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湖北省部分高中2015届高三元月调考数学理试题


湖北省

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湖北省部分高中 2015 届高三元月调考数学理试题
【试卷综析】本试卷是高三理科试卷,以基础知识和基本能力为载体, ,在注重考查学科核心知识的同时, 突出考查考纲要求的基本能力,试题重点考查:集合、不等式、复数、向量、椭圆、导数、数列、三角函 数的性质,

立体几何等;考查学生解决实际问题的能力。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

1 ? 2i ? i ,则 z =( z A. ? 2 ? i B. ? 2 ? i 【知识点】复数的基本概念与运算 L4 【答案】C
【题文】1.设复数 z 满足 【解析】

) C. 2 ? i D. 2 ? i

1 ? 2i 1 ? 2i i(1 ? 2i) ? i ,可得 z= ? =2-i, z =2+i z i i2

【思路点拨】直接化简复数方程,复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,求出复数 z 即可.
2 【题文】2.设集合 P={x| ?0 (3t ? 10t ? 6)dt ? 0, x ? 0 },则集合 P 的非空子集个数是( x

)

A.2

B.3

C.7

D.8

【知识点】集合及其运算 A1 【答案】B 【解析】∵P={x|∫0x(3t2-10t+6)dt=0,x>0},∴P={2,3} 因为集合 A 中有 2 个元素,所以集合 A 子集有 22=4 个,则集合 A 的非空子集的个数是 4-1=3. 【思路点拨】先根据定积分求出集合 P,根据集合子集的公式 2n(其中 n 为集合的元素) ,求出集合 A 的 子集个数,然后除去空集即可得到集合 A 的非空真子集的个数. 【题文】3.下列结论正确的是( ) A.若向量 a // b ,则存在唯一的实数 λ 使得 a ? λb B.已知向量 a, b 为非零向量,则“ a, b 的夹角为钝角”的充要条件是“ a, b <0” C.命题:若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 或 x ? ?1 的逆否命题为:若 x ? 1 且 x ? ?1 ,则 x D.若命题 P : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ? P : ?x ? R,x 2 ? x ? 1 ? 0 【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件 A2 【答案】C 【解析】若向量 a // b , b ? 0 ,则存在唯一的实数 λ 使 a ? λb ,故 A 不正确; 已知向量 a , b 为非零向量,则“ a , b 的夹角为钝角”的充要条件是“ a ? b <0,且向量 a , b 不共线”,故不正 确;条件否定,结论否定,逆命题,可知 C 正确; 若命题 p:?x∈R,x2-x+1<0,则¬p:?x∈R,x2-x+1≤0,故 D 不正确. 【思路点拨】 根据向量共线定理判断 A, 向量 a , b 为非零向量, 则“ a , b 的夹角为钝角”的充要条件是“ a, b <
页 1第
2

?1

0,且向量 a , b 不共线”,可判断 B,条件否定,结论否定,逆命题可判断 C;命题 p:?x∈R,x2-x+1<0, 则¬p:?x∈R,x2-x+1≤0,可判断 D. 【题文】4.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是一个腰长为 2 的等腰直角三角形,则该几何体外 接球的体积是( ) A. 36? B. 9? C. 9 ?
2

D. 27 ?
8

【知识点】空间几何体的三视图和直观图 G2 【答案】C 【解析】∵俯视图是一个腰长为 2 的等腰直角三角形,故底面外接圆半径 r= 2 , 由主视图中棱锥的高 h=1,故棱锥的外接球半径 R 满足:R= ( ) ? ( 2) =
2 2

1 2

3 , 2

故该几何体外接球的体积 V=

4 3 9 πR = π. 3 2

【思路点拨】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥,求出底面外接圆半径和棱锥的高,进而利用 勾股定理,求出其外接球的半径,代入球的体积公式,可得答案. 【题文】5.等比数列 a n 的前 n 项和为 S n , S2n ? 4(a1 ? a3 ? ... ? a2n ?1 ), a1a2a3 ? 27 ,则 a 6 =( A.27 B.81 C.243 D.729 【知识点】等比数列及等比数列前 n 项和 D3 【答案】C 【解析】利用等比数列的性质可得,a1a2a3=a23=27 即 a2=3 因为 S2n=4(a1+a3+…+a2n-1) 所以 n=1 时有,S2=a1+a2=4a1 从而可得 a1=1,q=3 所以,a6=1×35=243 【思路点拨】利用等比数列的性质可得,a1a2a3=a23=27 从而可求 a2, 结合 S2n=4(a1+a3+…+a2n-1) 考虑 n=1 可得,S2=a1+a2=4a1 从而可得 a1 及公比 q,代入等比数列的通项公式可求 a6 【题文】 6. 设函数 f ( x) ? 3 sin(?x ? ? )(? ? 0,?

? ?



?

? ,则(

2

?? ?

?

2

) 的图像关于直线 x ?

2? 对称 , 它的周期是 3



A. f ( x) 的图象过点 ( 0, ) B. f ( x) 的一个对称中心是 ( C. f ( x) 在 [

1 2

? 2?
12 , 3

5? ,0) 12

] 上是减函数

D.将 f ( x) 的图象向右平移 | ? | 个单位得到函数 y ? 3sin ?x 的图象 【知识点】三角函数的图象与性质 C3 【答案】B



2第

【解析】因为函数的周期为π,所以ω =2,又函数图象关于直线 x= 所以由 f(x)=3sin(2x+φ )(ω >0,-

? ? <φ < ), 2 2 2 ? 5? ? ? 可知 2× π+φ =kπ+ ,φ =kπ,- <φ < , 3 6 2 2 2 ? 所以 k=1 时φ = . 6 ? 3 函数的解析式为:f(x)=3sin(2x+ ).当 x=0 时 f(0)= ,所以 A 不正确. 2 6 5? 5? 当 x= 时 f(x)=0.函数的一个对称中心是( ,0)B 正确; 12 12 ? 2? ? ? 3? 当 <x< ,2x+ ∈[ , ],函数不是单调减函数,C 不正确; 12 3 2 6 3
f(x)的图象向右平移|φ |个单位得到函数 y=3sin(ω x+φ -ωφ )的图象,不是函数 y=3sinω x 的图象,D 不正确; 【思路点拨】根据三角函数的单调性周期性对称性求出。 ? x ? y ? 1, ? 【题文】7.已知函数若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1, 目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值, ? 2 x ? y ? 2, ? 则实数 a 的取值范围是( A. (?4, 2) ) C. (??, ?4) B. ( ?4,1)

2 π对称, 3

(2, ??)

D. (??, ?4)

(1, ??)

【知识点】简单的线性规划问题 E5 【答案】A 【解析】可行域为△ABC,如图,

当 a=0 时,显然成立.当 a>0 时,直线 ax+2y-z=0 的斜率 k=当 a<0 时,k=-

a >kAC=-1,a<2. 2

a <kAB=2a>-4。综合得-4<a<2。 2

【思路点拨】先根据约束条件画出可行域,设 z=ax+2y,再利用 z 的几何意义求最值,只需利用直线之间 的斜率间的关系,求出何时直线 z=ax+2y 过可行域内的点(1,0)处取得最小值,从而得到 a 的取值范围 即可. 【题文】8.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E,F,且 EF= 结论中错误 的个数是 ( .. (1) AC⊥BE; )

2 ,则下列 2



3第

(2) 若 P 为 AA1 上的一点,则 P 到平面 BEF 的距离为

2 ; 2

(3) 三棱锥 A-BEF 的体积为定值; (4) 在空间与 DD1,AC,B1C1 都相交的直线有无数条; (5) 过 CC1 的中点与直线 AC1 所成角为 40°并且与平面 BEF 所成角为 50°的直线有 2 条. A.0 B.1 C.2 D.3

【知识点】单元综合 G12 【答案】A 【 解 析 】 对 于 ( 1 ) , ∵ AC ⊥ 平 面 BB1D1D , 又 BE ? 平 面 BB1D1D , ∴ AC ⊥ BE . 故 ( 1 ) 正

确. 对于(2),∵AA1∥BB1,AA1?平面 BB1DD1,BB1?平面 BB1DD1, ∴AA1∥平面 BB1DD1,即 AA1∥平面 BEF, 又∵正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,A1 到平面 BEF 的距离为 A1 到 B1D1 的距离

2 , 2

∴若 P 为 AA1 上的一点,则 P 到平面 BEF 的距离为

2 ,故(2)正确; 2

对于(3)∵S△BEF=

1 2 2 ×1 = , ? 2 2 4 2 , 2

设 AC,BD 交于点 O,AO⊥平面 BB1D1D,AO=

∴VA-BEF=

1 2 2 1 × × = ,故(3)正确; 3 4 2 12

对于(4)在正方体中,AA1∥DD1,AD∥B1C1, 则 AC,AA1,AD 相交于 A 点,故空间中与 DD1,AC,B1C1 都相交的直线有无数条. 故(4)正确;对于(5)由于过 CC1 的中点与直线 AC1 所成角为 40° 的直线有 2 条. 并且这两条直线与平面 BEF 所成角为 50° ,故(5)正确; 【思路点拨】根据题意,依次分析:如图可知 BE?平面 BB1D1D,AC⊥BE,进而判断出(1)正确;
页 4第

根据 AA1∥BB1,判断出 AA1∥平面 BB1DD1,即 AA1∥平面 BEF,计算出 A1 到平面 BEF 的距离,即可判 断出(2)项;设 AC,BD 交于点 O,AO⊥平面 BB1D1D,可分别求得 S△BEF 和 AO,则三棱锥 A-BEF 的 体积可得判断(3)项正确;再利用正方体中线线,线面的位置关系,即可判定(4)和(5)项正确. 【题文】9.已知椭圆 C1 :

x2 a12

?

y2 b12

? 1(a1 ? b1 ? 0) 与双曲线 C2 :

x2 a2 2

?

y2 b2 2

? 1(a2 ? 0, b2 ? 0) 有相同的焦点 F1,
2 2

F2,点 P 是两曲线的一个公共点,e1,e2 又分别是两曲线的离心率,若 PF1 ? PF2,则 4e1 ? e2 的最小值 为( A. )

5 9 B.4 C. D.9 2 2 【知识点】椭圆及其几何性质双曲线及其几何性质 H5 H6 【答案】C 【解析】由题意设焦距为 2c,椭圆长轴长为 2a1,双曲线实轴为 2a2, 令 P 在双曲线的右支上,由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2a2,① 由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1,② 又∵PF1⊥PF2,∴|PF 1 | 2 +|PF 2 | 2 =4c2,③ ①2+②2,得|PF 1 | 2 +|PF 2 | 2 =2a 1 2 +2a 2 2 ,④
将④代入③,得 a 1 2 +a 2 2 =2c 2 ,∴4e12+e 2 2 =

4(a12 ? a2 2 ) a12 ? a2 2 4c 2 4c 2 + = + a12 a22 2a12 2a2 2

=

2a2 2 a12 5 2a2 2 a12 5 9 ? + ≥ +2 = . ? 2 2 2 2 a1 2a2 2 a1 2 2a2 2

【思路点拨】由题意设焦距为 2c,椭圆长轴长为 2a1,双曲线实轴为 2a2,令 P 在双曲线的右支上,由已 知条件结合双曲线和椭圆的定义推志出 a 1 2 +a 2 2 =2c 2 ,由此能求出 4e12+e22 的最小值. 1 ? ln x k 【题文】10.已知 f ( x) ? , g ( x) ? (k ? N *) ,对任意的 c>1,存在实数 a , b 满足 x ?1 x

0 ? a ? b ? c ,使得 f (c) ? f (a) ? g (b) ,则 k 的最大值为(
A.2 B.3 【知识点】单元综合 B14 【答案】A C.4

) D.5

【解析】:∵解:当 k=1 时,作函数 f ( x) ?

1 ? ln x k ,与 g ( x) ? (k ? N *) 的图象如下, x ?1 x

k=1 成立;当 k=2 时,作函数 f ( x) ?

1 ? ln x k 与 g(x)= g ( x) ? (k ? N *) 的图象如下, x ?1 x



5第

当 k=3 时,作函数 f ( x) ?

1 ? ln x k 与 g(x)= g ( x) ? (k ? N *) 的图象如下 x ?1 x

k=3 时,对?c>1,存在实数 a,b 满足 0<a<b<c,使得 f(c)=f(a)=g(b)成立不正确。 【思路点拨】对?c>1,存在实数 a,b 满足 0<a<b<c,使得 f(c)=f(a)=g(b)成立, 可化为 x>1 时,g(x)的图象始终在 f(x)的图象的下方,从而作图解得.

【题文】第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 【题文】11.平面向量 a 与 b 的夹角为 60°, a =(2,0),| b |=1,则| a +2 b |= 【知识点】平面向量的数量积及应用 F3 【答案】2 3 【解析】由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+4a?b+4b2=4+4×2×1×cos60° +4=12∴|a+2b|=2 3 . 【思路点拨】根据向量的坐标求出向量的模,最后结论要求模,一般要把模平方,知道夹角就可以解决平 方过程中的数量积问题,题目最后不要忘记开方. 4 5 【题文】12.已知 tan β= ,sin(α+β)= ,且 α,β∈(0,π ),则 sin α 的值为 . 3 13 【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切 C5 【答案】
?
?

?

?

?

63 65

【解析】∵α,β∈(0,π),tanβ= ∴0<α+β<

3? , 2

4 5 4 3 ? ,sin(α+β)= ,∴sinβ= ,cosβ= ,0<β< , 3 13 5 5 2

∵0<sin(α+β)=

5 1 ? 5? < ,∴0<α+β< ,或 <α+β<π, 13 2 6 6



6第

4 ? ? 5? >1,∴ >β> ,∴ <α+β<π, 3 6 2 4 12 2 ∴cos(α+β)=- 1 ? sin (? ? ? ) =, 13
∵tanβ= ∴sinα=sin(α+β-β)=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=

5 3 12 4 63 × + × = . 13 5 13 5 65

【思路点拨】求得 sinβ 和 cosβ 的值,根据已知条件判断出 α+β 的范围,进而求得 cos(α+β)的值,最 后利用正弦的两角和公式求得答案.

1 4 9 36 2b ? 3c ? ? ? ? 【题文】13.设正数 a , b, c 满足 a b c a ? b ? c ,则 a ? b ? c
【知识点】基本不等式 ab ? 【答案】

.

a?b E6 2

13 6

1 4 9 36 ? ? ? 【解析】:∵正数 a,b,c 满足 a b c a ? b ? c ,

∴(a+b+c)(

1 4 9 b c 4 a 4 c 9 a 9b b 4a c 9a 4c 9b + + ) =14+ + + + + + +2 +2 ? 14 ? 2 ? ? ? ? 36 a b c a a b b c c a b a c b c 2b ? 3c 13 = . a?b?c 6

当且仅当 2c=3b=6a 时取等号.∴

1 4 9 36 ? ? ? 【思路点拨】由于正数 a,b,c 满足 a b c a ? b ? c ,

1 4 9 b c 4 a 4 c 9 a 9b + + ) =14+ + + + + + ,再利用基本不等式的性质即可得出. a b c a a b b c c 【题文】14.已知两个正数 a , b ,可按规则 c ? ab ? a ? b 扩充为一个新数 c,在 a , b, c 三
可得(a+b+c)( 数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数,依次下去,将每扩充一次得到一个 数称为一次操作.若 p ? q ? 0 ,经过 6 次操作后扩充所得的数为 (q ? 1) ( p ? 1) ?1 (m,n 为正整数) ,则 m ? n 的值为 . 【知识点】单元综合 D5 【答案】21 【解析】因为 p>q>0,所以第一次得:c1=pq+p+q=(q+1) (p+1)-1, 因为 c>p>q,所以第二次得:c2=(c1+1) (p+1)-1=(pq+p+q)p+p+(pq+p+q)=(p+1)2(q+1)-1, 所得新数大于任意旧数,所以第三次可得 c3=(c2+1) (c1+1)-1=(p+1)3(q+1)2-1, 5 第四次可得:c4=(c3+1) (c2-1)-1=(p+1) (q+1)3-1, 故经过 6 次扩充,所得数为: (q+1)8(p+1)13-1, 因为经过 6 次操作后扩充所得的数为(q+1)m(p+1)n-1(m,n 为正整数) , 所以 m=8,n=13,所以 m+n=21. 【思路点拨】p>q>0 第一次得:c1=pq+p+q=(q+1) (p+1)-1;第二次得:c2=(p+1)2(q+1)-1;所 得新数大于任意旧数,故经过 6 次扩充,所得数为: (q+1)8(p+1)13-1,故可得结论. (15,16 为选做题,二选一即可) 【题文】15. 如右图,圆O的直径AB=8,C为圆周上一点,BC=4,过C作圆的切线 l ,过A作直线 l 的垂线AD, D为垂足,AD与圆O交于点E,则线段AE的长为 .
m n



7第

【知识点】选修 4-1 几何证明选讲 N1 【答案】4 【解析】连接 OC,BE,如下图所示:

则∵圆 O 的直径 AB=8,BC=4,∴△OBC 为等边三角形,∠COB=60° 又∵直线 l 是过 C 的切线,故 OC⊥直线 l 又∵AD⊥直线 l∴AD∥OC 故在 Rt△ABE 中∠A=∠COB=60° ∴AE=

1 AB=4 2

BE,由圆角定定理, 【思路点拨】连接OC, 我们可得BE⊥AE, 直线l是过C的切线,故OC⊥直线l, △OBC 为等边三角形,结合等边三角形的性质及30° 所对的直角边等于斜边的一半,我们易求出线段AE的长.
? 2 t ?x ? ? 【题文】16.直线 l 的参数方程是 (其中 t 为参数) ,圆 c 的极坐标方程为 2 ? 2 ? y? t?4 2 ? 2 ?

? ? 2 cos(? ?

?
4

) ,过直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值是

.

【知识点】选修 4-4 参数与参数方程 N3 【答案】2 6 【解析】∵圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos(θ+

? ),∴ρ2= 2 ρcosθ- 2 ρsinθ, 4
)2

∴x2+y2= 2 x- 2 y,即(x-

2 2

)2

+(y+

2 2

=1,

∴圆 C 是以 M(

2 2 ,)为圆心,1 为半径的圆 2 2

? 2 t ?x ? 化直线 l 的参数方程 ? (t 为参数)为普通方程:x-y+4 2 ? 2 ? y? t?4 2 ? 2 ?

2 =0,

∵圆心 M(

5 2 2 2 ,)到直线 l 的距离为 d= =5, 2 2 2
8第



要使切线长最小,必须直线 l 上的点到圆心的距离最小,此最小值即为圆心 M( 离 d,由勾股定理求得切线长的最小值为 d 2 ? r 2 = 52 ?12 =2 6 .

2 2 ,)到直线的距 2 2

【思路点拨】将圆的极坐标方程和直线 l 的参数方程转化为普通方程,利用点到直线的距离公式求出圆心 到直线 l 的距离,要使切线长最小,必须直线 l 上的点到圆心的距离最小,此最小值即为圆心到直线的距 离 d,求出 d,由勾股定理可求切线长的最小值. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 【题文】17.(12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 对应边分别是 a、b、c,c=2,

sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin A sin B .
(1)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求△ABC 面积; (2)求 AB 边上的中线长的取值范围. 【知识点】解三角形 C8 【答案】 (1)

2 3 (2) CD ? 0, 3 ? ? 3

?

1 ? 【解析】①由题意知 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab????cos C ? ?????C ? 2 3
由 sinC+sin(B-A)=2sin(2A) (1)若 cosA=0 (2)若 cosA≠0 => sinBcosA=2sinAcosA

A?

?
2

?????S ?ABC ? S ?ABC

b=2a

2 3 3 2 ? 3 3

? uur uur a 2 ? b2 ? 2ab cos uuu r CA ? CB a 2 ? b 2 ? ab 2 3 ② CD ? 故 CD ? = 4 2 4
又 cosC=

1 2 a 2 ? b2 ? ab a 2 ? b 2 ? ab 2 2 , a ? b ? ab =4, CD ? = >1 2 4 4

4 ? 2ab ? 3 ,故 CD ? 0, 3 ? ? 4

?

【思路点拨】根据余弦定理求出边角求出面积,根据范围求出 CD 的范围。 【题文】18.(12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,常数 ? ? 0 ,且 ?a1an ? S1 ? Sn 对一切正整数 n 都成立. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 a1 ? 0 , ? ? 100 ,当 n 为何值时,数列 {lg 【知识点】单元综合 D5 【答案】 (1) a n ? a 1 ? 2
n -1

1 } 的前 n 项和最大? an

?
2

2n

?

(2)6

【解析】 (1)令 n=1,得 ?a1 ? 2S1 ? 2a1 , a1 (?a1 ? 2) ? 0



9第

若 a1 ? 0则S n ? 0,当n ? 2时,a n ? S n ? S n-1 ? 0, ?a n ? ( 0 n ?1 ) 若 a 1 ? 0,则 a1 ?

2

?

,当 n ? 2时 2a n ?

2

?

? S n , 2a n -1 ?

2

?

? S n -1

两式相减得 2a n - 2a n-1 ? a n, 从而数列 ?a n ?为等比数列 ? a n ? 2a n( ) -1 n ? 2 所以 a n ? a 1 ? 2
n -1

?

2n

?
2n

综上:当 a 1 ? 0时,a n ? 0 ,当 a1 ? 0时,a n ?

?

(2)当 a 1 ? 0,? ? 100 时,令b n ? lg

100 1 ,由( 1 )知 b n ? lg n ? 2 - nlg 2 2 an

所以数列 ?b n ? 是单调递减的等差数列(公差为-lg2) 所以 b1 ? b2 ? ? ? ? ?b 6 ? lg 当 n ? 7时b n ? b 7 ? lg 所以数列 ?lg

100 100 ? lg ? lg1 ? 0 6 64 2

100 ? lg 1 ? 0 27

?

1? ? 的前 6 项和最大。 ? an ?
? ? 1? 3 2 ? ,g ?x ? ? x ? 3a x ? 4a . 2?

【思路点拨】根据数列关系求出通项,利用数列的单调性求出最大时的 n 值。 【题文】19.(12 分)已知 x∈[0,1],函数 f ?x ? ? x 2 ? ln? x ?

(1)求函数 f(x)的单调区间和值域; 1? ,总存在 x0 ? ?0, (2)设 a ≤-1,若 ?x1 ? ?0, 1? ,使得 g(x0)=f(x1)成立,求 a 的取值范围. 【知识点】导数的应用 B12 【答案】 (1)f(x)的单调减区间是(0, 值域为[

1 1 ) ,增区间是( ,1) ; 2 2

1 3 ,ln2](2)a≤4 2

【解析】 (Ⅰ)f'(x)=2x-

1 1 x? 2



令 f'(x)=0, 解得: x ? 列表: x f '(x)


1 ,x=-1(舍去) 2 1 ) 2 1 2
0
10 第

0

(0, -



1 ,1) 2
+

1

f(x) 可知 f(x)的单调减区间是(0, 因为

ln2



1 4



1-ln

3 2

1 1 ) ,增区间是( ,1) ; 2 2

1 3 <1-ln =ln2-(ln3-1)<ln2, 4 2
1 ,ln2] 4

所以当 x ? [0,1]时,f(x)的值域为[ (Ⅱ)g'(x)=3(x -a )
2 2

因为 a≤-1,x ? [0,1]所以 g'(x)<0, g(x)为[0,1]上的减函数,g(1)≤g(x)≤g(0) , 所以 g(x) ? [1-4a-3a ,-4a]
2

因为当 x ? [0,1]时,f(x)的值域为[ 由题意知:[

1 ,ln2] 4

1 2 ,ln2] ? [1-4a-3a ,-4a] 4

1 ? 2 ?1 ? 4a ? 3a ? , 所以 ? 4 ? ?? 4a ? ln 2 ,
又 a≤-1,得 a≤-

3 。 2 1 2 1 1 ,1) ;再求出值域,由值域为[ , 2 4

【思路点拨】求导数求出 f(x)的单调减区间是(0, ) ,增区间是(

ln2]求出 a 的范围。 【题文】 20.(12 分)如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形, AD//BC, ∠ADC=90°, 平面 PAD⊥ 底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA=PD=2,BC= (1)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (2)若二面角 M-BQ-C 为 30°,设 =t ,试确定 t 的值.

1 AD=1,CD= 3 . 2

【知识点】单元综合 G12 【答案】 (1)略(2) t ? 3 【解析】 (1) (Ⅰ)∵AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2

∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD.

又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD.
页 11 第

∵BQ ? 平面 PQB,∴平面 PQB⊥平面 PAD. 另证:AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2

∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90°. ∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD.

∵ PQ∩BQ=Q, ∴AD⊥平面 PBQ. z P M D Q A x N B y C

∵ AD ? 平面 PAD,∴平面 PQB⊥平面 PAD. (Ⅱ)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD. 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系. 则平面 BQC 的法向量为 n ? (0,0,1) ;

Q(0,0,0) , P(0,0, 3) , B(0, 3,0) , C(?1, 3,0) .
设 M ( x, y, z ) ,则 PM ? ( x, y, z ? 3) ,

MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ?z) ,
∵ PM ? tMC ,

? x ? t (?1 ? x) ? ∴ ? y ? t ( 3 ? y) , ? ? z ? 3 ? t (? z)

t ? ?x ? ? 1? t ? 3t ? ∴ ?y ? 1? t ? ? 3 ?z ? ? 1? t
t 3t 3 , , ), 1? t 1? t 1? t

在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3,0) , QM ? (? ∴ 平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3,0, t ) .



12 第

∵二面角 M-BQ-C 为 30°, ∴ t ? 3.

∴ cos 30 ?

?

n?m n m

?

t 3 ? 0 ? t2

?

3 , 2

【思路点拨】利用面面垂直的判定证出,根据空间向量求出法向量,根据余弦值求出 t. 【题文】21.(13 分)如图,已知点 A ? ?2,0 ? 和圆 O : x 2 ? y 2 ? 4, AB 是圆 O 的直经,从左到右 M、O 和 N 依次是 AB 的四等分点,P(异于 A、B)是圆 O 上的动点, PD ? AB, 交 AB 于 D, PE ? ? ED ,直线 PA 与 BE 交于 C,|CM|+|CN| 为定值. (1)求 ? 的值及点 C 的轨迹曲线 E 的方程; (2)一直线 L 过定点 S(4,0)与点 C 的轨迹相交于 Q,R 两点,点 Q 关于 x 轴的对称点为 Q1,连接 Q1 与 R 两点连线交 x 轴于 T 点,试问△TRQ 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请 说明理由.

【知识点】椭圆及其几何性质 H5 【答案】(1)

x2 y 2 3 3 ? ? 1? x ? 2 ? . (2) 4 3 4
? ? y0 ? ?, 1? ? ?

【解析】(1)易得 B ? 2,0? , M ? ?1,0? , N ?1,0 ? ,设 P ? x0 , y0 ? , C ? x, y ? , 则 E ? x0 , 直线 PA 与 BE 交于 C, 故 x ? ?2 ,

y0 y ? ,① x ? 2 x0 ? 2

y0 y ? 1 ? ? ,② 且 x ? 2 x0 ? 2
2 y0 y ? 12? ? , 又因为点 P(异于 A,B)是圆 O 上的动点,故 ①②相乘得 2 x ? 4 x0 ? 4 2

y2 1 ?? , 2 x ?4 1? ?



x2 y2 x2 y 2 1 4 ? ? 1 , 要使 CM ? CN 为定值,则 4 ? ? 1, 解得 ? ? 此时 ? ? 1? x ? ?2 ? , 4 3 1? ? 4 4 3 1? ?
13 第



x2 y 2 1 ? ? 1? x ? 2 ? . 即 ? ? 时,点 C 的轨迹曲线 E 的方程为 3 4 3

? x ? my ? 4 ? (2)联立 ? x 2 y 2 消 x 得 (3m2 ? 4) y 2 ? 24my ? 36 ? 0 ? ? 1 ? 3 ?4

? ? (24m)2 ? 4 ? 36(3m2 ? 4) ? 144(m2 ? 4) ? 0 ,即 m2 ? 4
设 Q( x1 , y1 ) , R( x2 , y2 ) ,则 Q '( x1 , ? y1 )

24m ? y1 ? y2 ? ? 2 , (1) ? ? 3m ? 4 由韦达定理有 ? ? y y ? 36 , (2) 1 2 ? 3m 2 ? 4 ?
直线 RQ 的方程为 y ?

y2 ? y1 ( x ? x1 ) ? y1 x2 ? x1

令 y = 0 ,得 x ?

x1 y2 ? x2 y1 (my1 ? 4) y2 ? y1 (my2 ? 4) 2my1 y2 ? 4( y1 ? y2 ) ? ? y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2

将(1) , (2)代人上式得 x = 1 , 又 S?TRQ ?

1 3 | ST || y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 2 2

=

3 ?24m 2 4 ? 36 ( 2 ) ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4 m2 ? 4 3m2 ? 4

= 18 ?

=18

m2 ? 4 3(m2 ? 4) ? 16
1 3 m2 ? 4 ? 16 m2 ? 4

=18

?

3 3 4

当m =

2

28 时取得。 3

y0 y y0 y ? 1 ? ? ,② 【思路点拨】 ? , ①且 x ? 2 x0 ? 2 x ? 2 x0 ? 2



14 第

2 y0 y2 ? 12? ? , 又因为点 P(异于 A,B)是圆 O 上的动点,故 ①②相乘得 2 x ? 4 x0 ?4

y2 1 ?? , 求得结果,联 2 x ?4 1? ?

? x ? my ? 4 ? 立 ? x2 y 2 消 x 得 (3m2 ? 4) y 2 ? 24my ? 36 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4

? ? (24m)2 ? 4 ? 36(3m2 ? 4) ? 144(m2 ? 4) ? 0 ,即 m2 ? 4
设 Q( x1 , y1 ) , R( x2 , y2 ) ,则 Q '( x1 , ? y1 )

24m ? y1 ? y2 ? ? 2 , (1) ? ? 3m ? 4 由韦达定理有 ? 再由均值不等式求出。 ? y y ? 36 , (2) ? 1 2 3m 2 ? 4 ?
【题文】22.(14 分)已知函数 f(x)=ax+

a ?1 +(1-2a)(a>0) x

(1)若 f(x)≥㏑ x 在[1,∞)上恒成立,求 a 的取值范围; (2)证明:1+

n 1 1 1 + +?+ >㏑(n+1)+ (n≥1) ; 2 3 n 2 ? n ? 1?

1 1 1 ,求 S 的整数部分.( ln 2014 ? 7.6079 , ln 2015 ? 7.6084 ) ? ? ??? ? 2 3 2014 【知识点】导数的应用 B12
(3)已知 S= 1 ?

?1 ? ,?? ?. ? ? (2)略(3)8 【答案】 (1) ? 2
g ( x) ? f ( x) ? ln x ? ax ?
【解析】(Ⅰ)令

a ?1 ? 1 ? 2a ? ln x, x ? ?1, ?? ? , x



g (1) ? 0, g ' ( x) ? a ?

a ? 1 1 ax ? x ? (a ? 1) ? ? ? x x2 x2
2

a( x ? 1)(x ? x2

1? a ) a ,

1 1? a 0 ? a ? 时, ? 1. 2 a (i)当 1? x ?


1? a , 则g ' ( x) ? 0, g ( x) a 是减函数,所以 g ( x) ? g (1) ? 0,

1,??? 上不恒成立. 即 f ( x) ? ln x, 故f ( x) ? ln x在?
1 1? a a ? 时, ? 1. 2 a (ii)当
页 15 第

若 x ? 1, 则g ' ( x) ? 0, g ( x) 是增函数,所以 g ( x) ? g (1) ? 0, 即 f ( x) ? ln x, 故当x ? 1 时, f ( x) ? ln x.

?1 ? ,?? ?. ? ? 综上所述,所求 a 的取值范围为 ? 2
1 时,有 f ( x) ? ln x( x ? 1) 2 1 1 1 1 1 (x ? ) ? ln x 令 a ? , 有 f ( x) ? ( x ? ) ? ln x( x ? 1) 且当 x ? 1时, 2 2 x 2 x
(II)由(I)可知:当 a ? 令x?

k ?1 k ?1 1 ?k ?1 k ? 1? 1 1 ? , 有ln ? ? ? ? ?(1 ? ) ? (1 ? ) , ? k k 2? k k ? 1? 2 ? k k ?1 ? ?
1 1 1 ( ? ), k ? 1,2,3,...n 2 k k ?1

即 ln( k ? 1) ? ln k ?

将上述 n 个不等式依次相加得 ln(n ? 1) ?

1 1 1 1 1 ? ( ? ????? ) ? 2 2 3 n 2(n ? 1)

1?
整理得

1 1 1 n ? ? ? ? ? ln(n ? 1) ? . 2 3 n 2(n ? 1)

x 1 1 ? ln(1 ? x) x? ? ln n ? ln(n ? 1) n ? 1 ,得 n (Ⅲ)由重要不等式 1 ? x ,令 , 1 1 1 通过累加可得 1+ 2 + 3 +?+ n ? ln n ? 1 ,

n 1 1 1 2 ? n ? 1? 所以 ln n ? 1 >1+ 2 + 3 +?+ n >㏑(n+1)+
1007 令 n=2014,得 8.6079 ? ln2014+1>S>ln2015+ 2015 ? 8.1
所以 S 的整数部分为 8。 【思路点拨】讨论 a 的范围求出单调性,根据重要不等式求出,和导数的意义求出。



16 第



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