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2011年高三数学(文科)一轮复习讲义:2.10+导数的应用


一、填空题(共 9 小题,每小题 6 分,满分 54 分) 1、 (2009?江苏)函数 f(x)=x ﹣15x ﹣33x+6 的单调减区间为 _________ . 2、若函数
x 3 2

在(1,+∞)上是增函数,则实数 k 的取值范围是 _________ .

3、函数 f(x)=(x﹣3)e 的单调递增区间是 ____

_____ . 4、用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四 边折起,就能焊接成铁盒,所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为 _________ cm. 5、 已知函数 (x) f 的导数 f′ (x) (x+1)(x﹣a) 若 (x) x=a 处取到极大值, a 的取值范围是 _________ . =a ? , f 在 则 3 6、2007?江苏) ( 已知函数(x) ﹣12x+8 在区间[﹣3, f =x 3]上的最大值与最小值分别为 M, 则 M﹣m= _________ . m, 7、若函数 f(x)=x+asin x 在 R 上递增,则实数 a 的取值范围为 _________ . 8、把函数 f(x)=x ﹣3x 的图象 C1 向右平移 u 个单位长度,再向下平移 v 个单位长度后得到图象 C2,若对任意 u >0,曲线 C1 与 C2 至多只有一个交点,则 v 的最小值 _________ . 3 9、 (2008?江苏)f(x)=ax ﹣3x+1 对于 x∈[﹣1,1]总有 f(x)≥0 成立,则 a= _________ . 二、解答题(共 3 小题,满分 46 分) 10、设 a>0,函数 f(x)= ,b 为常数.
3

(1)证明:函数 f(x)的极大值点和极小值点各有一个; (2)若函数 f(x)的极大值为 1,极小值为﹣1,试求 a 的值. 3 2 11、已知函数 f(x)=x ﹣ax ﹣3x(a∈R) . (Ⅰ)若函数 f(x)在区间[1,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 是函数 f(x)的极值点,求函数 f(x)在区间[1,a]上的最大值;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数 b,使得函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个交点?若存 在,请求出 b 的取值范围;若不存在,试说明理由. 12、 (2009?天津)设函数 x(x∈R) ,其中 m>0.

(1)当 m=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线的斜率; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值; (3)已知函数 f(x)有三个互不相同的零点 0,x1,x2,且 x1<x2,若对任意的 x∈[x1,x2],f(x)>f(1)恒成立, 求 m 的取值范围.

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答案与评分标准 一、填空题(共 9 小题,每小题 6 分,满分 54 分) 3 2 1、 (2009?江苏)函数 f(x)=x ﹣15x ﹣33x+6 的单调减区间为 (﹣1,11) . 考点:利用导数研究函数的单调性。 专题:计算题。 分析:要求函数的单调减区间可先求出 f′(x) ,并令其小于零得到关于 x 的不等式求出解集即可. 2 2 解答:解:f′(x)=3x ﹣30x﹣33=3(x ﹣10x﹣11) =3(x+1) (x﹣11)<0, 解得﹣1<x<11,故减区间为(﹣1,11) . 故答案为: (﹣1,11) 点评:此题考查学生利用导数研究函数的单调性的能力. 2、若函数 在(1,+∞)上是增函数,则实数 k 的取值范围是 [﹣2,+∞) .

考点:利用导数研究函数的单调性。 分析:先对函数 h(x)求导,令导函数大于等于 0 在(1,+∞)上恒成立即可求出答案. 解答:解:∵ ∴h'(x)=2+ ≥0 在(1,+∞)上恒成立

因为函数 h(x)在(1,+∞)上是增函数,所以 h'(x)=2+
2

即 k≥﹣2x 在(1,+∞)上恒成立 ∴k≥﹣2 故答案为:[﹣2,+∞) 点评:本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系.属基础题. 3、函数 f(x)=(x﹣3)e 的单调递增区间是 (2,+∞) . 考点:利用导数研究函数的单调性。 专题:计算题。 x x 分析:首先对 f(x)=(x﹣3)e 求导,可得 f′(x)=(x﹣2)e ,令 f′(x)>0,解可得答案. x x x 解答:解:f′(x)=(x﹣3)′e +(x﹣3) )′=(x﹣2)e ,令 f′(x)>0,解得 x>2. (e 故答案为: (2,+∞) . 点评:本题考查导数的计算与应用,注意导数计算公式的正确运用与导数与单调性的关系. 4、用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四 边折起,就能焊接成铁盒,所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为 8 cm. 考点:函数模型的选择与应用。 专题:应用题。 分析:根据题意先设小正方形边长为 x,计算出铁盒体积的函数解析式,再利用导数研究此函数的单调性,进而求 得此函数的最大值即可. 解答:解:设小正方形边长为 x,铁盒体积为 y. 2 3 2 y=(48﹣2x) ?x=4x ﹣192x +2304x. 2 y′=12x ﹣384x+2304=12(x﹣8) (x﹣24) . ∵48﹣2x>0, ∴0<x<24. ∴x=8 时,ymax=8192. 故答案为:8.
x

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点评:本小题主要考查函数模型的选择与应用,属于基础题.解决实际问题通常有四个步骤: (1)阅读理解,认真 审题; (2)引进数学符号,建立数学模型; (3)利用数学的方法,得到数学结果; (4)转译成具体问题作出解答, 其中关键是建立数学模型. 5、已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(x+1)?(x﹣a) ,若 f(x)在 x=a 处取到极大值,则 a 的取值范围是 (﹣1, 0) . 考点:利用导数研究函数的极值。 分析:首先求出函数导数的导数,即函数的二阶导数,此时为了满足 f(x)在 x=a 处取到极大值,应使函数的二阶 导数小于零,从而求出 a 的范围. 解答:解析:∵f′(x)=a(x+1) (x﹣a) , ∴f″(x)=2ax+a(1﹣a) , 又∵f(x)在 x=a 处取到极大值, ∴在 x=a 处 f″(x)<0, 即 a(a+1)<0, ∴﹣1<a<0, 故答案为(﹣1,0) . 点评:掌握函数的极值与各阶导数的关系. 3 6、 (2007?江苏)已知函数 f(x)=x ﹣12x+8 在区间[﹣3,3]上的最大值与最小值分别为 M,m,则 M﹣m= 32 . 考点:利用导数求闭区间上函数的最值。 专题:计算题。 分析:先对函数 f(x)进行求导,令导函数等于 0 求出 x,然后根据导函数的正负判断函数 f(x)的单调性,列出 在区间[﹣3,3]上 f(x)的单调性、导函数 f'(x)的正负的表格,从而可确定最值得到答案. 解答:解:令 f′(x)=3x ﹣12=0,得 x=﹣2 或 x=2, 列表得:
2

可知 M=24,m=﹣8,∴M﹣m=32. 故答案为:32 点评:本题主要考查函数的求导运算、函数的单调性与其导函数的正负之间的关系和函数在闭区间上的最值.导数 是由高等数学下放到高中的内容,每年必考,要引起重视. 7、若函数 f(x)=x+asin x 在 R 上递增,则实数 a 的取值范围为 [﹣1,1] . 考点:函数的单调性与导数的关系;函数单调性的性质。 专题:计算题。 分析:先对函数 f(x)=x+asin x 进行求导,根据原函数是 R 上的增函数一定有其导函数在 R 上大于等于 0 恒成立得 到 1+acosx≥0,再结合 cosx 的范围可求出 a 的范围. 解答:解:∵f′(x)=1+acosx, ∴要使函数 f(x)=x+asinx 在 R 上递增,则 1+acosx≥0 对任意实数 x 都成立. ∵﹣1≤cosx≤1, ①当 a>0 时﹣a≤acosx≤a, ∴﹣a≥﹣1,∴0<a≤1; ②当 a=0 时适合; ③当 a<0 时,a≤acosx≤﹣a, ∴a≥﹣1, ∴﹣1≤a<0. 综上,﹣1≤a≤1. 故答案为:[﹣1,1] 点评:本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,即当导函数大于 0 时原函数单调递增,当导函数
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小于 0 时原函数单调递减. 8、把函数 f(x)=x ﹣3x 的图象 C1 向右平移 u 个单位长度,再向下平移 v 个单位长度后得到图象 C2,若对任意 u >0,曲线 C1 与 C2 至多只有一个交点,则 v 的最小值 4 . 考点:导数在最大值、最小值问题中的应用。 专题:计算题;数形结合。 分析:平移后的图象与平移前只有一个交点,也就是平移后函数的最大值小于或等于平移前函数的最小值,利用导 数求相应的最值即可. 3 解答:解:f(x)=x ﹣3x 2 令 f′(x)=3x ﹣3=0, 3 得 x=±1,∴函数 f(x)=x ﹣3x 在 x=±1 处取得极值,且 f(﹣1)=2, f(1)=﹣2,函数 f(x)的图象如图所示.图象 C1 经平移后得到 C2∵对任意 v>0,曲线 C1 与 C2 至多只有一个交点. 则 C2 的极大值必须小于或等于 C1 的极小值. 即 2﹣v≤﹣2, ∴v≥4. 故答案为:4
3

点评:本题考查函数图象的平移,以及利用函数的导数研究函数最大值、最小值的方法,属于基础题. 3 9、 (2008?江苏)f(x)=ax ﹣3x+1 对于 x∈[﹣1,1]总有 f(x)≥0 成立,则 a= 4 . 考点:利用导数求闭区间上函数的最值。 专题:计算题。 分析:这类不等式在某个区间上恒成立的问题,可转化为求函数最值的问题,本题要分三类:①x=0,②x>0,③x <0 等三种情形, x=0 时, 当 不论 a 取何值, x) 都成立; x>0 时有 a≥ f ( ≥0 当 , 可构造函数 g (x) = ,

然后利用导数求 g(x)的最大值,只需要使 a≥g(x)max,同理可得 x<0 时的 a 的范围,从而可得 a 的值. 解答:解:若 x=0,则不论 a 取何值,f(x)≥0 都成立; 当 x>0 即 x∈(0,1]时,f(x)=ax ﹣3x+1≥0 可化为:a≥
3

设 g(x)=

,则 g′(x)=



所以 g(x)在区间(0, ]上单调递增,在区间[ ,1]上单调递减, 因此 g(x)max=g( )=4,从而 a≥4; 当 x<0 即 x∈[﹣1,0)时,f(x)=ax ﹣3x+1≥0 可化为:a≤ g(x)= 在区间[﹣1,0)上单调递增,
3



因此 g(x)min=g(﹣1)=4,从而 a≤4,综上 a=4. 答案为:4 点评:本题考查的是含参数不等式的恒成立问题,考查分类讨论,转化与化归的思想方法,利用导数和函数的单调 性求函数的最大值,最小值等知识与方法.在讨论时,容易漏掉 x=0 的情形,因此分类讨论时要特别注意该问题的 解答.
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二、解答题(共 3 小题,满分 46 分) 10、设 a>0,函数 f(x)= ,b 为常数.

(1)证明:函数 f(x)的极大值点和极小值点各有一个; (2)若函数 f(x)的极大值为 1,极小值为﹣1,试求 a 的值. 考点:利用导数研究函数的极值。 专题:计算题;证明题。 2 分析: (1)令 f′(x)=0 得到 ax +2bx﹣a=0 根据根的判别式得到方程有两个不相等的实根设为 x1,x2(x1<x2) , 讨论函数的增减性得到函数的极大值和极小值各有一个; (2)因为函数 f(x)的极大值为 1,极小值为﹣1,所以将 x1,x2(x1<x2)代入到函数关系式中得到两个式子,根 据根与系数的关系化简可得 a 的值. 解答:解: (1)证明 f′(x)=
2



令 f′(x)=0,得 ax +2bx﹣a=0(*) 2 2 ∵△=4b +4a >0, ∴方程(*)有两个不相等的实根,记为 x1,x2(x1<x2) , 则 f′(x)= ,

当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表:

可见,f(x)的极大值点和极小值点各有一个.

(2)解:由(1)得



两个方程左右两边相加,得 a(x1+x2)+2b=x2 ﹣x1 . ∵x1+x2=﹣ ,∴x2 ﹣x1 =0,
2 2

2

2

即(x2+x1) 2﹣x1)=0, (x 又 x1<x2, ∴x1+x2=0,从而 b=0, 2 ∴a(x ﹣1)=0,得 x1=﹣1,x2=1,代入得 a=2. 点评:考查学生利用导数研究函数极值的能力,以及灵活运用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系解决数学 问题的能力. 3 2 11、已知函数 f(x)=x ﹣ax ﹣3x(a∈R) . (Ⅰ)若函数 f(x)在区间[1,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 是函数 f(x)的极值点,求函数 f(x)在区间[1,a]上的最大值;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数 b,使得函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个交点?若存 在,请求出 b 的取值范围;若不存在,试说明理由.
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考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值。 分析: (Ⅰ)首先求出函数的导数,然后根据导数与函数单调性的关系进行计算, (Ⅱ)首先利用函数的导数与极值的关系求出 a 的值,然后求出函数极值的大小并与端点函数值进行比较,进而求 出函数的最大值, (Ⅲ)可以先假设存在,然后再依据根的存在性定理进行判断. 解答:解: (Ⅰ)由题意得 f′(x)=3x ﹣2ax﹣3, ∵f(x)在区间[1,+∞)上是增函数, ∴当 x∈[1,+∞)时,恒有 f′(x)≥0, 2 即 3x ﹣2ax﹣3≥0 在区间[1,+∞)上恒成立, 由 解得 a≤0, (Ⅱ)依题意得 ∴f(x)=x ﹣4x ﹣3x, 2 令 f′(x)=3x ﹣8x﹣3=0, 解得 而 , ,
3 2 2

且 f′(1)=﹣2a≥0,



故 f(x)在区间[1,4]上的最大值是 f(1)=﹣6. (Ⅲ)若函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个不同的交点, 3 2 即方程 x ﹣4x ﹣3x=bx 恰有 3 个不等的实数根, 3 2 而 x=0 是方程 x ﹣4x ﹣3x=bx 的一个实数根,则 2 方程 x ﹣4x﹣3﹣b=0 有两个非零实数根, 则 ,

即 b>﹣7 且 b≠﹣3, 故满足条件的 b 存在,其取值范围是(﹣7,﹣3)∪(﹣3,+∞) . 点评: 掌握并会熟练运用导数与函数单调性的关系, 以及根的存在性定理, 会运用导数解决函数的极值和最值问题. 12、 (2009?天津)设函数 x(x∈R) ,其中 m>0.

(1)当 m=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线的斜率; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值; (3)已知函数 f(x)有三个互不相同的零点 0,x1,x2,且 x1<x2,若对任意的 x∈[x1,x2],f(x)>f(1)恒成立, 求 m 的取值范围. 考点:导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值。 分析: (1) ,易得函数在所求点的斜率.

(2)当 f′(x)≥0,函数单增,f′(x)≤0 时单减,使 f′(x)=0 的点为极值点. (3)由题意属于区间[x1,x2]的点的函数值均大于 f(1) ,由此计算 m 的范围. 解答:解: (1)当 ,

故 f'(x)=1,所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线的斜率为 1. 分) (2 (2)f'(x)=﹣x +2x+m ﹣1,令 f'(x)=0,解得 x=1﹣m 或 x=1+m. ∵m>0,所以 1+m>1﹣m,当 x 变化时,f'(x) ,f(x)的变化情况如下表:
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∴f(x)在(﹣∞,1﹣m)(1+m,+∞)内是减函数,在(1﹣m,1+m)内是增函数. , 函数 f(x)在 x=1﹣m 处取得极小值 f(1﹣m) ,且 f(1﹣m)= 函数 f(x)在 x=1+m 处取得极大值 f(1+m) ,且 f(1+m)= , . 分) (6

(3)由题设, ∴方程 故 解得 , 分) (8 . (10 分) 有两个相异的实根 x1,x2, ,



∵x1<x2,所以 2x2>x1+x2=3,故 x2>

若不合题意,若 1<x1<x2,对任意的 x∈[x1,x2],有 x>0,x﹣x1≥0,x﹣x2≤0, 则 ,又 f(x1)=0,所以 f(x)在[x1,x2]上的最小值为 0,
2

于是对任意的 x∈[x1,x2],f(x)>f(1)恒成立的充要条件是 f(1)=m ﹣ <0, 解得 ,综上,m 的取值范围是(﹣ , )(14 分) .

点评:本题较为复杂,主要考查了直线的点斜式,函数的单调性及函数的极值问题,注意掌握个知识点间的关系.

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