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高一数学竞赛试题


灵台一中高一数学竞赛试题
班级_____
一、选择题(每小题4分,共40分)

姓名______

1.1920°转化为孤度数为( ) 16 32 16 32 A. B. C. ? D. ? 3 3 3 3 2.已知平面向量 a =(1,2), b =(-2,m),且 a ∥ b ,则 2 a +3 b = A.(-2,

-4) B.(-3,-6)
3





→ →

→ →

(

)

C.(-4,-8) )

D.(-5,-10)

3. 已知函数 f(x)=(1+cos2x)sin x,x∈R,则 f(x)是(

A.最小正周期为 ? 的奇函数 B.最小正周期为 ? 的偶函数 ? ? C.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数 2 2 π 4 7π 3 , 则 sin( α ? )的值是 ( 4. 已知 cos(α - )+sinα = ) 6 5 6
A-

2 3 5

B

2 3 5

C

-

4 5

D

4 5

5. 在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交于点 F, 若 AC ? a, BD ? b , 则 AF ? ( A.

?

?



1? 1? 2? 1? 1? 1? 1? 2? a? b a? b a? b B. C. D. a ? b 4 2 3 3 2 4 3 3 x x 6.函数 y ? sin ? 3 cos 的图像的一条对称轴方程是( ) 2 2 11 5? 5? ? A. x ? ? B. x ? C. x ? ? D. x ? ? 3 3 3 3 7.甲乙两人下棋,甲获胜的概率为30%,甲不输的概率为70%,则甲乙两人下一盘棋, 最可能出现的情况是( ) A.甲获胜 B.乙获胜 C.二人和棋 D.无法判断

8.函数 y ? 3 ? 4sin x ? cos 2 x 的最大值是(



A.0 B.3 C.6 D.8 9. 在长为 10 cm 的线段 AB 上任取一点 P,并以线段 AP 为边作正方形,这个正方形的面 积介于 25 cm2 与 49 cm2 之间的概率为( ) A.
3 10

B.

1 5

C.

2 5

D.

4 5

10 在 10 枝铅笔中,有 8 枝正品和 2 枝次品,从中不放回地任取 2 枝,至少取到 1 枝次 品的概率是( )
2 16 B. 9 45 2 17 C. D. 5 45 二、填空题(每小题4分,共20分)
A.

→ → → → → 11.已知向量 a =(2,3), b =(-1,4), m = a -λ b , → → → → → n =2 a - b ,若 m // n ,则λ= 12.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了 20 位工人某天
生产该产品的数量 .产品数量的分组区间为 ? 45,55? , ?55,65? , ?65,75? , ?75,85? , ?85,95? ,由此得到 图 4 频率分布直方图如图 3,则这 20 名工人中一天生产该产品数量在 ?55,75? 的人数是 13. 阅 读 图 4 的 程 序 框 图 , 若 输 入 m=4,n=3, 则 输 出 a=_______,i=________。 (注:框图中的赋值符号“=” ,也可以写成“←”或“:=” ) .

?? ? 14.函数y=Asin(ωx+φ) ? ? ? ? 部分图象如图,则 2? ?
函数解析式为y=________
15.用辗转相除法求两个数 102、238 的最大公约数是_____

三、解答题

16 .(13分)已知函数f(x)=Asin(x+ ? )(A>0,0< ? < ? ),x ? R的最大值 是1,其图像经过点M ?

?? 1? ,?. ? 3 2? ? ?

(1)求f(x)的解析式; (2)已知α ,β ? ? 0, ? ,且f(α )=

??
2?

3 12 ,f(β )= ,求f(α -β )的值. 5 13

17.(13 分)某初级中学共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表: 初一年级 女生 男生 373 377 初二年级 x 370 初三年级 y z

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是 0.19. (1) 求 x 的值;现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在初三年级抽取多少名? (2) 已知 y ? 245,z ? 245,求初三年级中女生比男生多的概率.

18.(12 分)根据下面的要求,求满足 1+2+3+…+n>500 的最小的自然数 n。 (Ⅰ)画出执行该问题的程序框图; (Ⅱ)以下是解答该问题的一个程序,但有几处错误,请找出这些错误并予以更正。 程序:i=1 S=1 n=0 DO S<=500 S=S+I i=i+1 n=n+1 WEND PRINT n+1 END

19. (12 分)已知 f ( x ) ? cos( 2 x ? ) ? 2 sin( x ? ) sin( x ? )

?
3

?
4

?
4

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期和图象的对称轴方程; (Ⅱ)求函数 f (x) 在区间 [?

, ] 上的值域。 12 2

? ?

20

(12分)已知函数f(t)=

1? t 17? , g ( x) ? cos x f (sin x) ? sin x f (cos x), x ?(? , ). 1? t 12

(Ⅰ)将函数g(x)化简成Asin(ω x+φ )+B(A>0,ω >0,φ ∈[0,2π ])的形式; (Ⅱ)求函数g(x)的值域.

21(附加题) (14分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们的终 边分别与单位圆相交于 A, B 两点,已知 A, B 的横坐标分别

2 2 5 , ; 10 5

? ? ? ) 的值 (1)求 tan(

(2)求 ? ? 2? 的值。

题次 答案

1 D

2 B

3 D

参考答案: 4 5 C A

6 C
1 3

7 C

8 C

9 B

10 C

11.λ =1/2; 12..13;13 a=12,i=3; 14. y ? 2sin( x ? 16 解: (1)依题意知 A=1; f ?

?
6

) ;15. 34。

?? ? ?? ? 1 ? ? sin ? ? ? ? ? , ?3? ?3 ? 2



?
3

?

?
3

?? ?

4? 3



?

?
3

?? ?

5? 6



??

?
2

; 因此 f ? x ? ? sin ? x ?

? ?

??

? ? cos x ; 2?

(2)

f ?? ? ? c o s ??

3 12 ? ?? ,f ? ? ? ? cos ? ? , 且 ? , ? ? ? 0, ? 5 13 ? 2? s? in 3 12 s? i?n ? 5 13

?

sin ?? 56 ?; 65

4 , 5

sin ? ?

5 ; 13

f ?? ? ?? ?c o s s? ? ?? ? ? ? c o s? c o ? x ?0.1; 9 ? 2000

4 5 ? ? 5 13

17 解: (1)

x ? 380 (2)初三年级人数为 y+z=2000-(373+377+380

+ 370 )= 500 , 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,应在初三年级抽取的人数为:

48 ? 500 ? 12 名 2000
(3)设初三年级女生比男生多的事件为 A ,初三年级女生男生数记为(y,z) ; 由(2)知 y ? z ? 500 ,且

y, z? N,基本事件空间包含的基本事件有: (245,255) 、
5 ; 11

(246,254) 、 (247,253) 、??(255,245)共 11 个事件 A 包含的基本事件有: (251,249) 、 (252, 248) 、 (253,247) 、(254,246)、(255,245) 共 5 个; ? 19、解: (1)

P ( A) ?

f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

?

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 2

1 3 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 2 2 ? 2? ? ? k? ? ? s i n (x2? )?周期T ? ? ? ? (k ? Z ) 由 2 x ? ? k? ? (k ? Z ), 得x ? 6 2 6 2 2 3 ? ? ? ? ? 5? ? 函数图象的对称轴方程为 x ? k? ? (k ? Z ) (2) x ? [? , ],? 2 x ? ? [? , ] 3 12 2 6 3 6 ? ? ? ? ? ? 因为 f ( x) ? sin(2 x ? ) 在区间 [? , ] 上单调递增, 在区间 [ , ] 上单调递减, 所以 当 x ? 6 12 3 3 2 3
时, f ( x ) 去最大值 1 又

f (?

?
12

)??

? 3 ? 1 3 , ? f ( ) ? ,当 x ? ? 时, f ( x) 取最小值 ? 12 2 2 2 2

所以 函数 f ( x ) 在区间 [? 20 题解: (Ⅰ)

3 , ] 上的值域为 [? ,1] 12 2 2

? ?

g ( x) ? cos x ? cos x

1 ? sin x 1 ? cos x ? sin x ? cos x 1 ? sin x 1 ? cos x

(1 ? sin x)2 ? sin x cos2 x

(1 ? cos x)2 sin 2 x

1 ? sin x 1 ? cos x ? sin x . cos x sin x

? 17? ? x ? ? ?, ,? cos x ? ? cos x, sin x ? ? sin x, ? 12 ? ?
= 2 sin ? x ?

? g ( x) ? cos x

1 ? sin x 1 ? cos x ? sin x ? cos x ? 2 ? sin x ? cos x ? sin x

? ?

?? ? ? 2. 4?

(Ⅱ)由

?<x ?

17 ? 5? ? 5? , <x ? ? . 得 12 4 4 3

? 5? 3? ? ? 3? 5? ? sin t 在 ? , ? 上为减函数,在 ? , ? 上为增函数, ? 4 2? ? 2 3?

又 sin

5? 5? 3? ? 5? ? 17 ? ? <sin ,? sin ? sin( x ? )<sin (当 x ? ? ?, ,即 ?) 3 4 2 4 4 2 ? ?
故 g(x)的值域为 ? ? 2 ? 2, ?3 .

? 2 ? ?1 ? sin( x ? )< ? , ?? 2 ? 2 ? 2 sin( x ? ) ? 2< ? 3, 4 2 4

?

?

21 解:由条件得 cos ? ?

2 2 5 , ,cos ? ? 10 5

? 为锐角,故 sin ? ? 0且 sin ? ?

7 2 。同理可得 10

1 7? 1 tan ? ? tan ? 5 2 =-3 。 ,因此 tan ? ? 7, tan ? ? 。 (1) tan(? ? ? ) ? ? sin ? ? 2 5 1 ? tan ? tan ? 1 ? 7 ? 1 2
(2)

tan(? ? 2? ) ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ?
3? 。 4
(2) 7 27

?3 ?

1 1 ? (?3) ? 2

1 2

=-1

0 ?? ?

?
2

,0 ? ? ?

?
2

, ? 0 ? ? ? 2? ?

3? , 2

从而 ? ? 2 ? ?

232 22 题: (1) ; 243


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