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2011高中数学总复习课件:椭圆


? (1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥 曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的 作用. ? (2)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方 程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、 离心率).

? (3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方 程,知道它们的简单几何性质(范围、对称 性、顶点、离心率、渐近线). ? (4)了解抛物线的定义、几何图形和标准方 程,知道

它们的简单几何性质(范围、对称 性、顶点、准线、离心率). ? (5)理解直线与圆锥曲线的位置关系;了解 圆锥曲线的简单应用. ? (6)理解数形结合的思想.

? 圆锥曲线是高中数学主干知识——平面解 析几何的又一核心内容,考查题型广泛, 形式多样,难易题均有涉及.小题主要以椭 圆、双曲线、抛物线的定义,标准方程和 几何性质为主;大题主要考查直线与椭圆 的位置关系,抛物线的几何性质及焦点弦 问题,内容涉及交点个数问题,有关弦的 中点问题及弦长问题,相交围成三角形的 面积问题等.

? 在解题过程中计算占了很大的比重,对运算 求解能力有较高的要求,计算要根据题目中 曲线的特点和相互之间的关系进行,合理利 用曲线的定义和性质将计算简化,讲求运算 的合理性,如“设而不求”,“整体代换” 等.试题淡化对图形性质的技巧处理,关注解 题方向的选择及计算方法的合理性,适当关 注与向量,解三角形,函数等知识的交汇, 关注对数形结合,函数与方程,化归与转化, 特殊与一般思想的考查,关注对整体处理问 题的策略,以及待定系数法,换元法等的考 查.

? 预计2011年高考在本章的小题考查重点 是椭圆,双曲线,抛物线的定义,标准 方程和几何性质,特别是椭圆的离心率 问题,大题综合考查直线与椭圆的位置 关系,抛物线的几何性质及焦点弦问题, 以及与其他知识点的综合交汇.

? 1.已知两定点A(-1,0),B(1,0),点M满 足 MA + MB = 2, 则点M的轨迹是( C) ? A.圆 B.椭圆 ? C.线段 D.直线 ? 因为AB=2,所以点M在线段AB上,故 选C. ? 易错点:平面上到两个定点F1,F2的距离 之和为定值,且大于 F F2 的动点轨迹才是 1 椭圆.

? 2.已知椭圆 x2 + y2 = 1(a>b>0)的焦点分别 a b 3 为F1、F2,b=4,离心率为 .过F1的直线交 椭圆于A、B两点,则△ABF2的周长为( D ? A.10 ? C.16 ? 因为b=4, B.12 D.20 ,又b2=a2-c2,得
5

2

2



c 3 e= = a=5,c=3,由椭圆定义可知△ABF2的周长为 a 5

4a=20,选D.

? 3.椭圆x2+2y2=2的右焦点到直线y=3x的距离 是( B ) ? A. ?
1 B. 2

3 C.1 2

D.

3

将椭圆方程化为
3 3 = , 选B. 2 1+ 3

x2 所以其右焦 + y 2 = 1, 2

点坐标为(1,0),它到直线y= 3 x的距离为 ? ?
d=

易错点:研究椭圆的几何性质,须将椭 圆方程化为标准方程.

? 4.已知椭圆G的中心在原点,长轴在x轴上
3 ,离心率为 ,且椭圆G上一点到G的两个 2 x2 y2 焦点之和为12,则椭圆G的方程为 + = 1 36 9

.

3 ? e= ,2a=12,a=6,b=3, 2 x2 y2 ? 则所求椭圆方程为 + = 1. 36 9

x y = 1 的两个焦点F1,F2,点P在椭 ? 5.椭圆: + 12 3

2

2

圆上,如果线段PF1的中点恰在y轴上,则 ? PF1 = 7 .
PF2

?

由已知椭圆方程得a=2 3 ,b= 3,c=3, F1(-3,0),F2(3,0).

? 因为焦点F1和F2关于y轴对称,所以,则P
3 3 PF , (3, ), 2 = 2 2 3 7 3 PF 1 = 2a ? PF2 = 4 3 ? = , 2 2 ? 所 PF1 = 7 PF2 , 故填7.

? 1.椭圆的定义及其标准方程 ? (1)平面内与两个定点F1,F2的距离之 和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹 叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦 点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

x2 y2 ? (2)椭圆的标准方程是 2 + 2 = 1 (a>b>0) a b 2 2 x y 或 2 + 2 = 1 (a>b>0). b a

? (3)椭圆的标准方程中a,b,c之间的关系是 a2=b2+c2. ? (4)形如Ax2+By2=C的方程,只要A、B 、 C 为正数,且A≠B就是椭圆方程,可化为标
x2 y2 + = 1. C C 准形式: A B

? 2.椭圆的简单几何性质
x2 y2 ? (1)椭圆 2 + 2 = 1 (a>b>0)上的点中,横坐 a b

标x的取值范围是[-a,a],纵坐标y的取值范 围是[-b,b], F1 F2 =2c,
PF1 + PF2 若<2a,则

点P的轨迹不存在,若 PF1 + PF2 =2a,则 点P的轨迹是线段F1F2.

? (2)椭圆的对称轴为x轴和y轴,椭圆的对 称中心为原点,对称中心叫椭圆的中心.
x2 y2 ? (3)椭圆 2 + 2 = 1 (a>b>0)的四个顶点是 a b

(-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b),它们是椭圆与其 对称轴的交点.
c ? (4)离心率 e = , 范围是(0,1). a

重点突破:椭圆的定义及其标准方程 设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称 例1 轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直, 且此焦点与长轴上较近的端点距离为2 2 -2, 2 2 求此椭圆的方程. 2 2 x y x y + 2 = 1或 2 + 2 = 1 2 设所求椭圆 a b a b (a>b>0),根据题意列出关于a,b,c的方程组, 从而求出a,b,c的值.

x2 y2 x2 y2 设所求椭圆 + =1 或 2 + 2 =1 a 2 b2 b a (a>b>0),

b=c a=2 2 a=6 2 -8 a-c=2 2 -2 则 a2=b2+c2 ,解得 b=2 ,或 b=4 2 -6 (舍去). c=2 c=4 2 -6 2 2 2 2 则所求椭圆 x y x y + = 1或 + = 1. 8 4 4 8 求椭圆的方程,借助于数形结合,先定位分 析焦点所在的位置,再用待定系数法,将已 知条件代入求解.

已知P点在以坐标轴为对称 轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为5和 3,过P点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦 点,求此椭圆方程.
x2 y2 x2 y2 设所求椭圆 2 + 2 = 1 或 2 + 2 = 1 a b b a

变式练习1 变式练习

(a>b>0),两个焦点分别为F1,F2.
2 则由题意得: a = PF1 + PF2 = 8, 所以a=4.

? ? ? ?

x2 y2 b2 在方程 2 + 2 = 1 中令x=±c,得 y = ; a b a 2 2 x y b2 在方程 2 + 2 = 1 中令y=±c,得 x = ; b a a b2 依题意知 =3,所以b=2 3 . a 2 2 x2 y2 x y + =1 . + =1 或 则椭圆方程为 12 16 16 12

? ?

重点突破:椭圆的几何性质
x2 2 已知P点为椭圆 +y =1上的点,F1,F2 例2 4

是椭圆的两个焦点,且∠F1PF2=60°,求 △F1PF2的面积. ? 求解圆锥曲线上的点与其焦点围成 的三角形问题,常用正,余弦定理进行求解.

?

依题意得,

PF1 + PF2 = 2a = 4,

? 在△F1PF2中,由余弦定理得
(2 3 = PF1 + PF2 ? 2 PF1 ? PF2 cos 60° )
2 2 2

= PF1 + PF2 ) ? 2 PF1 ? PF2 ? 2 PF1 ? (
2

PF2 cos60°,

? 解得

? 则△F1PF2的面积为

4 PF1 · PF2 = . 3

1 PF 1 · PF2 sin 60° = 3 3. 2

?

圆锥曲线定义与三角形的有 关性质相结合是解本题的关键,常 用的解题技巧要熟记于心. .

?

F1,F2是椭圆的两个焦点,且∠F1PF2=θ,求 当θ取最大值时,点P的位置. ? 设 PF1 = m , PF2 = n,
F1 F2 = 2 3.

x 已知P为椭圆 +y2=1上的动点, 变式练习2 变式练习 4

2

? 则m+n=4,

? 在△F1PF2中,由余弦定理得
PF1 + PF2 ? F1 F2 cosθ = 2 PF1 ? PF2
2 2
2 2 2

(m + n ? 2mn ? F1 F2 ) 2 = = ? 1. 2mn 2mn mn m+n 2 ? 因为m+n=4,m>0,n>0,所以mn≤ ( ) = 4. 2 1 ? 当且仅当m=n时“=”取得,所以cosθ≥- . 2

? 所以当θ取得最大值时,点P在短轴的两个顶 点处.

重点突破:直线与椭圆的位置关系
x2 y2 例3 已知直线l:y=x+m与椭圆 + =1 3 2

相交于P,Q两点.

(Ⅰ)求实数m的取值范围. ( ) m . (Ⅱ)是否存在实数m,使得 PQ 等于椭圆 的短轴长;若存在求出m的值,若不存在,请 说明理由.

(Ⅰ)联立直线与椭圆的方程,由?>0 解得. (Ⅱ)假设存在,由弦长公式 PQ = 1 + k 2 可解得m的值,检验m是否满足?>0的条 x1 ? x2 , 件. y=x+m

(Ⅰ)联立 Ⅰ 联立

x2 y2 + = 1, 3 2

整理得5x2+6mx+3m2-6=0. 由已知得,?=36m2-20(3m2-6)>0,解得 - 5 <m< 5 .

? (Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则由(Ⅰ) ? 知 ? x 1x 2=
PQ =

x1+x2=

6m ? 5 3m 2 - 6 . 5

? 所以

( x1 ? x2 ) + ( y1 ? y2 )
2 2

2

= 1+1

( x1 + x2 )

? 4 x1 x2

6m 2 3m 2 ? 6 = 2 (? )? 4? , 5 5

? 由 PQ = 2 2, 得

30 ? 解得 m = ± . 6 2= 5 <5所以存在实数m=± ? 因为0<m 6 30

36m ? 60m + 120 4= , 25
2 2



使得PQ等于椭圆的短轴长.
6

?

直线方程与椭圆方程联立,消元后 得到一元二次方程,然后通过判别式?来 判断直线与椭圆相交,相切,相离.第(Ⅱ) 题求出m值要检验是否满足?>0.

?

变式练习3 变式练习 在椭圆x2+4y2=16中,求通过点

M(2,1)且被这点平分的弦所在的直线的方程 和弦长. ? 当直线斜率不存在时,M不可能为弦 的中点,所以可设直线方程为y=k(x-2)+1, 代入椭圆方程,整理得: ? (1+4k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-12=0, ? 显然1+4k2≠0,?=16(12k2+4k+3)>0.

16k 2 ? 8k ? 由于 x1 + x2 = = 4, 2 1 + 4k 1 ? 解得k=- . 2

? 故所求弦所在直线方程为x+2y-4=0. ? 由 ? x2+4y2=16 ? 所以y1=0,y2=2.
1 ? 所以弦长 = 1 + 2 y1 ? y2 = 1 + 4 0 ? 2 = 2 5. k

x+2y-4=0 得y2-2y=0, ,

x y A,B,C是椭圆E:a 2 + b 2 = 1

例4 如图所示,已知 2 2

(a>b>0)上的三点,其中A 点的坐标为(2 3,0), BC过椭圆的中心O,且 AC⊥BC, BC = 2 AC . (Ⅰ)求点 的坐标及椭圆 的方程; Ⅰ 求点 的坐标及椭圆E的方程 求点C的坐标及椭圆 的方程; (Ⅱ)若椭圆 上存在两点 若椭圆E上存在两点 使得∠ Ⅱ 若椭圆 上存在两点P,Q,使得∠PCQ的 使得 的 平分线总是垂直于x轴 试判断向量PQ与 是 平分线总是垂直于 轴,试判断向量 与AB是 否共线,并给出证明. 否共线,并给出证明

?

(Ⅰ)利用Rt△AOC,可求出C点

坐标. ? (Ⅱ)判断向量PQ与AB是否共线,可从PQ 与AB的斜率入手. ? (Ⅰ)因为 BC = 2 AC , 且BC经过原点, OC = AC , 所以 ? 又A(2 3,0),∠ACB=90°,所以 C( 3 , 3 ),且a=2 3代入椭圆方程得:
x y + = 1. ? 则椭圆E的方程为 12 4 解得b 解得 2=4.
2 2

3 3 + 2 =1 12 b

(Ⅱ)对于椭圆上的两点P、Q,若∠PCQ 的平分线总垂直于x轴,则PC与CQ所在直线关 于直线x=3对称,设直线PC的斜率为k,则直 线CQ的斜率为-k,所以直线PC的方程为y- 3 =k(x- 3), 即y=k(x- 3 )+ 3 . ① 直线CQ的方程为y=-k(x- 3 )+ 3 . ② 2 2
x y + =1 将①代入 得: 12 4 (1+3k2)x2+6 3 k(1-k)x+9k2-18k-3=0,



? 因为C( 3 , 3)在椭圆上,所以x= 3是 方程③的一个根. ? 所以
9k ? 18k ? 3 xP ? 3 = , 2 1 + 3k 9k 2 ? 18k ? 3 ? 所以 xP = , 2 3 1 + 3k ) ( 2 ? 同理可得: 9k + 18k ? 3 xQ = . 2 3 1 + 3k ) ( ? 所以 yQ ? y P ? k xQ + x P) 2 3k 1 ( + k PQ = = = . xQ ? x P xQ ? x P 3
2

? 因为C( 3 , 3 ),所以B(- 3 ,- 3),又 A(2 3 ,0), ? 所以
k AB 3 1 = = , 3 3 3

? 所以kAB=kPQ,所以向量PQ与向量AB共线. ? 平面向量作为数学解题工具,常与平 面解析几何综合考查,在向量与解析几何的 综合性问题中,写出向量的坐标是关键.过在 椭圆上的点作直线时,切记此点的横坐标是 直线与椭圆方程联立后一元二次方程的一个 根.

? 1.求椭圆的标准方程常用的方法是轨迹方 程法和待定系数法,(1)由椭圆的几何性质 直接求出参数a,b;(2)先设出椭圆的标准 方程,根据已知条件列出方程,用待定系 数法求出参数a,b.

? 2.解决直线与圆锥曲线的位置问题时常利用 数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与 系数的关系去解决.设直线l与曲线C交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, ? 则 ? 3.椭圆上一点与两焦点所构成的三角形称为 焦点三角形,解决焦点三角形的相关问题常 利用椭圆的定义和正弦、余弦定理求解.
1 AB = 1 + k x1 ? x2 = 1 + 2 y1 ? y2 . k
2

x y + 2 =1 2 b 1.(2009·浙江卷)已知椭圆 a

2

2

(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B 在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P. uuu r uuu r 若AP = 2 PB, 则椭圆的离心率是( ) D A. B. C.
3 2
1 3

2 2 D. 1 2

r uuu uuu r 对于椭圆,因为 AP = 2 PB, 则

OA=2OF,所以a=2c,所以e= ,选D. 对于对解析几何中与平面向量 结合的考查,既体现了几何与向量的交 汇,也体现了数形结合的巧妙应用.

1 2

? 2.(2009·福建卷)已知直线x-2y+2=0经过 2 2
x y 椭圆C: a 2 + b 2 = 1 (a>b>0)的左顶点A和上

顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S是椭圆C 上位于x轴上方的动点,直线AS,BS与直
10 线l:x= 分别交于M,N两点. 3

? (Ⅰ)求椭圆C的方程; ? (Ⅱ)求线段MN的长度的最小值;

? (Ⅲ)当线段MN的长度最小时,在椭圆C上 是否存在这样的点T,使得△TSB的面积 1 为 5 ?若存在,确定点T的个数,若不存在, 说明理由.

?

解法1:(Ⅰ)由已知得,椭圆C的左顶点 为A(-2,0),上顶点为D(0,1),所以 a=2,b=1.

x2 ? 故椭圆C的方程为 +y2=1. 4

? (Ⅱ)直线AS的斜率k显然存在,且k>0,

故可设直线AS的方程为y=k(x+2),从而M

10 16k . ( , ) 3 3



+y2=1

得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.
y=k(x+2)+y2=1

? 设S(x1,y1),则(-2)·x1=
2

2 ? 8k ? 得 x1 = , 2 1 + 4k 4k 2 ? 8k 2 4k ? 从而 即 S y1 = , , . ( ) 2 2 2 1 + 4k 4k 1 + 4k 1 + 4k 1 ? 又B(2,0),故直线BS的方程为y=(x-2). 4k 1 10 ? y=- (x-2) x= 4k 3 由 ,得 10 1 ? x= y=? . 3 3k

16k 2 ? 4 , 2 1 + 4k

? 所以N ? 故

10 1 , ( ,? ) 3 3k

16k 1 MN = . + 3 3k 16k 1 16k 1 8 ? 又k>0,所以 MN = + ≥2 ? = , 3 3k 3 3k 3 16k 1 1 ? 当且仅当 , 即k= 时等号成立. = 3 3k 4 1 ? 所以k= 时,线段MN的长度取最小值 8 . 4 3

1 ? (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当MN取最小值时,k= . 4 6 4 ? 此时BS的方程为x+y-2=0,S( , ), 5 5 ? 所以 BS = 4 2 . 5

? 要使椭圆C上存在点T,使得△TSB的面积等
1 2 于 ,只须点T到直线BS的距离等于 ,所 5 4 以T在平行于BS且与BS距离等于 2 的直线 上. 4

l′

? 设直线l′:x+y+t=0,
t+2 2 解得t=- 3 或t=- 5 . ? 则由 = , 2 2 4 2 x2 2 ? + y =1 4 ①当t=-32时,由 时 3 ? x+y- =0, 2

? 得5x2-12x+5=0. ? 由于?=44>0,故直线l′与椭圆C有两个不同 的交点;

x2 ? + y2 = 1 4 5 5 ②当t=- 时,由 ? x+y- =0, 2 2

? 得5x2-20x+21=0. ? 由于?=-20<0,故直线l′与椭圆C没有交点. ? 综上所述,当线段MN的长度最小时,椭圆 上仅存在两个不同的点T,使得△TSB的面 积等于 .
1 5

? 解法2:(Ⅰ)同解法1.
2 x0 2 2 ? (Ⅱ)设S(x0,y0),则 x + y0 = 1,所以 y0 = 1 ? . 4 4 2 y0 y0 y0 1 ? 故 k SA ·k SB = · = 2 =? . 4 x 0 + 2 x 0 ? 2 x0 ? 4

2 0

? 设M 10 , y M)N 10 , y N), 则yM>0,yN<0. , ( (
3 3

yM yN 9 yM yN 1 k SA ·k SB = · = =? , ? 则 10 10 64 4 +2 ?2 3 3 16 ? 所以 y M ·( ? y N ) = . 9 ? 故 MN = y M + ( ? y N ) ≥ 2 y M ? ( ? y N ) = 8 , 3 4 ? 当且仅当yM=(-yN)= 时,等号成立. 3 8 ? 即MN的长度的最小值为 . 3

? (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当MN取最小值时,
10 4 N( , ? ),因为B(2,0),所以kBS=kBN=-1. 3 3 6 4 ? 此时BS的方程为x+y-2=0,S( , ),所以 5 5 4 2 BS = . 5

? 设与直线BS平行的直线方程为x+y+t=0. ? ? 由 x+y+t=0
x +y2=1 4
2

,得5x2+8tx+4t2-4=0.

? 当直线与椭圆C有唯一公共点时,有 ?=64t2-20(4t2-4)=0,解得t=± 5 . ? 当t= 5时,两平行直线BS:x+y-2=0与
5+2 l1:x+y+ 5 =0间的距离 d1 = ; 2

? 当t=- 5 时,两平行直线BS:x+y-2=0与 l2:x+y-5
5?2 =0间的距离 d1 = . 2

1 4 2 ? 因为S△TSD= ,且|BS|= ,故△TSB 5 5 2 在BS边上的高 d= . 4

? 因为d2<d<d1,所以椭圆C上存在两个不同
1 的点T,使得△TSB的面积等于 . 5

? 即线段MN的长度最小时,椭圆C上仅存在
1 两个不同的点T,使得△TSB的面积等于 . 5

本小题主要考查直线,椭圆, 直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识, 考查推理论证能力,运算求解能力,考查 数形结合思想,化归与转化思想.


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