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高考大题冲关系列3


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第五章

数列

第五章 高考大题冲关系列(三)

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高考大题冲关系列(三)

数列的综合问题

第五章 高考大题冲关

系列(三)

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命题动向 数列是历年高考的热点,多从等差数列、等比数列这两个特 殊的数列入手,考查两数列的概念、基本运算性质、通项公式、 求和公式等,常以等差、等比数列综合命题,或与方程、函数与 导数、 不等式、 解析几何等知识交汇命题, 综合考查数列的通项、 求和等问题.

第五章 高考大题冲关系列(三)

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题型 1

等差、等比数列的综合运算

例1

[2014· 湖北高考]已知等差数列{an}满足: a1=2, 且 a1 ,

a2,a5 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n+800?若存在,求 n 的最小值;若不存在,说明理由.

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[解题视点]

(1)由条件列出基本量的关系求解,即(2+d)2=

2(2+4d)?d=0 或 d=4,从而求出{an}的通项公式;(2)由(1)进 行分类,分别求出 Sn,然后解不等式 Sn>60n+800,看是否有符 合条件的 n,从而确定 n 的最小值.

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[解]

(1)设数列{an}的公差为 d,依题意,2,2+d,2+4d 成等

比数列,故有(2+d)2=2(2+4d), 化简得 d2-4d=0,解得 d=0 或 d=4. 当 d=0 时,an=2; 当 d=4 时,an=2+(n-1)· 4=4n-2, 从而得数列{an}的通项公式为 an=2 或 an=4n-2.

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(2)当 an=2 时,Sn=2n.显然 2n<60n+800, 此时不存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立. n[2+?4n-2?] 当 an=4n-2 时,Sn= =2 n 2 . 2 令 2n2>60n+800,即 n2-30n-400>0, 解得 n>40 或 n<-10(舍去), 此时存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立,n 的最小值为 41. 综上,当 an=2 时,不存在满足题意的 n; 当 an=4n-2 时,存在满足题意的 n,其最小值为 41.
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解决等差数列与等比数列的综合问题,关键是理清两个数列 的关系. 如果同一数列中部分项成等差数列, 部分项成等比数列, 要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究; 如果两个数列 通过运算综合在一起,要从分析运算入手,把两个数列分割开弄 清两个数列各自的特征,再进行求解.

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变式训练 1 [2015· 杭州模拟]已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S4, S2,S3 成等差数列,且 a2+a3+a4=-18. (1)求数列{an}的通项公式; (2)是否存在正整数 n,使得 Sn≥2013?若存在,求出符合条 件的所有 n 的集合;若不存在,说明理由.

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解:(1)设数列{an}的公比为 q,则 a1≠0,q≠0.由题意得
?S -S =S -S , ? 2 4 3 2 ? ? ?a2+a3+a4=-18,
2 3 2 ? ?-a1q -a1q =a1q , 即? 2 ? a q ? 1 + q + q ?=-18, ? 1

? ?a1=3, 解得? ? ?q=-2,

故数列{an}的通项公式为 an=3(-2)n-1.

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3· [1-?-2?n] (2)由(1)得 Sn= =1-(-2)n. 1-?-2? 若存在 n,使得 Sn≥2013,则 1-(-2)n≥2013,即(-2)n≤- 2012. 当 n 为偶数时,(-2)n>0,上式不成立; 当 n 为奇数时, (-2)n=-2n≤-2012, 即 2n≥2012, 则 n≥11. 综上,存在符合条件的正整数 n,且所有这样的 n 的集合为 {n |n=2k+1,k∈N, k≥5}.

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题型 2

由 an 与 Sn 的关系求通项

例2

[2014· 课标全国卷Ⅰ]已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,

a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中 λ 为常数. (1)证明:an+2-an=λ; (2)是否存在 λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.

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[解题视点]

(1)利用 Sn+1-Sn=an+1 消去 Sn+1 和 Sn 即可得

证.(2)根据等差数列的定义:从第二项起,每一项与前一项的差 为同一常数,则该数列为等差数列.

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[ 解] 1.

(1)证明:由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-

两式相减得 an+1(an+2-an)=λan+1. 由于 an+1≠0,所以 an+2-an=λ. (2)由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得 a2=λ-1. 由(1)知,a3=λ+1. 令 2a2=a1+a3,解得 λ=4.

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故 an+2-an=4,由此可得 {a2n-1}是首项为 1,公差为 4 的等差数列,a2n-1=4n-3; {a2n}是首项为 3,公差为 4 的等差数列,a2n=4n-1. 所以 an=2n-1,an+1-an=2. 因此存在 λ=4,使得数列{an}为等差数列.

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数列的通项公式是高考热点问题,近年来考查难度有所降 低,但是由 an 与 Sn 的关系求通项却经常出现在解答题中,在求 解时一定要记住: (1)当 n=1 时,a1=S1; (2)当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1. 将 n=1 时与 n≥2 时的表达式综合在一起,若 n=1 时的 a1 适合 n≥2 时的 an,则可以合并在一起,否则写成分段形式. 注意:需要注意公式 an=Sn-Sn-1 成立的条件,所以由 an= Sn-Sn-1 求出 an 后,一定不要忘记验证 n=1 是否适合 an.
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变式训练 2 [2015· 厦门调研]设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1, Sn=nan-2n(n-1)(n∈N*). (1)求证:数列{an}为等差数列,并分别写出 an 和 Sn 关于 n 的表达式;
? ? 1 ? ? ?的前 (2)设数列? a a ? n n+1? ? ?

1 1 n 项和为 Tn.求证:5≤Tn<4.

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证明:(1)当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n- 1), ∴an-an-1=4, ∴数列{an}是以 1 为首项,4 为公差的等差数列. ∴an=4n-3, 1 Sn=2n(a1+an)=2n2-n.

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1 1 1 1 1 1 (2)Tn = + +?+ = + + +?+ a1a2 a2a3 anan+1 1×5 5×9 9×13 1 = ?4n-3??4n+1?
? 1 ? ? 1 ? 1? ?1 1? ?1 1 ? 1? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? - 1 - + - + - +?+ ?4n-3 4n+1?? 5? ?5 9? ?9 13? 4? ?? ? ?? ? 1? ?1- 1 ? 1 = ? < . 4? 4n+1? ? 4

1 又 Tn 为单调递增的,故 Tn≥T1=5, 1 1 ∴5≤Tn<4.
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题型 3

数列与函数的交汇问题

例 3

[2014· 四川高考]设等差数列{an}的公差为 d,点(an,

bn)在函数 f(x)=2x 的图象上(n∈N*). (1)证明:数列{bn}为等比数列; (2)若 a1=1,函数 f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在 x 轴上 1 的截距为 2-ln2 ,求数列{anb2 n}的前 n 项和 Sn.

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[解题视点]

(1)利用等比数列的定义证明; (2)利用导数的几

何意义求切线方程,进而得到直线在 x 轴上的截距,求出数列 {an}、{bn}的通项公式,再利用错位相减法求和.

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[解]

bn +1 (1)证明:由已知可知,bn=2an>0,当 n≥1 时, = bn

2an+1-an=2d, 所以数列{bn}是首项为 2a1,公比为 2d 的等比数列. (2)函数 f(x)=2x 在(a2,b2)处的切线方程为 y-2a2=(2a2ln2)(x 1 -a2),它在 x 轴上的截距为 a2- . ln2 1 1 由题意知,a2-ln2 =2-ln2 ,解得 a2=2.

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所以 d=a2-a1=1,an=n,bn=2n,anb2 4n . n=n· 于是,Sn=1×4+2×42+3×43+?+(n-1)×4n 1+n×4n,


4Sn=1×42+2×43+?+(n-1)×4n+n×4n 1,


n 1 4 -4 2 n n+1 因此 Sn-4Sn=4+4 +?+4 -n×4 = -n×4n+1= 3


? 1 -3 n ? 4 n 1 - 4 ?3n-1?4n 1+4 .所以 Sn= . 3 9
+ +

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(1)数列与函数的综合问题一般是以函数作为背景, 给出数列 所满足的条件.解决这类问题的关键是利用函数知识,将条件进 行准确转化. (2)此类问题多考查函数的思想及性质(多为单调性),注意题 中的限制条件,如定义域.

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变式训练 3 [2013· 安徽高考]设数列{an}满足 a1=2,a2+a4=8,且对任 意 n∈N*, 函数 f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1· cosx-an+2· sinx 满足 π f′(2)=0. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)若 bn=2(an+ ),求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 2 an

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解:(1)因为 f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1· cosx-a n+2· sinx, 所以 f′(x)=an-an+1+an+2-an+1· sinx-an+2· cosx, 对任意 n∈N
*

?π? ,f′?2?=an-an+1+an+2-an+1=0,所以 ? ?

2an+1

=an+an+2,又 a1=2,所以数列{an}是以 2 为首项的等差数列. 设数列{an}的公差为 d,因为 a2+a4=8,所以 2a1+4d=8, 解得 d=1, 所以 an=2+(n-1)×1=n+1.所以数列{an}的通项公 式为 an=n+1(n∈N*).

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(2)由(1)知,an=n+1(n∈N*), 1 1 所以 bn=2(n+1+ n+1)=2(n+1)+ n, 2 2 所以 Sn=b1+b2+?+bn
?1 1 1? =2(2+3+?+n+1)+?21+22+?+ n? 2? ?

1? 1? ? ? n?2+n+1? 2?1-2n? =2× + 2 1 1-2 1 =n(n+3)+1- n 2 1 =n +3n+1- n. 2
2

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题型 4

数列与不等式的综合问题

例4 3an+1.

[2014· 课标全国卷Ⅱ]已知数列{an}满足 a1=1,an+1=

? 1? (1)证明?an+ ?是等比数列,并求{an}的通项公式; 2? ?

1 1 1 3 (2)证明 + +?+ < . a1 a2 an 2

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[解题视点]

(1)由递推关系证明等比数列,可以利用等比数

1 an+1+2 列的定义,证明 为定值,也可将递推关系式直接变形为 1 an+ 2 1 1 an+1 + = 3(an+ ) 进行证明. (2) 由(1) 的结果求出通项公式 an= 2 2
?1? 3n-1 1 ? ? 显然 a 无法直接求和, 所以用“放缩法”处理, 利用“ 2 , an ? n? ? 2 2 1 ? 1 ? ? ? = n ≤ n n-1= n-1”,将之转化为等比数列 n-1?的前 n 项 ? ? 3 -1 3 -3 3 ?3 ?

和,再证明即可.
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[证明]
? 1? 3?an+ ?. 2? ?

1 (1)由 an+1=3an+1 得 an+1+2=

? 1 3 1? 3 ? ? 又 a1+ = ,所以 an+ 是首项为 ,公比为 3 的等比数列. 2 2 2? 2 ?

1 3n 所以 an+ = , 2 2 3n-1 因此{an}的通项公式为 an= . 2

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1 2 (2)由(1)知 = n . an 3 - 1 因为当 n≥1 时,3 -1≥2×3
n n-1

1 1 ,所以 n ≤ n-1. 3 -1 2×3

1 1 1 1 1 于是 + +?+ ≤1+3+?+ n-1= a 1 a2 an 3 1? 3 3? ?1- n? < . 2? 3 ? 2 1 1 1 3 所以 + +?+ < . a 1 a2 an 2

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数列中不等式的处理方法 (1)函数方法:即构造函数,通过函数的单调性、极值等得出 关于正实数的不等式, 通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出 数列中的不等式.

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(2)放缩方法: 数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的 结果放缩得到.本题第(2)问中有两处用到“放缩”:一是求和中 的放缩,二是求和后比较中的放缩.一般地,数列求和中的放缩 的“目标数列”为“可求和数列”,如等比数列、可裂项相消求 和的数列等. (3)比较方法:作差比较或作商比较.

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变式训练 4 [2013· 广东高考]设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为
* Sn,满足 4Sn=a2 - 4 n - 1 , n ∈ N ,且 a2,a5,a14 构成等比数 + n 1

列. (1)证明:a2= 4a1+5; (2)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 1 (3)证明:对一切正整数 n,有 + +?+ <2. a1a2 a2a3 anan+1

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解:(1)证明:当 n=1 时,4a1=a2 2-5, a2 2=4a1+5,因为 an>0, 所以 a2= 4a1+5. (2)当 n≥2 时,4Sn-1=a2 n-4(n-1)-1,
2 2 2 2 2 4an=4Sn-4Sn-1=an +1 -an-4,an +1 =an+4an +4=(an +2) ,

因为 an>0,所以 an+1=an+2,当 n≥2 时,{an}是公差 d=2 的等 差数列.

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因为 a2,a5,a14 构成等比数列,a2 a14,(a2+6)2=a2· (a2 5=a2· +24),解得 a2=3, 由(1)可知,4a1=a2 a1=1,又因为 a2-a1=3-1=2, 2-5=4, 则{an}是首项 a1=1,公差 d=2 的等差数列. 数列{an}的通项公式为 an=2n-1.

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1 1 1 (3)证明: + +?+ a1a2 a2a3 anan+1 1 1 1 1 =1· 3+3· 5+5· 7+?+?2n-1??2n+1? 1? ?1 1? ?1 1? 1?? =2??1-3?+?3-5?+?5-7?+?+ ?? ? ? ? ? ?
? 1 ? 1 ? ? ? ? - ? 2n-1 2n+1?? ? ?? ? 1? ?1- 1 ? 1 = ? < . 2? 2n+1? ? 2

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题型 5

数列的实际应用问题

例 5 [2012· 湖南高考]某公司一下属企业从事某种高科技产 品的生产.该企业第一年年初有资金 2000 万元,将其投入生产, 到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率与第一 年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金 d 万 元,并将剩余资金全部投入下一年生产,设第 n 年年底企业上缴 资金后的剩余资金为 an 万元.

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(1)用 d 表示 a1,a2,并写出 an+1 与 an 的关系式; (2)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4000 万 元,试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示). [解题视点] (1)只要根据增长率求出当年年底的资金总额,

再减去上缴的资金,就是剩余资金,即可求出 a1,a2,以及建立 an+1 与 an 间的递推关系式. (2) 使用逐次迭代的方法或者构造等比数列的方法均可求出 数列{an}的通项公式 an,令 am=4000 即可求出 d.

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[解]

(1)由题意得 a1=2000(1+50%)-d=3000-d,

3 5 a2=a1(1+50%)-d= a1-d=4500- d, 2 2 3 所以 an+1=an(1+50%)-d= an-d. 2 (2)解法一:由(1)得,当 n≥2 时, 3 an=2an-1-d

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? 3?3 =2?2an-2-d?-d ? ? ?3?2 3 ? ? = 2 an-2-2d-d ? ?

=?
? ? 3? n-2? ?3?n-1 3 ?3?2 =?2? a1-d?1+2+?2? +?+?2? ?. ? ? ? ? ? ? ? ?

整理得

?? 3?n-1 ? ?3?n-1 an=?2? (3000-d)-2d??2? -1? ?? ? ? ? ?

?3?n-1 =?2? (3000-3d)+2d. ? ?

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由题意,am=4000,
?3?m-1 所以? ? (3000-3d)+2d=4000, ?2? ?? 3? ? m ?? ? -2? ×1000 + 1000?3m-2m 1? ?? 2? ? d= = . ?3?m 3m-2m ? ? -1 ?2?


解得

1000?3m-2m 1? 故该企业每年上缴资金 d 的值为 时,经过 m m 3 -2 m(m≥3)年企业的剩余资金为 4000 万元.

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3 解法二:由于 an+1= an-d, 2 3 3 1 3 设 an+1+λ= (an+λ),化为 an+1= an+ λ,与 an+1= an-d 2 2 2 2 比较可得 λ=-2d, 3 故 an+1-2d=2(an-2d),这说明数列{an-2d}是以 a1-2d= 3 3000-3d 为首项, 为公比的等比数列, 2 所以 即
?3? - ? ?n 1, an-2d=(3000-3d)· ?2?

?3?n-1 ? ? an=(3000-3d)· +2d. ?2?

(下同解法一).
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解答数列实际应用问题的步骤 (1)确定模型类型:理解题意,看是哪类数列模型,一般有 等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型.基本特征 见下表:

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(2)准确解决模型:解模就是根据数列的知识,求数列的通 项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等,在解模时要注意 运算准确. (3)给出问题的回答:实际应用问题最后要把求解的数学结 果化为对实际问题的答案,在解题中不要忽视了这点. 提醒: 一般地,涉及递增率或递减率要用等比数列,涉及 依次增加或减少要用等差数列, 有的问题是可以通过转化得到等 差或等比数列的,注意之间的联系.

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变式训练 5 [2015· 北京东城模拟] 从社会效益和经济效益出发,某地投 入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,本 1 年度投入 800 万元,以后每年投入将比上一年减少5,本年度当 地旅游业收入估计为 400 万元, 由于该项建设对旅游业的促进作 1 用,预计今年的旅游业收入每年会比上一年增加4.

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(1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元, 旅游业总收 入为 bn 万元,写出 an,bn 的表达式; (2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?

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解: (1)第 1 年投入为 800 万元, 第 2 年投入为 元,?,第 n 年投入为 入为

? 1? 800×?1-5?万 ? ?

? 1?n-1 800× ?1-5? 万元,所以,n ? ?

年内的总投

? ? 1? 1?n-1 an=800+800×?1- ?+?+800× ?1- ? 5? 5? ? ? ? ? 4? - ? 4 ?4?2 =800×?1+5+?5? +?+?5?n 1? ? ? ? ? ? ? ? ? 4? ? =4000×?1-?5?n?. ? ? ? ?

第五章 高考大题冲关系列(三)

第49页

金版教程 · 高三一轮总复习 · 理科数学

第 1 年旅游业收入为 400 万元,第 2 年旅游业收入为
? 1? 400×?1+ ?万元,?,第 4? ?

n 年旅游业收入为

? 1?n-1 400×?1+ ? 万元, 4? ?

所以,n 年内的旅游业总收入为
? ? 1? 1?n-1 bn=400+400×?1+ ?+?+400× ?1+ ? 4? 4? ? ? ? ? 5? n-1? 5 ?5?2 =400×?1+4+?4? +?+?4? ? ? ? ? ? ? ? ?? 5?n ? =1600×??4? -1?. ?? ? ?

第五章 高考大题冲关系列(三)

第50页

金版教程 · 高三一轮总复习 · 理科数学

(2)设至少经过 n 年,旅游业的总收入才能超过总投入,由此 得 bn-an>0,即
?? 5? ? ? ? 4? ? n 1600×??4? -1?-4000×?1-?5?n?>0,令 ?? ? ? ? ? ? ?
2

?4? x= ? ?n,代入上式得 ?5?

?4? 2 2 5x -7x+2>0,解此不等式,得 x< 或 x>1(舍去).即? ?n< ,由此 5 ?5? 5

得 n≥5. ∴至少经过 5 年,旅游业的总收入才能超过总投入.

第五章 高考大题冲关系列(三)

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