当前位置:首页 >> 学科竞赛 >> 高二竞赛 解几,导数数列训练(免费超好)

高二竞赛 解几,导数数列训练(免费超好)


高二竞赛 一、解几

解几、导数、数列训练

1.已知曲线 c 上任意一点 P 到两个定点 F1((1)求曲线 c 的方程;

3

,0)和 F2(

3

,0)的距离之和为 4.

(2)设过(0,-2)的直线 l 与曲线 c 交于 C

、D 两点,且 OC 方程.

? OD ? 0 ( O

为坐标原点) ,求直线 l 的

解: (1)根据椭圆的定义,可知动点 M 的轨迹为椭圆,其中 a ? 2 , c ? 则b ?
a ?c
2 2

3,

? 1 .所以动点 M 的轨迹方程为

x

2

? y ?1.
2

4

(2)当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,设 C ( x1 , y1 ) , D ( x 2 , y 2 ) , ∵ O C ? O D ? 0 ,∴ x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 . ∵ y1 ? kx1 ? 2 , y 2 ? kx 2 ? 2 , ∴ y1 y 2 ? k x1 ? x 2 ? 2 k ( x1 ? x 2 ) ? 4 .∴ (1 ? k ) x1 x 2 ? 2 k ( x1 ? x 2 ) ? 4 ? 0 .… ①
2 2

???? ????

? x2 2 ? y ? 1, ? 由方程组 ? 4 ? y ? kx ? 2. ?

得 ?1 ? 4 k

2

?x

2

? 1 6 kx ? 1 2 ? 0 .

则 x1 ? x 2 ?

16k 1 ? 4k
2

, x1 ? x 2 ?
12 1 ? 4k
2

12 1 ? 4k
2


?4? 0.

代入①,得 ? 1 ? k 2 ? ?

? 2k ?

16k 1 ? 4k
2

即 k 2 ? 4 ,解得, k ? 2 或 k ? ? 2 .所以,直线 l 的方程是 y ? 2 x ? 2 或 y ? ? 2 x ? 2 .

2.已知点 P(4,4) ,圆 C: ( x ? m ) 2

? y

2

? 5 ( m ? 3) 与椭圆

E:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0)

有一个公共

点 A(3,1) 1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,直线 PF1 与圆 C 相切. ,F (Ⅰ)求 m 的值与椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求 A P ? A Q 的取值范围. 【解】 (Ⅰ)点 A 代入圆 C 方程,得 (3 ? m ) 2 ? 1 ? 5 .m<3,∴m=1. 圆 C: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 5 .设直线 PF1 的斜率为 k, 则 PF1: y ? k ( x ? 4 ) ? 4 ,即 kx ? y ? 4 k ? 4 ? 0 . ∵直线 PF1 与圆 C 相切,∴
| k ? 0 ? 4k ? 4 | k
2

??? ???? ?

y P

?

5


A

?1

F1

O

C Q

F 1 2

x

解得 k 当 k= 当 k=

?

11 2

,或k ?

1 2


36 11

11 2 1 2

时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为

,不合题意,舍去.

时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为-4,∴c=4.F1(-4,0) 2(4,0) ,F .
2 ? 2 ?6 2

2a=AF1+AF2= 5
??? ?

,a
??? ?

?3 2

,a2=18,b2=2.椭圆 E 的方程为:
??? ???? ?

x

2

?

y

2

? 1.

18

2

y ) 1 (Ⅱ) A P ? (1, 3) ,设 Q(x,y) A ? ( ? ,3 ? ,Q x

, A P ? A Q ? ( x ? 3) ? 3( y ? 1) ? x ? 3 y ? 6 .



x

2

?

y

2

? 1 ,即 x ? (3 y ) ? 18
2 2
2 2

,而 x 2 ? (3 y ) 2 ≥ 2 | x | ? | 3 y | ,∴-18≤6xy≤18. 的取值范围是[0,36]. x ? 3 y 的取值范围是[-6,6].

18

2

则 ( x ? 3 y)2

? x ? (3 y ) ? 6 xy ? 18 ? 6 xy

∴ A P ? A Q ? x ? 3 y ? 6 的取值范围是[-12,0].
3 2

??? ???? ?

3.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为
l : y ? x ? m 交椭圆于 A , B 两不同的点.
(1) 求 椭 圆 的 方 程 ; ( 2 ) 求 m的 取 值 范 围 ;

,且经过点 M (4,1) . 直线

y M

(3) 若 直 线 l 不 过 点 M , 求 证 : 直 线 M A, M B 与 x 轴 围 成 一 个 等 腰 三 角 形 .

【解】
(1) 设 椭 圆 方 程 为 x a
2 2

?

y b

2 2

? 1, 因 为 e ? 16 a
2

3 2

,所以a
2

2

? 4b ,
2 2

O B A
l

x

又 椭 圆 过 点 M ( 4 ,1), 所 以 故椭圆方程为 x
2

?

1 b
2

? 1, 解 得 b

? 5, a

? 20,

?

y

2

? 1.

20

5

(2)将 y ? x ? m 代 入 ? ? (8 m )
2

x

2

?

y

2

? 1并 整 理 得 5 x

2

? 8m x ? 4m

2

? 20 ? 0.

20 ? 20(4 m
2

5

? 20) ? 0, 得 ? 5 ? m ? 5.

2

(3) 设 直 线 M A , M B 斜 率 分 别 为 k 1 和 k 2 , 只 要 证 k 1 ? k 2 ? 0 . 设 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则 x1 ? x 2 ? ? k1 ? k 2 ? y1 ? 1 x1 ? 4 ? y2 ? 1 x2 ? 4 ? 8m 5 , x1 x 2 ? 4m ? 20
2

.

5

( y 1 ? 1)( x 2 ? 4 ) ? ( y 2 ? 1)( x1 ? 4 ) ( x1 ? 4 )( x 2 ? 4 )

分 子 ? ( x1 ? m ? 1)( x 2 ? 4 ) ? ( x 2 ? m ? 1)( x1 ? 4 ) ? 2 x1 x 2 ? ( m ? 5 )( x1 ? x 2 ) ? 8 ( m ? 1) ? 2(4m ? 20)
2

?

8m (m ? 5) 5

? 8 ( m ? 1) ? 0 ,

5

因 此 M A , M B 与 x轴 所 围 的 三 角 形 为 等 腰 三 角 形 .

4.已知椭圆 C 1 :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为

3 3

,直线 l : y ? x ? 2 与以原点为圆心、以椭

圆 C 1 的短半轴长为半径的圆相切. (I)求椭圆 C 1 的方程; (II)设椭圆 C 1 的左焦点为 F1 ,右焦点 F2 ,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直线 l 2 垂直 l1 于点 P ,线段 P F 2 垂直平分线交 l 2 于点 M ,求点 M 的轨迹 C 2 的方程; (III) C 2 与 x 轴交于点 Q , 设 不同的两点 R , S 在 C 2 上, 且满足 Q R ? R S ? 0, 求 Q S 的取值范围.
3 3 c a
2 2

??? ??? ? ?

??? ?

解: (Ⅰ)∵ e ?

,? e ?
2

?

a ?b
2

2

c
2

2

?

1 3

,? 2 a ? 3 b
2

2

∵直线 l : x ? y ? 2 ? 0 与圆 x ? y ? b 相切,∴
2 2

2 2

? b ,? b ?

2,b

2

? 2

∴a ? 3
2

椭圆 C1 的方程是

x

2

?

y

2

?1

3

2

(Ⅱ)∵MP=MF2,∴动点 M 到定直线 l 1 : x ? ? 1 的距离等于它到定点 F1(1,0)的距离, ∴动点 M 的轨迹是 C 为 l1 准线,F2 为焦点的抛物线 ∴点 M 的轨迹 C2 的方程为 (Ⅲ)Q(0,0) ,设 R ( ∵ QR ? RS ? 0
y
2 1

y

2

? 4x
2 2

4

, y 1 ), S (
2 2

y

4
2

, y2 )

∴ QR ? (

y1 4

2

, y 1 ), RS ? (

y 2 ? y1
2

2

4

, y 2 ? y1 )



y1 ( y 2 ? y1 ) 16

? y1 ( y 2 ? y1 ) ? 0
16 y1 )

∵ y 1 ? y 2 , y 1 ? 0 ,化简得 ∴ y 2 ? ? ( y 1 ? ∴ y 2 ? y1 ?
2 2

256 y1
2

? 32 ? 2 256 ? 32 ? 64

3

当且仅当 y 1 ?
2

256 y
2

2 1

, y 1 ? 16 , y 1 ? ? 4 时等号成立
2

∵ | QS |?
2

(

y2 4

2

) ? y2 ?
2

1 4

( y 2 ? 8 ) ? 64 ,又 ? y 2 ? 64
2 2 2

∴当 y 2 ? 64 , y 2 ? ? 8时,| QS | min ? 8 5,故 | QS | 的取值范围是 [ 8 5 , ?? ) 二、导数及其应用 1.设函数 f ( x ) ? x ( x ? a )( x ? b ) , a , b ? R 。 (1)若 a ? b , ab ? 0 ,过两点 O (0, 0 ) 和 A ( a , 0 ) 的中点作 x 轴的垂线交曲线 y ? f ( x ) 于点
P ( x 0 , f ( x 0 ) ) ,求证:曲线 y ? f ( x ) 在点 P 处的切线 l 过点 ( b , 0 ) ;

(2)若 b ? a ? 0 ,当 x ? [ 0 , | a | ] 时 f ( x ) ? 2 a 恒成立,求实数 a 的取值范围。
2

【解】 (1)由已知得 x 0 ? 即P (
a 2 , a
2

a 2

, f ( x0 ) ?
a 2
3

a 2

? (?

a 2

)?(

a 2

? b) ?

a

2

(b ?

a 2

),

4

(b ?

) ),
2 / 2

4

由 f ( x ) ? x ( x ? a )( x ? b ) ? x ? ( a ? b ) x ? abx ,得 f ( x ) ? 3 x ? 2( a ? b ) x ? ab ,
a 2 a a / a ? 曲线 y ? f ( x ) 在点 P 处的切线 l 的斜率 k ? f ( ) ? 3( ) ? 2 ( a ? b ) ? ? a b ? ? , 2 2 2 4
2

方程为 y ? 当 x ? b 时, y ?
a

a
2

2

(b ? a

a 2

)? ? a

a
2

2

(x ? a

a 2

), a
2

4 (b ?

4 (b ?

)?0, 4 2 4 2 4 2 4 2 所以点 ( b , 0 ) 在切线 l 上,即曲线 y ? f ( x ) 在点 P 处的切线 l 过点 ( b , 0 ) 。
3 2 2 / 2 2

)? ?

) ,故 y ?

(b ?

a

)?

a

2

(b ?

a

(2)当 b ? a 时, f ( x ) ? x ? 2 a x ? a x , f ( x ) ? 3 x ? 4 a x ? a ,
2 2 / 由 f ( x ) ? 0 ,即 3 x ? 4 a x ? a ? 0 ,解得 x ?

a 3

,或 x ? a 。? a ? 0 ,故

a 3

? a

当a ?

a 3

,即 a ? 0 时,在 x ? (

a 3

, ? ? ) 上 f ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增,
/

故 f ( x ) 在 [ 0 , | a | ] 上单调递增,所以当 x ? | a | 时, f ( x ) 取得最大值
f (| a |) ? | a | ? 2 a ? a | a |? ? a ? 2 a ? a ? ? 4 a
3 3 2 3 3 3
3 2 依题意得 ? 4 a ? 2 a ,解得 a ? ?

3

1 2

,此时 ?
a 3

1 2

? a ? 0;
/

当a ?

a 3

,即 a ? 0 时, | a |? a ,在 x ? ( 0 ,
a 3
/

) 上 f ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增;

在x?(

, a ) 上 f ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减, a 3

所以当 x ?

时, f ( x ) 取得极大值,也是最大值,
a a
3

最大值为 f ( ) ? ( ) ? 2 a ? ( ) ? a ?
2 2

a

a 3

?

4 27

a ,

3

3

3

3

4

依题意得

4 27

a ? 2 a ,解得 a ?
3 2

27

,此时 0 ? a ?

27



2 2 1 27 )。 综上所述得实数 a 的取值范围为 ( ? , 0 ) ? (0 , 2 2

2.已知函数 f ( x ) ? ln x , g ( x ) ?

a x

( a ? 0 ) ,设 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) .

(Ⅰ)求 F ( x ) 在(0,3]内的最小值; (Ⅱ)是否存在实数 m , 使得函数 y ? g (
2a x ?1
2

) ? m ? 1 的图象与 y ? f (1 ? x ) 的图象恰好有
2

四个不同的交点?若存在,求出 m 的取值范围,若不存在,说明理由. 解.(Ⅰ) F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? ln x ? ( x ? 0 ) 则 ,
x a
F '( x ) ? 1 ? a
2

?

x?a
2

………1 分

x x x 因为 x ? (0, 3] , 所以当 a ? 3 时, F '( x ) ? 0 对 x ? (0, 3) 恒成立,

故 F(x)在(0,3)内单调递减, 分 (2

) ,
a 3
/

而 F(x)在 x=3 处连续 , 所以 F ( x ) m in ? F (3) ? ln 3 ?
/

………3 分

当 0 ? a ? 3 时, x ? (0, a ] 时 F ( x ) ? 0 , x ? ( a , 3) 时 F ( x ) ? 0 , 所以 F(x)在 (0, a ) 内单调递减,在 ( a , 3) 内单调递增。 所以 F ( a ) m in ? F ( a ) ? ln a ? 1 综上所述,当 a ? 3 时, F ( x ) m in ? ln 3 ? (Ⅱ)若 y ? g ( 四个不同交点, 即
1 2 x ?m ?
2

a 3 1

,当 0 ? a ? 3 时, F ( a ) m in ? ln a ? 1 。 的图象与 y ? f (1 ? x ) ? ln( x ? 1) 的图象恰有
2 2

2a x ?1
2

) ? m ?1 ?

1 2

x ?m ?
2

2
2

1 2
2

? ln( x ? 1) 有四个不同的根, 亦即 m ? ln( x ? 1) ?
2

1 2

x ?
2

1 2

有四个不同的根。

令 G ( x ) ? ln( x ? 1) ? 则 G ?( x ) ?
2x
2

1 2

x ?
2

1 2
3


? ? x ( x ? 1)( x ? 1)
2

x ?1 x ?1 x ?1 ? ( x ). G ( x ) 的变化情况如下表: 当 x 变化时 G
2

? x ?

2x ? x ? x



x
G ? ( x ) 的符号 G ( x ) 的单调性

( ? ? , 1) ?

(-1,0) ↘

(0,1) + ↗

(1, ? ? ) ↘

+ ↗
1 2

由表格知: G ( x ) 最小值 ? G ( 0 ) ?

, G ( x ) 最大值 ? G (1) ? G ( ? 1) ? ln 2 ? 0 。 1 2 ? 1 2

画出草图和验证 G ( 2 ) ? G ( ? 2 ) ? ln 5 ? 2 ?
y ? G ( x ) 与 y ? m 恰有四个不同的交点,
?当m ? ( 1 2 , ln 2 )时 , 函数 y ? g ( 2a x ?1
2

可知,当 m ? ( , ln 2 ) 时,
2

1

) ? m ? 1 的图象与 y ? f (1 ? x ) 的图象恰好有四
2

个不同的交点.

5

3.已知一次函数 g ( x ) ? ax ? b 对应的图象是函数 f ( x ) ? ln x ? ln x 在点(1,0)处的切线,
2

(1)求 a , b 的值.(2)令 F ( x ) ? x ( f ?( x ) ? g ?( x )) ,讨论 F(x)在 (0, ? ? ) 内的单调性及极值; (3)证明:当 x ? 1 时,方程 ln x ? ln x ? x ? 1 ? 0 没有实数根.。
2

解: (1)? f ? ( x ) ?

2 ln x x

?

1 x

, ? f ? (1) ? ? 1

由导数的几何意义可知 a ? ? 1 又? g ( x ) ? a x ? b 的图象过点(1,0),? 0 ? ? 1 ? b ? b ? 1 故所求 a , b 的值为-1,1. … (2) ? F ( x ) ? x ( f ? ( x ) ? g ? ( x )) ? x (
? F ?( x ) ? 2 x ?1 ? ? x?2 x

2 ln x x

?

1 x

? 1) ? 2 ln x ? x ? 1

, x ? 0 x , F ? ( x ), F ( x ) 变化情况如下表:

故 F(x)在(0,2)内是增函数,F(x)在 (2, ? ? ) 内是减函数,
? F(x)在 x ? 2 处取得极大值 F(2)=2ln2-3.

(3)由(2)知当 x ? 0 时, F ( x ) ? F (2) ? 2 ln 2 ? 3 ? 2(ln 2 ? 1) ? 1 ? 0
? x ( f ? ( x ) ? g ? ( x )) ? 0, 故 f ? ( x ) ? g ?( x ) ? 0

令 Q ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? ln x ? ln x ? x ? 1, x ? 0 则 Q ? ( x ) ? 0 ,
2

? Q ( x ) 在 (1, ? ? ) 内是减函数,故 Q ( x ) ? Q (1) 而 Q (1) ? 0 ? Q ( x ) ? 0
2 即 x>1 时,方程 ln x ? ln x ? x ? 1 ? 0 没有实数根.

4.设函数 f ( x ) ? ln( x ? a ) ? x ,
2

(1)若当 x ? ? 1 时, f ( x ) 取得极值,求 a 的值,并讨论 f ( x ) 的单调性; (2)若 f ( x ) 存在极值,求 a 的取值范围,并证明所有极值之和大于 ln 解: (1) f ? ( x ) ?
2

e 2



1 x?a

? 2 x ,依题意有 f ? ( ? 1) ? 0 ,故 a ?

3 2


? ? 3 2 ? ?

从而 f ? ( x ) ?

2x ? 3x ? 1 x? 3 2

?

( 2 x ? 1)( x ? 1) x? 3 2

? . f ( x ) 的定义域为 ? ? , ∞ ? ,

当?

3 2

? x ? ? 1 时, f ? ( x ) ? 0 ;

6

当 ?1 ? x ? ?

1 2

时, f ?( x ) ? 0 ;当 x ? ?
? ? 3 2 ? ? ? ? 1

1 2

时, f ?( x ) ? 0 .
? ? ? ? 1? ? 单调减少. 2?

? ? ? 从而, f ( x ) 分别在区间 ? ? , 1 ? , ? , ∞ ? 单调增加,在区间 ? ? 1, ? 2

(2) f ( x ) 的定义域为 ( ? a, ∞ ) , f ? ( x ) ? ?

2 x ? 2ax ? 1
2

x?a



方程 2 x ? 2 ax ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 4 a ? 8 .
2 2

①若 ? ? 0 ,即 ? 2 ? a ?

2 ,在 f ( x ) 的定义域内 f ? ( x ) ? 0 ,故 f ( x ) 无极值.
( 2 x ? 1) x? 2
2

②若 ? ? 0 ,则 a ?

2 或a ? ?

2 .若 a ?

2 , x ? ( ? 2, ∞ ) , f ? ( x ) ? ?



当x ? ?

2 2

? 时, f ?( x ) ? 0 ,当 x ? ? ? 2, ? ?

?

2 ? ?? 2 ? ?

? ? 2 , ∞ ? 时, f ? ( x ) ? 0 , ? ?? ? ? 2 ? ?
( 2 x ? 1) x? 2
2

所以 f ( x ) 无极值.若 a ? ?

2 , x ? ( 2, ∞ ) , f ? ( x ) ? ?

? 0 , f ( x ) 也无极值.

③若 ? ? 0 ,即 a ?

2 或a ? ?

2,
?a ? a ?2
2

2 则 2 x ? 2 ax ? 1 ? 0 有两个不同的实根 x1 ?

2

, x2 ?

?a ?

a ?2
2



2

当 a ? ? 2 时, x1 ? ? a, x 2 ? ? a , 从而 f ? ( x ) 有 f ( x ) 的定义域内没有零点,故 f ( x ) 无极值. 当a ?
2 时, x1 ? ? a , x 2 ? ? a , f ? ( x ) 在 f ( x ) 的定义域内有两个不同的零点,

由根值判别方法知 f ( x ) 在 x ? x1, x ? x 2 取得极值.综上, f ( x ) 存在极值时,
a 的取值范围为 ( 2, ∞ ) . f ( x ) 的极值之和 ?

为 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ln ( x1 ? a ) ? x1 ? ln ( x 2 ? a ) ? x 2 ? ln
2 2

1 2

? a ? 1 ? 1 ? ln 2 ? ln
2

e 2



二、数列问题 1.已知函数 f ? x ? ? x ? 1 ,设曲线 y ? f ? x ? 在点 ? x n , y n ? 处的切线与 x 轴的交点为 ? x n ? 1 , 0 ? ,其
2

中 x1 为正实数. (1)用 x n 表示 x n ? 1 ;
7

(2) x1 ? 2 ,若 a n ? lg

xn ? 1 xn ? 1

,试证明数列 ? a n ? 为等比数列,并求数列 ? a n ? 的通项公式;
n ? n ? 1? 2

(3)若数列 ? b n ? 的前 n 项和 S n ?

,记数列 { a n ? b n } 的前 n 项和 T n ,求 T n 。

解: (1)由题可得 f ? ? x ? ? 2 x ,所以在曲线上点 ? x n , f ? x n ? ? 处的切线方程为
y? f

? xn ? ?

2 f ? ? x n ? ? x ? x n ? ,即 y ? ? x n ? 1 ? ? 2 x n ? x ? x n ?

2 2 令 y ? 0 ,得 ? ? x n ? 1 ? ? 2 x n ? x n ? 1 ? x n ? ,即 x n ? 1 ? 2 x n x n ? 1

由题意得 x n ? 0 ,所以 x n ? 1 ?

xn ? 1
2

2 xn

xn ? 1
2

(2)因为 x n ? 1 ?

xn ? 1
2

2 xn

,所以 a n ? 1 ? lg

x n ?1 ? 1 x n ?1 ? 1

?1 ? lg ?1

? lg

2 xn xn ? 1
2

xn ? 2 xn ? 1
2

xn ? 2 xn ? 1
2

2 xn
? lg

? xn ? xn

? 1? ? 1?

2

2

? 2 lg

xn ? 1 xn ? 1

? 2 a n 即 a n ?1 ? 2 a n ,
x1 ? 1 x1 ? 1

所以数列 ? a n ? 为等比数列故 a n ? a1 2 (3)当 n ? 1 时, b1 ? S 1 ? 1 当 n ? 2 时, b n ? S n ? S n ? 1 ?

n ?1

? lg

?2

n ?1

? 2

n ?1

lg 3

n ? n ? 1? 2

?

n ? n ? 1? 2

? n

n ?1 所以数列 ? b n ? 的通项公式为 b n ? n ,故数列 ? a n ?b n ? 的通项公式为 a n ?b n ? n ? 2 lg 3

? Tn ? ?1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2
2

n ?1

? lg 3

① ② 故 T n ? ? n ? 2 n ? 2 n ? 1 ? lg 3

① ? 2 的 2 T n ? ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n ? lg 3

① ? ②得 ? T n ? ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?1 ? n ? 2 n ? lg 3

2.设数列{an}的各项都是正数,且对任意 n∈N*,都有 a13+a23+a33+…+an3=Sn2,其中 Sn 为数 例{an}的前 n 项和. (1)求证:an2=2Sn-an; (2)求数列{an}的通项公式; (3)设 bn=3n+(-1)n 1λ·2an(λ 为非零整数,n∈N*) ,试确定 λ 的值,使得对任意 n∈N*, 都有 bn+1>bn 成立.


8

解: (1)由已知,当 n=1 时,a13=a12, 当 n≥2 时,a13+a23+a33+…+an3=Sn2①

又∵a1>0,∴a1=1. a13+a23+a33+…+an-13=Sn-12②

由①②得,an3=(Sn-Sn-1) n-Sa-1) a+Sa-1)=an(Sn+Sn-1) (S (S . ∵an>0,∴an2=Sn+Sn-1, 又 Sn-1=Sa-aa,∴an2=2Sn-an.

当 n=1 时,a1=1 适合上式. ∴an2=2Sn-an. (2)由(1)知,an2=2Sn-an,③ 当 n≥2 时,an-12=2Sn-1-an-1,④

由③④得,an2-an-12=2(Sn-Sn-1)-an+an-1=an+an-1. ∵an+an-1>0,∴an-an-1=1,数列{an}是等差数列,首项为 1,公差为 1. ∴an=n. (3)∵an=n.,∴bn=3n+(-1)n 1λ·n. 要使 bn+1>bn 恒成立, 2 bn+1-bn=3n 1-3n+(-1)nλ·2n+1-(-1)n 1λ·2n=2× 3n-3λ(-1)n 1· 2n>0 恒成立, 即(-1)n 1λ<(
- + - - -

3 2

)n

-1

恒成立. )n
3 2
-1

ⅰ。当 n 为奇数时,即 λ<(

3 2

恒成立.又(

3 2

)n
3 2

-1

的最小值为 1.∴λ<1. 的最大值为-
3 2

ⅱ。当 n 为偶数时,即 λ>-( 即-
3 2

)恒成立,又-(

)n

-1

,∴λ>-

3 2



<λ<1,又 λ≠0,λ 为整数,∴λ=-1,使得对任意 n∈N*,都有 bn+1<bn.

3.设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? (1 ? ? ) ? ? a n ,其中 ? ? ? 1, 0 ; (1)证明:数列 { a n } 是等比数列; (2)设数列 { a n } 的公比 q ? f ( ? ) ,数列 { b n } 满足 b1 ? 求数列 { b n } 的通项公式; (3)记 ? ? 1 ,记 C n ? a n (
1 bn ? 1) ,求数列 {C n } 的前 n 项和为 T n ;

1 2

, b n ? f ( b n ?1 ) ( n ? N , n ? 2 ) ,
*

解: (1)由 S n ? (1 ? ? ) ? ? a n ? S n ?1 ? (1 ? ? ) ? ? a n ?1 ( n ? 2 ) , 相减得: a n ? ? ? a n ? ? a n ?1 ,∴
?
1? ?

an a n ?1 ?

?

?
1? ? 1

( n ? 2 ) ,∴数列 { a n } 是等比数列

(2) f ( ? ) ?

,∴ b n ?

bn 1 ? b n ?1

?

1 b n ?1

? 1,

bn

9

∴{

1 bn

} 是首项为

1 b1

? 2 ,公差为 1 的等差数列;∴

1 bn

? 2 ? ( n ? 1) ? n ? 1

∴bn ?

1 n ?1

(3) ? ? 1 时, a n ? ( )
2
2

1

n ?1

,∴ C n ? a n (
1
n ?1

1 bn

1 n ?1 ? 1) ? ( ) n , 2

∴ T n ? 1 ? 2 ( ) ? 3( ) ? ? ? n ( )
2 2 2 1

1

1





1 1 2 1 3 1 n T n ? ( ) ? 2 ( ) ? 3( ) ? ? ? n ( ) ② 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 n ?1 1 n ? n( ) , ②-①得: T n ? 1 ? ( ) ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 n ?1 1 n 1 n 1 n ? n ( ) ? 2 (1 ? ( ) ) ? n ( ) , ∴ Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 n 1 n 所以: T n ? 4 (1 ? ( ) ) ? 2 n ( ) 2 2

4.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 a 1 ? (Ⅰ)求证 {
1 Sn

1 2

且 a n ? 2 S n ? S n ?1 ? 0 ( n ? 2 ) .

} 是等差数列,并求出 a n 的表达式;

(Ⅱ) 若 b n ? 2 (1 ? n ) a n ( n ? 2 ) ,求证 b 22 ? b 32 ? ? ? b n2 ? 1 . 解: (I)证明:∵ S n ? a 1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n 又 a n ? 2 S n S n ?1 ? 0 ∴当 n≥2 时,an = Sn – Sn – 1

∴ S n ? S n ?1 ? 2 S n S n ?1 ? 0 ( n ? 2 ) ,
1 2

若 Sn = 0,则 an = 0,∴a1 = 0 与 a1 = ∴ 列 (2)解:由(I)知数列{
1 Sn 1 S n ?1 ? 1 Sn ?2 ? 0

矛盾! 又
1 S2 ? 1 S1

∴Sn≠0,Sn – 1≠0.
? 2



1 Sn

?

1 S n ?1

? 2

.∴{

1 Sn

}是首项为 2,公差为 2 的等差数

}是等差数列.∴
1 2n ? 1 2 ( n ? 1) ??

1 Sn

? 2 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n 即 S n ? 1

1 2n

∴当 n ? 2时 , a n ? S n ? S n ?1 ?
?1 ( n ? 1) ?2 ? ? ? 1 ?? (n ? 2) ? 2 n ( n ? 1) ?

2 n ( n ? 1)

又当 n ? 1时 , S 1 ? a 1 ?

1 2

∴ an

(III)证明:由(II)知 b n ? 2 (1 ? n ) ?

1 2 n (1 ? n )

?

1 n

(n ? 2)

10

∴ b 22 ? b 32 ? ? ? b n2 ?

1 2
2

?

1 3
2

?? ?

1 n
2

?

1 1? 2

?

1 2?3

?? ?

1 ( n ? 1) n

? (1 ?

1 2

)?(

1 2

?

1 3

)?? ? (

1 n ?1

?

1 n

) ?1?

1 n

?1

5.设数列 ? a n ? 的各项都是正数, a1 ? 1 ,

an ? 1 a n ?1 ? 1

?

a n ?1 2an

2 , bn ? a n ? a n .

(1)求数列 ? b n ? 的通项公式; (2)求数列 ? a n ? 的通项公式; (3)求证:
1 ? 1 ? ??? ? 1 ?1 .
bn ?1 bn

? 1 ? a1 ? a 2

?1 ? a 2 ? a 3

?1 ? a n ? a n ?1

2 2 解:⑴由条件得: a n ? 1 ? a n ? 1 ? 2 ? a n ? a n ?

∴ bn ?1 ? 2 bn

∵ b1 ? a12 ? a1 ? 2 ∴

?2

∴ ? b n ? 为等比数列∴ b n ? 2 n ⑵由 a n ? a n ? 2
2 n


1? 2

an ?
n?3

?1 ?

1 ?2 2

n?2

又 an ? 0
n?3

∴ an ?
1? 2
n?3

1? 2

n?2

?1

2
? 1? 2
n?2

⑶∵ a n ? 1 ? a n ?

1

? 2

?

1? 2

n?2

? ? 2 ?2
1

?2

n?2

?/?

??0

(或由 a n2 ? 1 ? a n ? 1 ? ? a n2 ? a n2 ? ? 2 n ? 1 ? 2 n 即 ? a n ? 1 ? a n ? ? a n ? 1 ? a n ? 1 ? ? 2 ) ,∴ ? a n ? 为递增数列.
n

∴ a n ? a n ? ? 1 ? a n ? a n ? ? 1 ? a n ? a n ? 1 从而
2

1

?1 ? a n ? a n ?1
? 1 2 ? 1 2
2

?

1 2
n



1

? 1 ? a1 ? a 2

?

1

?1 ? a 2 ? a 3

? ??? ?

1

?1 ? a n ? a n ?1

? ??? ?

1 2
n

n 1? ?1? ? 1? ? ? ? ? n 2? ?2? ? ?1? ? ? ? ? 1? ? ? ? 1 1 ?2? 1? 2

6.设等比数列{ a n }的前 n 项和 S n ,首项 a1 ? 1 ,公比 q ? f ( ? ) ? (Ⅰ)证明: S n ? (1 ? ? ) ? ? a n ;

?
1? ?

( ? ? ? 1, 0 ) .

11

(Ⅱ)若数列{ b n }满足 b1 ? (Ⅲ)若 ? ? 1 ,记 c n ? a n (

1 2

, b n ? f ( b n ?1 )( n ? N , n ? 2 ) ,求数列{ b n }的通项公式;
*

1 bn

? 1) ,数列{ c n }的前项和为 T n ,求证:当 n ? 2 时, 2 ? T n ? 4 .

解:(Ⅰ) S n ?
?

a 1 (1 ? q )
n

1? q

?

a 1 [1 ? ( 1?

?
1? ?

) ] ? (1 ? ? )[1 ? (

n

?
1? ?

?

) ] ? (1 ? ? ) ? ? (
n

?
1? ?

)

n ?1

1? ?

而 a n ? a1 (

1? ?

)

n ?1

?(

?
1? ?

)

n ?1

所以 S n ? (1 ? ? ) ? ? a n
,? 1 bn
1 n ?1

(Ⅱ) f ( ? ) ?

?
1? ?

,? b n ?

b n ?1 1 ? b n ?1

?

1 b n ?1

?1, ?{

1 bn

} 是首项为

1 b1

? 2 ,公差为 1 的等差数

列,

1 bn

? 2 ? ( n ? 1) ? n ? 1 ,即 b n ?

.

(Ⅲ) ? ? 1 时, a n ? ( )
2

1

n ?1

, ? cn ? an (

1 n ?1 ? 1) ? n ( ) bn 2

1

1 1 2 1 n ?1 1 1 1 2 1 3 1 n ? T n ? 1 ? 2 ( ) ? 3( ) ? ? ? n ( ) ? T n ? ? 2 ( ) ? 3( ) ? ? ? n ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 n ?1 1 n 1 n 1 n ( 相减得? T n ? 1 ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? n ( ) ? 2[1 ? ) ] ? n ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 n ?1 1 n?2 1 n ?1 ? Tn ? 4 ? ( ) ? n( ) ? 4 ,又因为 c n ? n ( ) ? 0 ,? T n 单调递增, ? T n ? T 2 ? 2, 2 2 2

故当 n ? 2 时, 2 ? T n ? 4 .

12


更多相关文档:

高二竞赛 解几,导数数列训练(免费超好)

44页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 高二竞赛 解几,导数数列训练(免费超好) 隐藏>> 高二竞赛 一...

数学解几、导数与数列习题汇编

数学解几导数数列习题汇编 5、. 已知两定点 满足...又 x 3 2 128 时,V 取得最大值 V1 = . 3...(2, 0). A 10 O F x ★高二 20 班课堂讲...

高中竞赛之导数(学生版)

高中数学竞赛讲义之极限与导数一、 基础知识 1、极限定义: (1)若数列{un}满足,对任意给定的正数ε ,总存在正数 m,当 n>m 且 n∈N 时,恒有|un-A|<ε...

高二数学(数列、解几、函数的导数)(5)

高二数学(数列解几、函数的导数) (5) 一. 数列基础) D.408 ) D.3 1...(Ⅱ)若坐标原点 O 到直线 的距离为 , 3 2 ,求 面积的最大值 三. 导数...

高中文科经典导数练习题及答案

高中文科经典导数练习题及答案_语文_高中教育_教育专区...则数列 ? ? 2n?1 ? 2 ? 的前 n 项和 Sn ...V最大值 ? 18 17.解: (1) f ( x) ? ax ...

数学解几、导数、数列汇编(文)

数学解几导数数列汇编(文)。3.已知函数 在 上...2,1] 的最 2 2 2 ★高二 20 班第 13 周...⑵若过 A、Q、F 三点的圆恰 好与直线 l: x ...

高二数学竞赛自编材料函数不等式导数

17页 5财富值 数列高考题汇编 47页 免费如要投诉...高二数学第二学期竞赛辅导资料 函数与导数【基础练习...考查了同学们分类讨 11 论的数学思想以及解不等式...

导数专项训练及答案

导数专项训练及答案_数学_高中教育_教育专区。导数复习...6. 等比数列 {an } 中, a1 ? 1, a2012 ? ...0 解:(1)由题意可知 ? r l ? 2 4 3 80 ...

导数解答练习答案

导数解答练习答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区...(2)运用函数的单调性及累加法证明数列不等式. 3....m ,再运用导数求 出其最小值从而使得问题获解. ...

高中数学竞赛讲义(十四)──极限与导数

高中数学竞赛讲义(十四)──极限与导数_高二数学_数学...[ 解 ] x +(2a-4)x+a >0; 2 2 2 ,因为...无穷数列{xn}满足 lnxn+ 五、联赛一试水平训练题...
更多相关标签:
高二数学导数专题训练 | 高二数学导数讲解 | 导数竞赛题 | 高二数学导数测试题 | 高二数学导数练习题 | 高二导数知识点 | 高二数学导数知识点 | 高二数学导数试题 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com