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2011年全国高中数学联赛模拟卷(9)(一试+二试,附详细解答)


2011 年全国高中数学联赛模拟卷(9)第一试 年全国高中数学联赛模拟 模拟卷 第一试
(考试时间:80 分钟 考试时间: 考试时间 满分: 满分:120 分) 姓名: 考试号: 得分: 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 考试号 得分 小题, 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分) 填空题(
1、某天下午的课程表要排入物理、化学、生物和两节自习共 5 节课,如果第 1 节不排生物,最后 1 节 不排物理,那么不同的排课表的方法有__________种. 2、函数 f (x)的定义域为 D,若满足①f (x)在 D 内是单调函数,②存在[a, b]?D,使 f (x)在[a, b]上的值域 为[a, b],那么 y=f (x)叫做闭函数,现有 f ( x ) = 3、如图,在△ABC 中, cos

x + 2 + k 是闭函数,那么 k 的取值范围是_________

C 2 5 = , AH ? BC = 0, AB ? (CA + CB ) = 0 , 2 5

则过点 C,以 A、H 为两焦点的双曲线的离心率为 _________ 4、一个单位正方形的中心和一个圆的圆心重合,并且正方形在圆的内部, 1 在圆上随机选一点,则由该点可以看到正方形的两条完整的边的概率为 ,则该圆的半径为________ 2 5、 有一个正四棱锥, 它的底面边长与侧棱长均为 a , 现用一张正方形包装纸将其完全包住(不能裁剪纸, 但可以折叠),那么包装纸的最小边长应为____________. 6、 若实数 a, b, x, y 满足 ax + by = 3, ax2 + by2 = 7 ,ax3 + by3 = 16 ,ax4 + by4 = 42 , ax 5 + by 5 = ________ 则 7、设对于任意满足

m < 7 的自然数 m , n 有不等式 7 ? m 2 ≥ λ 恒成立,则 λ 的最大值为__________ n n2 n2

8、圆周上有 10 个等分点, 则以这 10 个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中, 梯形所占的比为_______

小题, 二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分) 解答题( 、 9.已知正实数 x, y ,设 a = x + y , b = x 2 + 7 xy + y 2 . (1)当 y = 1 时,求 的取值范围; .
(2)若以 a, b 为三角形的两边,第三条边长为 c 构成三角形,求
c2 的取值范围. xy
b a

2 10. 已知数列{an}: a1 = 20, a 2 = 30 , an+1 = 3a n ? an?1 . ⑴ 证明: a n ? a n ?1 a n +1 = ?500 (n ≥ 2) ⑵ 求出所有的正整数 n ,使得 5a n +1 a n + 1 为完全平方数.

a2 b2 c2 d 2 11. 设 a, b, c, d 为正实数,且 a + b + c + d = 4 .证明: + + + ≥ 4 + ( a ? b) 2 . b c d a

2011 模拟卷(9)

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2011 年全国高中数学联赛模拟卷(9)加试 年全国高中数学联赛模拟 模拟卷 加试
(考试时间:150 分钟 考试时间: 考试时间 满分: 满分:180 分) 姓名: 考试号: 得分: 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 考试号 得分 (本题满分 一、 本题满分 40 分)等腰直角△ABC 中,∠A=90°,点 D 和 E 为边 BC 上的点,且∠DAE=45°, (
△ADE 的外接圆分别交边 AB 和 AC 于点 P 和 Q,求证:BP+CQ=PQ

C E Q D A P B

(本题满分 二、 本题满分 40 分)已知 n 为正整数,且 a1 , a 2 , a 3 ,? , a k (k ≥ 2) 是集合 {1,2,… , n} 中不同的正整 ( 数,其满足 n 整除 a i ( a i +1 ? 1), i = 1,2,? , k ? 1 ,证明: n 不整除 a k ( a1 ? 1) .

(本题满分 三、 本题满分 50 分)已知△ABC 的三边长分别为 a、b、c,且满足 abc= 2(a ? 1)(b ? 1)(c ? 1). (
(1)是否存在边长均为整数的△ABC?若存在,求出三边长;若不存在,说明理由。 (2)若 a>1,b>1,c>1,求出△ABC 周长的最小值。

(本题满分 四、 本题满分 50 分)设 n 是一个固定的正偶数. 考虑一块 n × n 的正方板,它被分成 n 2 个单位正 (
方格. 板上两个不同的正方格,如果有一条公共边,就称它们为相邻的. 将板上 N 个单位正方格作上 标记,使得板上的任意正方格(作上标记的或者没有作上标记的)都与至少一个作上标记的正方格相 邻. 确定 N 的最小值.

2011 模拟卷(9)

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2011 年全国高中数学联赛模拟卷 答案 年全国高中数学联赛模拟卷(9)答案
1、由容斥原理知,有

5! 4! 3! ? 2 ? + = 39 种. 2 2 2

2、 x + 2 + k = x 在[-2, +∞)有两不等实根. 设 x + 2 = t ∈ [0, +∞) , g (t ) = t 2 ? t ? ( k + 2) = 0 在 则 [0, +∞)有两个不等实数根,则 ? = 1 + 4(k + 2) > 0 且 g (0) ≥ 0 解得 k ∈ ?

(

9 , ?2 ? . ? 4 ?

3、取 AB 的中点 D, 则 CA + CB = 2 AD , 由 AB ? (CA + CB ) = 0 得 AB ? AD = 0 , 即 AB ⊥ AD . 故△ABC 的底边 AB 上的高线与中线重合. 从而△ABC 是等腰三角形. AC=BC. 由 AH ? BC = 0 知,

C 1 2× C 2 5 C 5 C 1 2 = 2 =4. AH ⊥ BC . 由 cos = , 知 sin = , tan = ,则 tan C = C 1 2 5 2 5 2 2 1 ? tan 2 1 ? ( )2 3 2 2

2 tan

在 Rt△ACH 中, 不妨设 CH=3, 则 AH=4, BC=AC=

AH 2 + CH 2 =5. AH 4 故以 A、H 为两焦点的双曲线的离心率为 e = = = 2. AC ? CH 5 ? 3

4、在正方形相邻边所夹的劣弧上,可以看到完整的两条边。而由题设“可以看到正方形的两条完整的 1 4+2 2 边的概率为 ” ,可知延长正方形的边与圆的 8 个交点将圆周 8 等分.可以得到圆半径为 . 2 2 5、将正四棱锥的侧面向外展开到底面,则 4 个侧面三角形的顶点所构成的正方形即为最小正方形,

2+ 6 a. 2 3 6、因为 ax + by 3 = 16 ,所以 (ax 3 + by 3 )( x + y ) = 16( x + y ) .
边长为 所以 ( ax 4 + by 4 ) + xy ( ax 2 + by 2 ) = 16( x + y ) .即 42 + 7 xy = 16( x + y ) ……⑴ 因为 ax 2 + by 2 = 7 ,所以 ( ax 2 + by 2 )( x + y ) = 7( x + y ) . 所以 ( ax 3 + by 3 ) + xy ( ax + by ) = 7( x + y ) .即 16 + 3 xy = 7( x + y ) ……⑵ 由⑴、⑵,解得 x + y = ?14 , xy = ?38 . 又因为 ax 4 + by 4 = 42 ,所以 ( ax 4 + by 4 )( x + y ) = 42( x + y ) . 所以 ( ax 5 + by 5 ) + xy ( ax 3 + by 3 ) = 42( x + y ) .所以 ax 5 + by 5 = 42( x + y ) ? 16 xy = 20 . 注:用递归数列也可求解.
2 2 2 2

7、 原不等式 ? 7 n ? m ≥ λ . 7 n ≡ 0 ( mod 7 ) , m ≡ 0,1, 2, 4 ( mod 7 ) . ∴ λmax = 3 . 8、任选 4 点,共有 C10 = 210 个凸四边形,其中梯形的两条平行边可以从 5 组平行于直径的 5 条平行
4

弦中选取,也可以从不平行于直径的 4 条平行弦中选取,除去矩形,梯形共有 60 个,所以,梯形所 占的比为

2. 7


9、解: (1)∵ x = a ? 1 ,且 a = x + 1 > 1

(a ? 1) 2 + 7(a ? 1) + 1 b a 2 + 5a ? 5 1 1 9 = = = ?5( ? ) 2 + a a a2 a 2 4 b 1 1 1 9 9 ? 3? 又 a = x + 1 > 1 ? ∈ (0,1) , 结合二次函数的图像知 1 < ?5( ? )2 + ≤ ,故 的取值范围为 ?1, ? a a 2 4 4 a ? 2?

1 5 5 5 b x2 + 7 x + 1 x2 + 7 x + 1 5x ≤ 另解: = = 2 = 1+ 2 = 1+ , ∵ x + 2 + ≥ 4,0 < 1 1 4 x a x +1 x + 2x + 1 x + 2x + 1 x+2+ x+ 2+ x x

2011 模拟卷(9)

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∴1 <

b 3 b ? 3? ≤ ,得 的取值范围为 ?1, ? a 2 a ? 2?

(2)设

?c < ( x + y ) + x 2 + 7 xy + y 2 c2 ? = k ,则 c = k ? xy ∵ ? 恒成立, , xy ?c > x 2 + 7 xy + y 2 ? ( x + y ) ?

? ( x + y ) + x 2 + 7 xy + y 2 ? x y x y ? k< + +2+ + +7 ? k< xy y x y x ? ? 即 ? ,? 恒成立, x y x y x 2 + 7 xy + y 2 ? ( x + y ) ? ? ? k> ? k > y + x +7 ? y + x +2 xy ? ? x 1 1 1 令 = t ,由于 y = t + 在 [1, +∞ ) 是增函数,令 f (t ) = t + + 7 + t + + 2 , y t t t

1 1 1 1 则 f (t ) = t + + 7 + t + + 2 ≥ 9 + 4 = 5 又 ∵ t + + 7 ? t + + 2 = t t t t ∴1 < k < 5,1 < k < 25 ,得 c2 的取值范围为 (1, 25 ) xy

5 1 1 t + +7 + t + +2 t t

≤1

2 10、解 a1 = 20, a2 = 30 , a 3 = 70, a 4 = 180. 我们用归纳法证明. an ? an?1an+1 = ?500 (n ≥ 2) (*)

(1)当 n = 2 时,结论成立.

(2)假设当 n = k (k ≥ 2) 时,结论成立。即 a k ? a k ?1 a k +1 = ?500.
2

又由于 a k ?1 = 3a k ? a k +1 . 代入上式可得: a k ? 3a k a k +1 + a k +1 = ?500. ……①
2 2

则当 n = k + 1 时, a k +1 ? a k a k + 2 = a k +1 ? a k (3a k +1 ? a k ) = a k +1 ? 3a k a k +1 + a k = ?500 (由①)
2 2

2

2

故当 n = k + 1 时,结论成立,即(*)式成立.
2 2

又 a n ?1 = 3a n ? a n +1 可知: a n +1 ? 3a n a n +1 + a n = ?500.
2

则 5a n +1 a n = ( a n +1 + a n ) + 500 , 5a n +1 a n + 1 = ( a n +1 + a n ) + 501.
2

设 5a n +1 a n + 1 = t (t ∈ N ). 则 t ? ( a n +1 + a n ) = 501. 知: [t ? ( a n +1 + a n )] ? ( a n +1 + a n + t ) = 501.
2 2 2

又 a n +1 + a n ∈ N 且 501 = 1 × 501 = 3 × 167 故?

? a n +1 + a n ? t = ?1 ? a n +1 + a n ? t = ?3 或? a n+1 + a n + t = 501 ?a n+1 + a n + t = 167 ? 则当 n = 3 时,满足条件.

故?

t = 251 t = 85 ? 或? (舍去) a n+1 + a n = 250 ?a n +1 + a n = 82 ? ?

11.证明 因为 a + b + c + d = 4 ,要证原不等式成立,等价于证明

a2 b2 c2 d 2 4( a ? b ) 2 + + + ≥ a+b+c+d + …… ① b c d a a+b+c+d a2 b2 c2 d 2 事实上, + + + ? (a + b + c + d ) b c d a a2 b2 c2 d2 = ( + b ? 2a ) + ( + c ? 2b) + ( + d ? 2c) + ( + a ? 2d ) b c d a 1 1 1 1 = (a ? b) 2 + (b ? c) 2 + (c ? d ) 2 + (d ? a ) 2 ……… ② b c d a 2 2 (a ? b) (b ? c) (c ? d ) 2 (d ? a )2 由柯西不等式知 [ + + + ](a + b + c + d ) b c d a
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≥ (| a ? b | + | b ? c | + | c ? d | + | d ? a |) 2 又由 | b ? c | + | c ? d | + | d ? a |≥| b ? a | 知

…………… ③

(| a ? b | + | b ? c | + | c ? d | + | d ? a |) 2 ≥ 4(a ? b) 2 …………④
由②,③,④,可知①式成立,从而原不等式成立.

C D' E

二 试
一、设 CE=x, ED=y,DB=z, 则 AB=AC= PQ 为圆的直径, ∴DE=PQsin45° 即 PQ= 2 y ∵BP·AB=BD·BE 2 (x+y+z) 2

Q D B

2 ( y + z) z 2 ( y + x) x A P ,同理,CQ= x+ y+z x+ y+z 故要证 BP+CQ=PQ,只要证 x2+z 2=y2 将△BAD 绕 A 逆时针旋转 90°,则 B 转到 C,设 D 转到 D',则∠D'CE=∠B+∠ACE=90°, ∴x2+z 2=D'E2。在△AD'E 和△ADE 中,∠D'AE=∠DAB+∠CAE=90°-∠EAD=45°=∠EAD 且 D'A=DA,AE=AE,∴△AD'E≌△ADE,∴DE=D'E,∴x2+z 2=y2
∴BP=

其中 p a k , q a1 ? 1 , 则可以推得:p ai , q ai ? 1(i = 1,2,?, k ) , 二、 如果 n 整除 a k ( a1 ? 1) .不妨设 n = pq , 显然 p, q 互素,且 pq a i ( a i ? 1)(i = 1,2,? , k ) ,只要令 k = 1,2 ,则

pq a1 (a1 ? 1) ? a 2 (a 2 ? 1) = (a1 ? a 2 )(a1 + a 2 ? 1) ,而 p / a1 + a 2 ? 1 , q / a1 + a 2 ? 1 , | |
故 pq a1 ? a 2 ,即 n | a1 ? a 2 ,而 a1 , a 2 ∈ {1,2,… , n} ,矛盾. 三.解: (1)不妨设整数 a≥b≥c,显然 c≥2。 若 c≥5,这时

1 1 1 1 ≤ ≤ ≤ . a b c 5 1 1 1 1 4 3 由 abc = 2( a ? 1)(b ? 1)(c ? 1) ,可得 = (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ≥ ( ) 。 矛盾。 2 a b c 5
又 a≥b≥2,故无解。

故 c 只可能取 2,3,4。 当 c=2 时, ab = ( a ? 1)(b ? 1) ,有 a + b = 1.

当 c=3 时, 3ab = 4( a ? 1)(b - 1 ,即 ( a ? 4)(b ? 4) = 12 , 又 a≥b≥3, ) 故?

?a ? 4 = 12 ?a ? 4 = 6 ?a ? 4 = 4 或? 或? ? b ? 4 = 1 ?b ? 4 = 2 ?b ? 4 = 3

解得 ?

?a = 16 ?a = 10 ?a = 8 或? 或? ? b = 5 ? b = 6 ?b = 7

能构成三角形的只有 a=8,b=7,c=3。 当 c=4 时,同理解得 a=9,b=4 或 a=6,b=5。 能构成三角形的只有 a=6,b=5,c=4。 故存在三边长均为整数的△ABC,其三边长分别为 4,5,6 或 3,7,8

1 1 1 (1 ? ) + (1 ? ) + (1 ? ) 1 1 1 1 a b c ]3 (2)由 abc = 2( a ? 1)(b ? 1)(c ? 1) ,可得 = (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ≤ [ 2 a b c 3 1 1 1 2 1 1 1 9 9 33 2 所以 + + ≤ 3 ? , 又 a + b + c)( + + ) ≥ 9 ,则有 a + b + c ≥ ( ≥ =3 3 1 1 1 2 a b c a b c 2 2 ?1 + + 3? 3 a b c 2
故△ABC 的周长最小值为

33 2
3

2 ?1

,当且仅当 a = b = c =

3 3

2

2 ?1

时,取得此最小值。

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四、解:设 n = 2k . 首先将正方板黑白相间地涂成象国际象棋盘那样.设 f (n) 为所求的 N 的最小值.

fw(n) 为必须作上标记的白格子最小数目,使得任一黑格都有一个作上标记的白格子与之相邻. 同样
定义 fb(n) 为必须作上标记的黑格子最小数目,使得任一白格都有一个作上标记的黑格子与之相邻. 由于 n 是偶数, “棋盘” 是对称的, 故有 fw(n) = fb(n) 且 f (n) = fw(n) + fb(n) .为方便, “棋盘” 将 按照最长的黑格子对角线水平放置,则各行黑格子数目分别为 2,4, ? ,2k , ? ,4,2. 在含有 4i ? 2 个黑 格子那行下面,将奇数位置白格子作上标记.当该行在对角线上方时,共有 2i 个白格子作上了标记; 而当该行在对角线下方时,共有 2i ? 1 个白格子作上了标记.因而作上标记的白格子共有

2 + 4 +?+ k +?+ 3 +1 =

k (k + 1) 个. 2

易见这时每个黑格子都与一个作上标记的白格子与之相邻. 故得: fw(n) ≤

k (k + 1) 个作上标记的白格子.它们中任意两个没有相邻公共黑格子, 2 k (k + 1) k (k + 1) 所以至少还需将 个黑格子作上标记,从而 fb( n) ≥ . 2 2 k (k + 1) n ( n + 2) 因此, fw( n) = fb( n) = . f ( n) = . 2 4
考虑这

k (k + 1) . 2

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