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第3课时:简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词


第3课时 简单的逻辑联结词、 全称量词与存在量词

1.简单的逻辑联结词 p∧q ,读 (1)用联结词“且”联结命题p和命题q,记作______ p且q . 作“______” p∨q,读作 (2)用联结词“或”联结命题p和命题q,记作_____ p或q “______” . ?p ,读作“非p”或“p的否 (3)对一个命题p全盘否定记作___ 定”. (4)命题p∧q,p∨q,?p的真假判断. 真 ;“?p”,真 假 ;“p或q”,有真则___ “p且q”,有假则___ 相反 . 假______

2.全称量词与存在量词 (1)短语“所有的”“任意一个” ______________________在逻辑中通常叫做全 ? 称量词,并用符号“___”表示.含有全称量词的命 全称命题,可用符号简记为_____________ ?x∈M,p(x) , 题,叫做________ ?x∈M,?p(x) . 它的否定_______________ “存在一个”“至少有一个” 在逻辑中通常叫做 (2)短语_________________________ ? 存在量词,并用符号“___”表示.含有存在量词的命 特称命题 .可用符号简记为____________ ?x∈M,p(x) , 题,叫做__________ ?x∈M,?p(x) . 它的否定______________

1 .下列命题中是全称命题并且是真命题的是 ( ) A.所有菱形的四条边都相等 B.若 2x 为偶数,则?x∈N C.若对?x∈R,则 x2+2x+1>0 D.π 是无理数

答案:

A

2.(2010· 湖南卷)下列命题中的假命题是( A.?x∈R,lg x=0 C.?x∈R,x3>0 D.?x∈R,2x>0

)

B.?x∈R,tan x=1

解析:

对于 A,当 x=1 时,lg x=0,正确; π 对于 B,当 x= 时,tan x=1,正确;对于 C, 4 当 x<0 时,x3<0,错误;对于 D,?x∈R,2x >0,正确.

答案:

C

3.若“p 且 q”与“? p 或 q”均为假命题,则 ( ) A. p 真 q 假 C.p 与 q 均真 B.p 假 q 真 D.p 与 q 均假

解析: p 且 q 为假,则 p 与 q 不可能全真,而 ? p 或 q 为假,则? p 与 q 均为假,从而 p 为真,q 为假. 答案: A

4.命题“存在 x∈R,使得 x2+2x+5=0”的否定是 ________.

答案:

对任何 x∈R,都有 x2+2x+5≠0

5.命题“任意 x∈R,存在 m∈Z,m2-m<x2+x +1”是________命题.(填“真”或“假”)
解析: 由于任意 x∈R, x
2

? 1 ?2 3 3 +x+1=?x+2? + ≥ >0, 4 4 ? ?

因为只需 m2-m≤0,即 0≤m≤1,所以当 m=0 或 m =1 时,任意 x∈R,m2-m<x2+x+1 成立,因此命 题是真命题.

答案:



判断含有逻辑联结词的命题的真假

“p∨q”“p∧q”“? p”形式命题真假的判断步骤: (1)确定命题的构成形式; (2)判断其中命题 p、q 的真假; (3)确定“p∧q”“p∨q”“? p”形式命题的真假.

分别写出由下列各组命题构成的“p 或 q”“p 且 q”“非 p”形式的新命题,并判断其真假. (1)p:3 是 9 的约数,q:3 是 18 的约数; (2)p:菱形的对角线一定相等, q:菱形的对角线互相垂直.

解析: (1)p 或 q: 3 是 9 的约数或 18 的约数. 真; p 且 q:3 是 9 的约数且是 18 的约数.真; 非 p:3 不是 9 的约数.假. (2)p 或 q: 菱形的对角线一定相等或互相垂直. 真; p 且 q:菱形的对角线一定相等且互相垂直.假; 非 p:菱形的对角线一定不相等.真.

【变式训练】 1.已知命题 p:?x∈R,使 tan x=1,命 题 q:x2-3x+2<0 的解集是{x|1<x<2},下列结论: ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧? q”是假命题; ③命题“? p∨q”是真命题; ④命题“? p∨ ? q”是假命题. 其中正确的是( A.②③ C.①③④ ) B.①②④ D.①②③④

解析: 命题 p:?x∈R,使 tan x=1 正确,命 题 q:x2-3x+2<0 的解集是{x|1<x<2}也正确, ∴①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧? q”是 假命题;③命题“? p∨q”是真命题;④命题“? p ∨? q”是假命题,故应选 D.

答案:

D

全?特?称命题真假判断
1.要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 p(x)成立;但要判断全称命 题为假命题,只要能举出集合 M 中的一个 x=x0, 使得 p(x0)不成立即可. 2.要判断一个特称命题为真命题,只要在限定集合 M 中,至少能找到一个 x=x0,使 p(x0)成立即可; 否则,这一特称命题就是假命题.

(2009· 海南、宁夏卷)有四个关于三角函数的命题: 1 p1:?x∈R,sin +cos = 2 2 2 p2:?x,y∈R,sin(x-y)=sin x-sin y p3:?x∈[0,π], 1-cos 2x =sin x 2
2x 2x

π p4:sin x=cos y?x+y= 2 其中的假命题是( A.p1,p4 C.p1,p3 ) B.p2,p4 D.p2,p3

1 解析: ∵对任意 x∈R,均有 sin +cos =1 而不是 , 2 2 2 故 p1 为假命题. 当 x,y,x-y 有一个为 2kπ(k∈Z)时,sin x-sin y=sin(x -y)成立,故 p2 是真命题. ∵cos 2x=1-2sin2x, 1-cos 2x 1-1+2sin2x ∴ = =sin2x, 2 2 又 x∈[0,π]时,sin x≥0, ∴对任意 x∈[0,π],均有 是真命题. 1-cos 2x =sin x,因此 p3 2

2x

2x

当 sin x=cos y, 即 sin y,

?π ? π ? ? x=sin 2-y 时, x=2kπ+ - 2 ? ?

π 即 x+y=2kπ+ (k∈Z),故 p4 为假命题.故选 A. 2

答案:

A

【变式训练】 2.判断下列命题是全称命题还是特称 命题,并判断其真假. (1)每个指数函数都是单调函数; (2)任何实数都有算术平方根; (3)任意 x∈{x|x 是无理数},x2 是无理数; 4)存在 x∈R,x3≤0.

解析: (1)指数函数的形式为 y=ax(其中 a>0 且 a≠1),定义域{x|x∈R},对每一个符合题意的 a, 函数 y=ax 都是单调的, 当 a>1 时, 函数 y=ax 在 R 上为增函数.当 0<a<1 时,函数 y=ax 在 R 上为 减函数,所以,全称命题“每个指数函数都是单调 函数”是真命题.

(2)-1 是实数, 但 x2=-1 无解, 也就是 -1无意义, 所以, 全称命题“任何实数都有算术平方根”是假命 题. (3) 3是无理数,但( 3)2=3 是有理数,所以,全称命 题“任意 x∈{x|x 是无理数}, x2 是无理数”是假命题. (4)由于-1∈R,当 x=-1 时,x3≤0,所以,特称命 题“存在 x∈R,x3≤0”是真命题.

全?特?称命题的否定
对一个命题的否定是全部否定,而不是部分否定: (1) 全 ( 特 ) 称命题的否定与一般命题的否定有着一定的区 别,全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或 存在量词改为全称量词),并把结论否定;而命题的 否定,则直接否定结论即可. (2)要判断“? p”的真假,可以直接判断,也可以判断 p 的真假,利用 p 与“? p”的真假相反判断.

写出下列命题的否定并判断真假. (1)p:所有末位数字是 0 的整数都能被 5 整除; (2)q:?x≥0,x2>0; (3)r:存在一个三角形,它的内角和大于 180° ; (4)t:某些梯形的对角线互相平分.

解析: (1)? p:存在一个末位数字是 0 的整数不能 被 5 整除,假命题. (2)? q:?x0≥0,x2 0≤0,真命题. (3)? r:所有三角形的内角和都小于等于 180° ,真命 题. (4)? t: 每一个梯形的对角线都不互相平分, 真命题.

【变式训练】

3.写出下列命题的否定形式:

(1)有些三角形的三个内角都等于 60° ; (2)能够被 3 整除的整数,能够被 6 整除; (3)?θ∈R,使得函数 y=sin(2x+θ)是偶函数; (4)?x,y∈R,|x+1|+|y-1|>0.
解析: 60° . (1) 任意一个三角形的三个内角不能都等于

(2)存在一个能够被 3 整除的整数,不能够被 6 整除. (3)?θ∈R,函数 y=sin(2x+θ)都不是偶函数. (4)?x,y∈R,|x+1|+|y-1|≤0.

1.逻辑联结词与集合间的关系 逻辑联结词“或”、“且”、“非”与集合中的并集、 交集、补集有着密切的关系,要注意类比.其中对逻 辑联结词“或”的理解是难点(“或”有三层含义,以 “p 或 q 为真”为例:一是 p 成立但 q 不成立,二是 p 不成立但 q 成立,三是 p 成立且 q 也成立).

2.一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列 表如下: 至多 正面 等于(=) 词语 ) ) 个 至少 否定 不等于 词语 (≠) 不大于 不小于 不是 (≤) (≥) 不都是 有两 大于(> 小于(< 是 都是

有一



正面 词语 否定 词语

至少有

任意的 所有的 一定 ?
一个 一个也 不一

某个
没有

某些


?

特别地, 联结词“且”的否定为“或”; “或”的 否定为“且”. 例如, 命题“矩形的对角线相等且 平分”. 该命题的否定是: “有的矩形的对角线不相等或不 平分”. 该命题的否命题是: “若一个四边形不是矩形, 则 其对角线不相等或不平分”.

【提醒】

联结词,或且非,有真即真或命题,

有假则假且命题,真假相反非命题; 命题否定变量词,特称全称是互否, 命题否定否命题,大不一样分清它.

从近两年的高考题来看,常以逻辑联结词“或”“且”“非” 为工具,考查函数、数列、立体几何、解析几何等知 识.主要以选择题、填空题的形式出现,属于容易 题.全称命题、特称命题的否定、真假的判断及逻辑联 结词是高考的热点,常与其他知识相结合命题,题型为 选择题,分值为5分,属容易题.尤其全称命题、特称 命题为新课标新增内容,在课改区高考中有升温的趋势, 应引起重视.

(2010· 全国新课标卷)已知命题 p1:函数 y=2x-2-x - 在 R 上为增函数,p2:函数 y=2x+2 x 在 R 上为 减函数, 则在命题 q1: p1∨p2, q2: p1∧p2, q3: (? p 1) ∨p2 和 q4:p1∧(? p2)中,真命题是( ) A.q1,q3 C.q1,q4 B.q2,q3 D.q2,q4

【全解全析】
选项 结论
x

理由 1 命题 p1:y=2 -2 =2 - x.由 y=2x 2 1 在 R 上单调增加,y= x在 R 上单调减 2 1 x 少,易知 y=2 - x在 R 上单调增加. 2
-x

x

A

×

命题 p2:当 x=-1,x2=1 时,y1=y2, y=2x+2-x 在 R 上为减函数错. ? p1 错,∴? p1∨p2 错

选项 B C D
答案:

结论 × √ ×
C

理由 p1∧p2 错 p1 正确,p1∨p2 正确,p2 错,p1∧? p2 对. p1∧p2 错

1.(2010· 湖南卷)下列命题中的假命题是( A.?x∈R,2x 1>0


)

B.?x∈N*,(x-1)2>0 D.?x∈R,tan x=2

C.?x∈R,lg x<1

解析: 对于 A,正确,对于 B,当 x=1 时,(x -1)2=0,错误;对于 C,当 x∈(0,1)时,lg x<0 <1,正确;对于 D,?x∈R,tan x=2,正确.
答案: B

2.(2010· 天津卷)下列命题中,真命题是(

)

A.?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数 B.?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数 C.?m∈R,函数 f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数 D.?m∈R,函数 f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数 解析: 对于选项 A, ?m∈R, 即当 m=0 时, f(x)=x2+mx=x2 是偶函数.故 A 正确.

答案:

A

3.(2010· 广州三校联考)已知命题 P:集合{x|x=i2n+ 1 ,n∈N,i 为虚数单位}只有 3 个真子集;Q:集合 {y|y=x2+1,x∈R}与集合{x|y= x+1}相等.则复 合命题:①P 或 Q;②P 且 Q;③非 P;④非 Q 中, 真命题有( ) A. 0 个 C. 2 个 B.1 个 D. 3 个

解析: 命题 P 中的集合即为{i,-i},只有 2 个 元素,有 3 个真子集,故 P 为真命题,Q 中的两 个集合不相等,故 Q 为假命题,因此复合命题中 ①④为真,选 C. 答案: C

4.(2010· 合肥第一次质检)下列命题: ①?x∈R,不等式 x2+2x>4x-3 均成立; ②若 log2x+logx2≥2,则 x>1; c c ③“若 a>b>0 且 c<0,则a>b”的逆否命题是真命题; ④若命题 p:?x∈R,x2+1≥1,命题 q:?x∈R,x2-x -1≤0,则命题 p∧? q 是真命题. 其中真命题为( A.①②③ C.①③④ ) B.①②④ D.②③④

解析: 由 x2+2x>4x-3 推得 x2-2x+3=(x- 1)2+2>0 恒成立,故①正确;根据基本不等式可 知要使不等式 log2x+logx2≥2 成立需要 x>1,故 1 1 c ②正确; 由 a>b>0 得 0<a<b, 又 c<0, 可得a> c ,则可知其逆否命题为真命题,故③正确;命题 b p 是真命题,命题 q 是真命题,所以 p∧? q 为假命 题.所以选 A. 答案: A

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