?

π
3

) = 3 得 2 sin A = 3 ,即 sin A =

3 BC AC = ,由正弦定理得 , 2 sin A sin B

又 BC =

7 , sin B =

21 BC ? sin B = 2. ,则 AC = 7 sin A

2k k 2 k k k k 21. (1)解:由 (1 + i ) = 2 ? i ? [(1 + i ) ] = 2 ? i = 2 ? i ,由复数相等的条件得

i k = i ? k = 4m + 1(m ∈ N ). 因而数列 {a n } 的通项公式为 a n = 4n ? 3(n ∈ N ? ).
由 b n = S n ? n + 1 得: b n =

n(1 + 4n ? 3) ? n + 1 = 2 n 2 ? 2 n + 1 ,即 b n = 2 n 2 ? 2 n + 1 . 2
2

* 必为偶数, (2)即对任意的 n ∈ N , bn = 2n ? 2n + 1 = 2n( n ? 1) + 1 ,注意到 n ( n ? 1) 必为偶数,

* 记 n ( n ? 1) = 2( k ? 1) ( k ∈ N ) ? bn = 2 ? 2( k ? 1) + 1 = 4k ? 3 ,
* * 这表明对任意的 n ∈ N ,必存在 k ∈ N ,使得 bn = 2n ? 2n + 1 = 4k ? 3 = a k ,则数列

2

{ bn } 的每一项都是数列 { an } 的项; 的项;
* 而对于 a 3 = 9 ,若存在 n ∈ N 使得 bn = a3 = 9 ,则 2n ? 2n + 1 = 9 ? n( n ? 1) = 4 ,此

2

上无解, 中的项, 方程的 n 在 N 上无解,这表明数列 { an } 中至少有第三项 a3 不是数列 { bn } 中的项,因而数 的真子数列. 列 { bn } 是数列 { an } 的真子数列.

?

22( 23) 22(理) (文 23) 由框图知
[

S = a1 + a2 + L + an , T = ( a1 + λ ) + ( a2 + λ ) + L + ( an + λ )
2 2

2

(1)由 S = ?50λ 得

a1 + a2 + L + an = ?λ ,即总体均值为 ?λ ,从而总体标准差为 50
2 2

( a1 + λ ) + ( a2 + λ )
n

+ L + ( an + λ )

2

=

T 34 17 = = n 50 5

第6页

(2)设 a1 , a2 ,L , an 中取值为 1, 0, ?1 的分别有 k , l , m 个,则

?k + l + m = 10 ? ? k ?m =6 ? 4k + l = 30 ?
解得 k = 7, l = 2, m = 1 从而数列 {an } 共有 C10C3 C1 = 360 个。
7 2 1

(3)设 a1 , a2 ,L , an 中取值为 1, 0, ?1 的分别有 k , l , m 个,则 由 T>106 得 即

T = k (1 + λ ) + l ( 0 + λ ) + m ( ?1 + λ ) > 106
2 2 2

( k + l + m ) λ 2 + 2 ( k ? m ) λ + k + m > 106
k + l + m = n, k ? m = 20, l = 54 代入,得 代入, nλ 2 + 40λ + n ? 54 > 106 n> 40 ( 4 ? λ )
,此不等式对一切 λ < 4 恒成立



整理得

λ2 +1

当λ < 4 时

40(4 ? λ ) 40 40 = ≤ ≈ 162.5 2 17 λ +1 2 17 ? 8 (4 ? λ ) + ?8 4?λ

? k ? m = 20 ? 所以 n ≥ 163 ,又因为 ? l = 54 ?k + l + m = n ?
为偶数, 得 n = 2m + 74, 为偶数,则满足条件的 n 的最小值为 n = 164 . 故数列 {an } 至少有 164 项. 22(文)解: 1)设椭圆 C 的左焦点 F ( ? c ,0), c > 0 ,由 S ?OAB = ( (1 (

6 6 S ?OFB 得 a = c, 2 2

2 2 2 2 2 2 2 又 AB = 2 ,即 a + b = 4 且 b + c = a ,所以 a = 3, b = 1 ,

x2 准圆” 则所求的椭圆 C 的方程为 + y 2 = 1 ;椭圆 C 的“准圆”方程为 3

x2 + y2 = 4.

第7页

(2)依条件直线 l 不垂直于 x 轴,且过点 P (0,2) ,可设直线 l : y = kx + 2( k ∈ R ) ,且与 椭圆 C 的交点 M ( x 1 , y 1 )、N ( x 2 , y 2 ) ,

? y = kx + 2 ? 联列方程组 ? x 2 2 ? 3 + y =1 ?

代入消元得: 代入消元得: (1 + 3k ) x + 12kx + 9 = 0
2 2

2 2 2 而 ? = 144k ? 36(1 + 3k ) = 27 k + 3 > 0

由 x1 + x 2 =

? 12k 9 , x1 x 2 = 可得 2 1 + 3k 1 + 3k 2

4 ? 3k 2 y1 y 2 = (kx1 + 2)(kx 2 + 2) = 1 + 3k 2
由 OM ? ON = 0 得 x 1 x 2 + y1 y 2 = 0 ,即

9 4 ? 3k 2 13 ? 3k 2 + = =0 1 + 3k 2 1 + 3k 2 1 + 3k 2

所以 k =
2

2 13 3 = ,则点 O 到直线 l 的距离为 . 2 3 2 1+ k 3 = 13 . 4

所以所求的弦长为 2 4 ? (3)射线 y =

3 x ( x ≥ 0) 与椭圆 C 的“准圆” x 2 + y 2 = 4 交于点 P (1, 3 ) , 准圆”

且与椭圆 只有一个交点的直线不垂直于 易知过点 易知过点 P (1, 3 ) 且与椭圆 C 只有一个交点的直线不垂直于 x 轴,

? y ? 3 = k ( x ? 1) ? 代入消元整理得: 设直线方程为 y ? 3 = k ( x ? 1) , 联列方程组 ? , 代入消元整理得: x2 + y2 = 1 ? 3 ?
(1 + 3k 2 ) x 2 ? (6k 2 ? 6 3k ) x + 3k 2 ? 6 3k + 6 = 0 ,
因为只有一个公共点, 所以 ? = 0 , k + 因为只有一个公共点, 即
2

3 k ? 1 = 0 . 直线 l 1 , l 2 的斜率 k1 , k 2 是关于 k

的方程的两个根, 的方程的两个根,所以 k 1 k 2 = ?1 ,得 l 1 ⊥ l 2 ,即 PR ⊥ PT 准圆” 准圆”的直径. 因为点 P 在“准圆”上,所以 RT 为“准圆”的直径.

23( (1 23(理)解: 1)设椭圆 C 的左焦点 F ( ? c ,0), c > 0 ,由 S ?OAB = (

6 6 S ?OFB 得 a = c, 2 2

第8页

又 AB = 2 ,即 a + b = 4 且 b + c = a ,所以 a = 3, b = 1 ,
2 2 2 2 2

2

2

x2 准圆” 则所求的椭圆 C 的方程为 + y 2 = 1 ;椭圆 C 的“准圆”方程为 3

x2 + y2 = 4.

( 2 ) 证 明 : ① 当 弦 ED ⊥ x 轴 时 , 交 点 M、N 关 于 x 轴 对 称 , 又 OM ? ON = 0 则

OM ⊥ ON ,可设 M ( t , t )、N ( t ,? t ) ,

t2 3 + t2 = 1得 t = ,此时原点 O 到弦 ED 的 2 3

距离 d = | t | =

3 ; 2

轴时, ②当弦 ED 不垂直于 x 轴时,设直线 ED 的方程为 y = kx + b ( k , b ∈ R ) ,且与椭圆 C 的 交点 M ( x 1 , y 1 )、N ( x 2 , y 2 ) ,

? y = kx + b ? 联列方程组 ? x 2 2 ? 3 + y =1 ?

代入消元得: 代入消元得:

(1 + 3k 2 ) x 2 + 6kbx + 3b 2 ? 3 = 0
由 x1 + x 2 =

? 6kb 3b 2 ? 3 , x1 x 2 = 可得 1 + 3k 2 1 + 3k 2 b 2 ? 3k 2 1 + 3k 2

y1 y 2 = ( kx 1 + b )( kx 2 + b ) =

由 OM ? ON = 0 得 x 1 x 2 + y1 y 2 = 0 即

3b 2 ? 3 b 2 ? 3 k 2 4b 2 ? 3 k 2 ? 3 + = = 0, 1 + 3k 2 1 + 3k 2 1 + 3k 2

2 所以 b =

3 2 ( k + 1) 4

2 2 2 2 2 2 2 成立, 此时 ? = 36k b ? 4(1 + 3k )( 3b ? 3) = 12( 3k ? b + 1) = 27 k + 3 > 0 成立,

则原点 O 到弦 ED 的距离 d =

b k2 +1

=

b2 = k2 +1

3 3 = 4 2

综上得原点 O 到弦 ED 的距离为

3 3 的长为定值. , ED = 2 4 ? = 13 , 则 因此弦 ED 的长为定值. 2 4

第9页

ERROR: syntaxerror OFFENDING COMMAND: --nostringval-STACK:

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