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必修五基础知识总结


必修五基础知识总结
第一章、解三角形
1、三角形的性质: ①.A+B+C= ? ,

A? B ? C ? ? ? sin( A ? B) ? sin C , 2 2 2

cos( A ? B) ? ? cos C , sin

A? B C ? cos 2 2

②.在 ?ABC 中, a ? b >c , a ? b <c ; A>B ? sin A > sin B , A>B ? cosA<cosB, a >b ? A>B ③.若 ?ABC 为锐角 ? ,则 A ? B >

? ? ? ,B+C > ,A+C > ; 2 2 2

a 2 ? b 2 > c2 , b 2 ? c 2 > a 2 , a 2 + c2 > b2
2、正弦定理与余弦定理: ①.正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R (2R 为 ?ABC 外接圆的直径) sin A sin B sin C 1 1 1 S?ABC ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2
2 2 2

②.余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A

cos A?

b2 ? c 2 ? a 2 2bc a 2 ? c 2 ? b2 2ac
a 2 ? b2 ? c 2 2ab

b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B

cos B?

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C

cos C?

第二章、数列
1、数列的定义及数列的通项公式: ①. an ? f (n) , 数列是定义域为 N 的函数 f ( n) , 当 n 依次取 1, 2,??? 时的一列函数值。 ②. an 的求法: i.归纳法。 ii. an ? ?

? S1 , n ? 1 ? Sn ? Sn ?1 , n ? 2

若 S0 ? 0 ,则 an 不分段;若 S0 ? 0 ,则 an 分段。

iii. 若 an?1 ? pan ? q ,则可设 an?1 ? m ? p(an ? m) 解得 m,得等比数列 ?an ? m? 。

1

iv. 若 Sn ? f (an ) ,则先求 a1 ,再构造方程组: ? 递推关系式. 2.等差数列:

?sn ? f (an ) 得到关于 an ?1 和 an 的 ?sn?1 ? f (an?1 )

① 定义: an?1 ? an = d (常数),证明数列是等差数列的重要工具。 ② 通项: an ? a1 ? (n ?1)d , d ? 0 时, an 为关于 n 的一次函数; d >0 时, an 为单调递 增数列; d <0 时, an 为单调递减数列。 ③ 前 n 项和: sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d , d ? 0 时, s n 是关于 n 的不含常数项的 2 2

一元二次函数,反之也成立。 ④ 性质:i. am ? an ? ap ? aq (m+n=p+q) ii. 若 ?an ? 为等差数列,则 am , am?k , am? 2 k ,…仍为等差数列。 iii. 若 ?an ? 为等差数列,则 s n , s2 n ? sn , s3n ? s2n ,…仍为等差数列。 iv 若 A 为 a,b 的等差中项,则有 A ? 3.等比数列: ① 定义:

a?b 。 2

an ?1 ,是证明数列是等比数列的重要工具。 ? q (常数) an

② 通项: an ? a1q n?1 (q=1 时为常数列)。

?na1 , q ? 1 ? ③.前 n 项和, S n ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q ,需特别注意,公比为字母时要讨论. 1 n ? , q ? 1 ? 1? q ? 1? q
④.性质:i. am ? an ? a p ? aq ?m ? n ? p ? q? 。 ii. ?an ? 为等比数列 , 则am , am?k , am?2k ,?仍为等比数列,公比为 q 。
k

iii. ?an ? 为等比数列 , 则sn , s2n ? sn , s3n ? s2n ,?仍为等比数列,公比为 q 。
n

iv.G 为 a,b 的等比中项, G ? ? ab 4.数列求和的常用方法: ①.公式法:如 an ? 2n ? 3, an ? 3
n?1

n n ?1 ②.分组求和法:如 an ? 3n ? 2 n?1 ? 2n ? 5 ,可分别求出 3 , 2 和 ?2n ? 5? 的和,然

? ? ? ?

2

后把三部分加起来即可。 ③.错位相减法:如 an ? ?3n ? 2? ? ? ? ,

?1? ? 2?

n

?1? ?1? ?1? ?1? sn ? 5 ? ? ? 7 ? ? ? 9 ? ? ?? ? ??(3n ? 1) ? ? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2?
1 sn ? 2
两式相减得:

2

3

n ?1

?1? ? ? 3n ? 2 ? ? ? ? 2?
n

n

?1? ?1? ?1? ? ? 5? ? ? 7 ? ? ? 9? ? ? ? ? 2? ? 2? ? 2?
2 3

2

3

4

?1? ?1? + ? 3n ? 1? ? ? ? ? 3n ? 2 ? ? ? ?2? ? 2?
n n ?1

n ?1

1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? sn ? 5 ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? ?? ? ? ?2 ? ? ? ? 3n ? 2 ? ? ? 2 ?2? ?2? ?2? ?2? ? 2?
1 1 1 ? ? ; an ? n?n ? 1? n n ? 1 1 n ?1 ? n

,以下略。

④.裂项相消法:如 a n ?

? n ?1 ? n ,

an ?

1? 1 1 ? 等。 ? ? ? ? 2n ?1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ?1 2n ? 1 ? ? 1

⑤.倒序相加法.例:在 1 与 2 之间插入 n 个数 a1 , a2, a3, ? ? ? , an ,使这 n+2 个数成等差数列, 求: sn ? a1 ? a2 ?? (答案: sn ? ? ? ?an ,

3 n) 2

第三章
1.不等式的性质: ① 不等式的传递性: a ? b, b ? c ? a ? c

不等式

② 不等式的可加性: a ? b, c ? R ? a ? c ? b ? c, 推论:

a ? b? ??a?c ?b?d c ? d?

③ 不等式的可乘性:

a ? b? a ? b? a ? b ? 0? ? ? ac ? bc; ? ? ac ? bc; ? ? ac ? bd ? 0 c ? 0? c ? 0? c ? d ? 0?

④ 不等式的可乘方性: a ? b ? 0 ? a n ? b n ? 0; a ? b ? 0 ? n a ? n b ? 0 2.一元二次不等式及其解法: ①. ax ? bx ? c ? 0, ax ? bx ? c ? 0, f ?x? ? ax ? bx ? c 注重三者之间的密切联系。
2 2 2

如: ax ? bx ? c >0 的解为: ? <x< ? , 则 ax ? bx ? c =0 的解为 x1 ? ? , x2 ? ? ;
2 2

函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的图像开口向下,且与 x 轴交于点 ?? ,0? , ? ? ,0? 。
2

3

对于函数 f ?x ? ? ax2 ? bx ? c ,一看开口方向,二看对称轴,从而确定其单调区间等。 ②.注意二次函数根的分布及其应用. 如:若方程 x ? 2ax ? 8 ? 0 的一个根在(0,1)上,另一个根在(4,5)上,则有
2

?f ? ?f ? ?f ?f ?

?0? ? 0 ?1? ? 0 ? 4? ? 0 ? 5? ? 0

③.会用波浪线法解分式不等式及高次不等式. 3.不等式的应用 ①基本不等式:

10.a ? 0, b ? 0,

a?b ? ab , 2 20.a 2 ? b 2 ? 2ab.
2

30.2 ? a 2 ? b 2 ? ? ? a ? b ?

当 a>0,b>0 且 ab 是定值时,a+b 有最小值; 当 a>0,b>0 且 a+b 为定值时,ab 有最大值。 ②简单的线形规划:

Ax ? By ? C ? 0? A ? 0? 表示直线 Ax ? By ? C ? 0 的右方区域. Ax ? By ? C ? 0? A ? 0? 表示直线 Ax ? By ? C ? 0 的左方区域
解决简单的线性规划问题的基本步骤是: ①.找出所有的线性约束条件。 ②.确立目标函数。 ③.画可行域,找最优点,得最优解。 需要注意的是,在目标函数中,x 的系数的符号, 当 A>0 时,越向右移,函数值越大,当 A<0 时,越向左移,函数值越大。

4


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