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必修2课件:3.1


思考?
一条直线的位置由哪些条件确定呢?

答:两点确定一条直线。

y

l
P ( x1 , y1 ) 1

P2 ( x2 , y2 )

x

o

一、直线的倾斜角 1、定义:
当直线l与X轴相交时

,我们
y

l

取X轴作为基准,X轴正向与直线

l向上方向之间所成的角叫做直线 的倾斜角 规定:当直线 l与 x轴平行或重合时,其倾斜角为 0 ?

x

o

a

练习:
下列图中标出的直线的倾斜角对不对?如果不对,违 背了定义中的哪一条?
y y y y

o

?

x

o

?

x

?

o

x

?
o
(D)

x

(A)

(B)

(C)

2、直线倾斜角的范围:
思考? 直线的倾斜角范围是多少?

按倾斜角去分类,直线可分几类?
y p o

l

y p o

l

y p o

y

? x

?x

?
x

p o

l
x

l

0°<

? < 90°

? = 90°
直角

90°< ? <180°

? = 0°
零度角

锐角

钝角

2、直线倾斜角的范围:
思考? 直线的倾斜角范围是多少?
答:直线的倾斜角的取值范围为: ? ? a ? 180 ? 0

二、直线的的斜率
日常生活中,我们经常用“升高量与前进量 的 比”表示倾斜面的“坡度”(倾斜程度), 即 升高量

坡度 ?

前进量

1、定义:
我们把一条直线的倾斜角

a 的正切值叫做这

条直线的斜率。
用小写字母 k 表示,即:

k ? tan a

思考: 是否每条直线都有斜率?
1. 如果倾斜角是锐角? 2. 如果倾斜角是直角? 3. 如果倾斜角是钝角?

k ? tan a
k不存在

k ? tan ? ? ? tan(180? ? a) k ?0

4. 如果倾斜角是零度角?

练习: 已知直线的倾斜角,求直线的斜率 1. a ? 30? 2. a ? 45? 3. 5. 7.

a ? 60

?

4.
?

a ? 90

?

a ? 120 a ? 150

6. 8.

a ? 135 a?0
?

?

?

3、探究:由两点确定的直线的斜率
倾斜角是锐角时
y
y2
y1
P2 ( x2 , y2 )

如图,当α为锐角时,

k ? tan?

?
P ( x1 , y1 ) 1

Q( x2 , y1 )

能不能构造 ? ? ?P2 PQ 一个直角三 1 且x 角形去求?y ?x ,y ?
1 2 1

2

o

?

QP2 y2 ? y1 k ? tan? ? tan ?P2 PQ ? ? 1 PQ x ? x 1 2 1

x1

x2

x

在Rt?P2 PQ中 1

?0

倾斜角是钝角时
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )

如图,当α为钝角是, ? ? ? 180 ? ? , 且x1 ? x2 , y1 ? y2 tan? ? tan(180 ? ? ? )

?
Q( x2 , y1 )

P ( x1 , y1 ) 1

o

?

x2

x1

x

y2 ? y1 y2 ? y1 ? k ? tan? ? ? ? x1 ? x2 x2 ? x1

? ? tan? 在Rt?P2QP中 1 y2 ? y1 P2Q ? tan? ? x1 ? x2 PQ 1

?0

思考?
1、当
y
p1 p 2 的位置对调时, k
P ( x1 , y1 ) 1

值又如何呢?
P ( x1 , y1 ) 1

? ? o
(3)

y

Q( x2 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )

?
Q( x2 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )

?

x

o

(4)

x

请同学们课后推导!

思考?
? 2、当直线平行于x轴,或与x轴重合时, ? ?0 上述公式还适用吗?为什么?

y
P ( x1 , y1 ) 1

P2 ( x2 , y2 )

y2 ? y1 k? x2 ? x1

k ?0

x1

o

x2

x

答:成立,因为 分子为0,分母不 为0,k =0

思考?
? ? 3、当直线平行于y轴,或与y轴重合时, ? ? 90 , tan 90 (不存在) 上述公式还适用吗?为什么?

k不存在

y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )
P ( x1 , y1 ) 1

y2 ? y1 k? x2 ? x1

o

x

答:不成立, 因为分母为0。

4、直线的斜率公式:
综上所述,我们得到经过两点 P ( x1, y1 ), 1 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) 的直线的斜率公式:

y2 ? y1 y1 ? y2 k? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2
P2
P1 P1

P2

例1 如图,已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2),

求直线AB、BC、CA的斜率,并判断这些直线
的倾斜角是什么角?
B 解:直线AB的斜率 k AB ? 直线BC的斜率 kBC
? ?2?2 ?4 1 ? ?? 0 ? (?8) 8 2

y.

2?2 ?0 ?8? 4

.
o

A

. . . .

. . .

.
C

x

∵ k AB ? 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∵ k BC ? 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∵ kCA ? 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角

2 ? (?2) 4 ? ?1 直线CA的斜率 kCA ? 4?0 4

三、小结:
1、直线的倾斜角定义及其范围: 0 ? ? ? 180
? ?

2、直线的斜率定义: k ? tan a 3、斜率k与倾斜角 ? 之间的关系:

(a ? 90 )
?

y2 ? y1 y1 ? y2 4、斜率公式: k ? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2

?a ? 0? ? k ? tan 0? ? 0 ? ? ? ?0 ? a ? 90 ? k ? tan a ? 0 ? a ? 90 ? ? tan a(不存在) ? k不存在 ? ?90 ? ? a ? 180 ? ? k ? tan a ? 0 ?

作业: 课本p86 练习 1.2.3 P89 习题3.1 A组 1,2

谢谢

练习(课本p86 练习3)
已知a,b,c是两两不相等的实数,求经过两点 的直线倾斜角
1.

A(a,c) B(b,c)
C(a,b) D(a,c) P(b,b+c) Q(a,c+a)

2.

3.

作业;(课本p89 习题3.1 A组4)
1, m为何值时,经过两点A(-m,6), B(1,3m)的直线斜率是12?

2, m为何值时,经过两点A(m,2), B(-m,-2m-1)的直线斜率的倾斜角是 60°?


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