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江苏省泰兴中学2007届高考课本知识点大回顾旧人教


中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉

教材知识点回顾
老师的话: 同学们,临近高考,你们还需要在数学上下什么功夫,老师告诉你,回到课本中去 翻开课本,可以重温学习的历程,回忆学习的情节,知识因此被激活,联想由此而产生。课本是高考命题的依据,在 课本的基础上组合加工和发展。 2005 年和 2006 年江苏卷的填空题的第一题和解答题的第一题都直

接来源于课本, 而事实 上据全省的统计, 填空题的得分率为 50%不到 (命题者的期望是 95%) 解答题的得分率为 50% , (命题者的期望是 75%) 。 此可看出,离开书本的复习是无源之水,那么如何运用课本呢?不是简单的重复,你们应做到以下 6 点 1、在复习每一专题时,必须联系课本中的相应部分。不仅要弄懂课本提供的知识和方法,还要弄清定理、公式的推导过程 和例题的求解过程,揭示例、习题之间的联系及变换 2、在解高考训练题时,如果遇到障碍,应有查阅课本的习惯,通过课本查明我们在知识和方法上的缺陷,尽可能把问题回 归为课本中的例题和习题 3、在复习训练的过程中,我们会积累很多解题经验和方法,其中不少是规律性的东西,要注意从课本中探寻这些经验、方 法和规律的依据 4、注意在复习的各个环节,既要以课本为出发点,又要不断丰富课本的内涵,揭示课本内涵与高考命题之间的联系 5、关于解题的表达方式,应以课本为标准。很多复习资料中关键步骤的省略、符号的滥用、语言的随意性和图解法的泛化 等,都是不可取的,就通过课本来规范 6、注意通过对课本题目改变设问方式、增加或减少变动因素和必要的引申、推广来扩大题目的训练功能。现行课本一般是 常规解答题,应从选择、填空、探索等题型功能上进行思考,并从背景、现实、来源等方面加以解释

第一章:集合与简易逻辑
1.元素与集合的关系: 2.德摩根公式: 3.包含关系: 4.容斥原理: 5.集合 {a1 , a2 ,? , an } 的子集个数共有 非空子集有 6.真值表 (P27) p 真 真 q 真 假 非p p或q p且q 个;真子集有 个. 个; .(P4) . (P7) (P23)

个;非空的真子集有

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假 假 真 假

7.常见结论的否定形式 原结论 是 都是 大于 小于 对所有 x ,成立 对任何 x ,不成立 8.四种命题的相互关系(P30) 反设词 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 反设词

p 或q p 且q

9.充要条件(P34) (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 的 (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 的 条件. q 是 p 的 条件. q 是 p 的 条件. 条件是 p 条件 条件

(3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 的 (4) p 是 q 的充分不必要条件等价于 q 的

第二章
1.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 (3)两根式 ; .

函数

(2)顶点式



2.解连不等式 N ? f ( x) ? M 常有以下转化形式: ?



3.方程 f ( x) ? 0 在 ( k1 , k 2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 不等价,前者是后者的一个必要而不是 充分条件.特别地, 方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有且只有一个实根在 ( k1 , k 2 ) 内,等价于
2

4. 闭 区 间 上 的 二 次函 数的 最 值 二 次 函 数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在 闭 区 间 ? p, q ? 上 的 最 值 只 能在
2

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b 处及区间的两端点处取得,具体如下: 2a b (1)当 a>0 时,若 x ? ? ? ? p, q? ,则其最值是 2a b 若x?? ? ? p, q? ,则其最值是 2a b (2)当 a<0 时,若 x ? ? ? ? p, q? ,则其最值是 2a b 若x?? ? ? p, q? ,则其最值是 2a x??
5.一元二次方程的实根分布 11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据: (1)在给定区间 (??,??) 的子区间 L (形如 ?? , ? ? , ?? ?, ? ? , ?? ,??? 不同)上含参数的二次不等式

; ,. ; ,.

f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是

.

(2)在给定区间 (??,??) 的子区间上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件 是
4 2

. .

(3) f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 恒成立的充要条件是 16.函数的单调性(P57) (1)设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

f (x ) 在区间 [a, b] 上是增函数的充要条件是 f (x ) 在区间 [a, b] 上是减函数的充要条件是
(2) 设 函 数 y ? f (x) 在 某 个 区 间 内 可 导 , 如 果 果 ,则 f (x) 为减函数.

; . , 则 f (x) 为 增 函 数 ; 如

17.如果函数 f (x) 和 g (x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x) ? g ( x) 是

函数;如果函数 函数.

y ? f (u) 和 u ? g (x) 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 y ? f [ g ( x)] 是
18.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于 对称,偶函数的图象关于

对称;反过来,如果一个函数的图象关于 函数.

原点对称,那么这个函数是 19.若函数 y ? f (x) 是偶函数,则

函数;如果一个函数图象关于 y 轴对称,那么这个函数是 ;

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若函数 y ? f ( x ? a) 是偶函数,则 ,并且 y ? f ( x) 关于 对称.

20.对于函数 y ? f (x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立, 则函数 f (x) 的对称轴是 ; 对称. 对称;若

两个函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 21. 若 f ( x) ? ? f (? x ? a) , 则 函 数 y ? f (x) 的 图 象 关 于 点

f ( x) ? ? f ( x ? a) ,则函数 y ? f (x) 为周期为
22.多项式函数 P( x) ? an x ? an ?1 x
n n ?1

的周期函数.

? ? ? a0 的奇偶性

多项式函数 P ( x) 是奇函数 ? 多项式函数 P ( x) 是偶函数 ? 23.函数 y ? f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称等价于 (2)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a ? b 对称等价于 2m 24.两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 (2)函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 (3)函数 y ? f (x) 和 y ? f
?1

.

对称. 对称. 对称. 的图象; 的图象.

( x) 的图象关于直线

25.若将函数 y ? f (x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 若将曲线 f ( x, y) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线

26. (P60)互为反函数的两个函数的关系: f (a) ? b ? __________ _______. 27.若函数 y ? f (kx ? b) 存在反函数,则其反函数为 ,并不是 y ? f
?1

(kx ? b) ,而函数

y ? f ?1 (kx ? b) 是
28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x) ? cx ,具有性质:

的反函数.

.

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(2)指数函数 f ( x) ? a ,具有性质:
x

. . : ,

(3)对数函数 f ( x) ? log a x ,具有性质: (4)余弦函数 f ( x) ? cos x ,正弦函数 g ( x) ? sin x ,具有性质 29.几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f (x) 的周期 (2) f ( x ? a) ? ? f ( x) 或 f ( x ? a) ? 期 (3) f ( x ? a) ? ; ;

1 1 ( f ( x) ? 0) ,则 f (x) 的周 ( f ( x) ? 0) 或 f ( x ? a) ? ? f ( x) f ( x)

1 , ( f ( x) ? 1) ,则 f (x) 的周期 1 ? f ( x)



(4) f ( x1 ? x2 ) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 且 f (a) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1, 0 ?| x1 ? x2 |? 2a) , 1 ? f ( x1 ) f ( x2 )
; . (P64)

则 f (x) 的周期

(5) f ( x ? a) ? f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f (x) 的周期 30.分数指数幂: 31.根式的性质: 32.有理指数幂的运算性质: 33.指数式与对数式的互化式: 34.对数的换底公式: 35.对数的四则运算法则:
2 36.设函数 f ( x) ? log m (ax ? bx ? c)( a ? 0) ,记 ? ? b ? 4ac .
2
.

(P76)

.(P77)

若 f (x) 的定义域为 R ,则 若 f (x) 的值域为 R ,则 .【对于 a ? 0 的情形,需要单独检验.】

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第三章
一、数列的分类

数列

1、 (P106)数列的定义:数列是按一定的次序排列的列数,在函数意义下 ,数列是定义域为 的函数 f(n)当自变量 n 以 1 开始依次取自然数时所对应的一列函数值 f(1),f(2),…f(n),通常用 an 代替 f(n),于是数列的一般形式为 a1,a2…an 简记{an},其中 an 是数列{an}的第 n 项。 2、 (P106)数列的通项公式:一个数列{an}的第 n 项 an 与项数 n 之间的函数关系,如果可以用一个 公式 an=f(n)来表示,我们就把这个公式叫做这个数列的 3、 (P109)递推公式: 4、 (P107)数列的分类: a) b) c) 按照项数是有限还是无限来分: 按照项与项之间的大小关系来分: 按照任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分: 。 。 。

5、Sn 与 an 的关系: 常见的题型有: 二、等差数列的概念: 1、 等差数列: (1) (P111)一般地,如果一个数列从第 2 项起, ,这个数列就叫

等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示,定义的表达式 为 (2) (P112)等差数列的通项公式: 系不确定) ,也可得 d= an= 。 ,an=am+(n-m)d(其中 n 与 m 的大小关 (n≠m)由于 an=a1+(n-1)d,可整理为

a n ? a1 a ?am (n≠1)或 d= n n ?1 n?m

,如果 d=0,an 是常数;如果 d≠0,an 是 n 的一次函数式,

那么公差不为 0 的等差数列的图象是 (3) 等差数列的增减性: d>0 ? {an}为 列。 (4) (P115)等差数列的求和公式: (由倒序相加法推得) sn = ? 由于 sn=na1+ sn =
n(n ? 1) d,可整理得 sn= 2

数列; d<0 ? {an}为

数列; d=0 ? {an}为



,设 A=

d d ,B=a1- ,上式可写成 2 2

,当 A≠0(即 d≠0)时,sn 是关于 n 的二次函数(其中常数项为 0) ,

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那么(n,sn)在二次函数 y=Ax2+Bx 的图象上,因此,当 d≠0 时,数列 s1,s2,s3…sn 的图 象为 ? 。

注意①上面的数列 s1,s2,s3…sn 不为等差数列{an}; ②由二次函数的性质可以得出结论: d>0 时 sn 有最 当 ③数列{an}为等差数列的充要条件是前 n 项和 值; d<0 时,n 有最 当 s ; 值;

④显然若数列{an}的前 n 项和 y=An2+Bn+C(C≠0)不是等差数列,而是 ? 一个等差数列,只有五个基本元素,a1,an,d,n,sn 知道其中任意三个元素,通过解方程 (组)均可求出另外二个元素,即“知三求二” 。 ? 常用的求,sn 的最大值或最小值的三种方法有:

(5) (P113)等差数列中 :任意两个数 a、b 有且只有一个等差中项即,A= 等差数列的充要条件是 2、 等差数列的性质:

,a,A,b 成

,因此,两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数。

(1) 有穷等差数列中,与首末两项距离相等的两项和相等,并且等于首末两项之和;特别地,若 项数为奇数,还等于中间项的 2 倍,即 a1+an=a2+an-1=an+an-2=…2a 中 (2) 若 m,n,p,R∈N*,且 m+n=p+k,则 特别地,当 m+n=2p 时,有 ,其中 am,an,ap,ak 是数列中的项, 。这条性质,可以推广到有三项,四项……等情形,

使用该性质时,一要注意等式两边下标和相等,二要注意等式两边和的项数应是一样多的。 (3) 在等差数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列,构成的新数列是 但剩下的项按原顺序构成的数列不一定是等差数列。 (4) 等差数列中连续几项之和构成的新数列是 数列。 数列,其中 m,k 均为常数。 数列,

(5) 若数列{an}与{bn}均为等差数列,则{man+kbn}为 (6) 等差数列{an}中,若 an=m,am=n(m≠n),则 am+n= (7) 等差数列{an}中,若 sn=m,sm=n(m≠n),则 sm+n= (8) 等差数列{an}中,若 sn=m,sm=n(m≠n),则 sm+n=

(9) 若{an}与{bn}均为等差数列,有前 n 项和分别为 sn 与 s′n,则

am ? _____ bm

(10) 项数为偶数 2n 的等差数列{an},有 s2nn(a1+a2n)=…=n(an+an+1), s 偶-s 奇= ;

s奇 ? _______ s偶

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项数为奇数(2n-1)的等差数列{an},有 s2n-1=(2n-1)an(an 为中间项); s 偶-s 奇= 3、 等差数列的判定方法: (1) 定义法: (2) 中项公式法: (3) 通项公式法: (4) 前 n 项和公式法: 三、等比数列: 1、 等比数列: (1) (P122)一般地,如果一个数列从第 2 项起, ,这个数列叫做等比 . ; ; ;

s奇 ? ________ s偶

数 列 , 这 个 常 数 叫 做 等 比 数 列 的 公 比 , 公 比 通 常 用 字 母 q 表 示 (q ≠ 0) 可 表 示 为 (其中 n∈N*,n≥2). (2) 等比数列的通项公式 可以整理为 an= ? ?
? a1 ? q

,其中 n>m 也可以 n≤m,由于 an=a1qn-1

a ? n ? q ,因此,等比数列{an},即{ 1 〃qn}中的各项所表示的点离散地分布在 ? q ? a1 〃qx 上。 q

第一象限或第四象限,当 q>0 时,这些点在曲线 y= (3) 等比数列的增减性:
? {an}为递增数列 ? {an}为递减数列 ? {an}为常数列 ? {an}为摆动数列

(4) (P125)等比数列的求和公式(可由错位相减法推得) sn = ? ? ? 有关等比数列的求和问题,当不能确定“q≠1”时,应分 q=1 和 q≠1 来讨论。 一个等比数列,共有 5 个基本元素,a1,an,n,q,sn, “知三求二” 。 等比数列前 n 项和公式的结构特点,由 sn= 其中 qn 的函数≠0,q≠1。
a 1 (1 ? q n ) a a (q≠1)可以化为 sn= 1 - 1 〃qn, 1? q 1? q 1? q

a1 a 与 1 互为相反数,这是公式的一个很重要的特点,注意前提条件是 q 1? q 1? q

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(5) (p124)等比中项: 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a、G、b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项, 如果 G 是 a 与 b 的等比中项,那么 必有 ab>0。 2、 等比数列的性质: (1) 有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项积相等,并且等于首末两项之积特别地,若项数 为奇数,等于中间项的平方。即 a1〃an=a2〃an-1=a3〃an-2=a2 中 (2) 若 m,n,p,R∈N* ,且 m+n=p+k,则 ,特别地,当 m+n=2p 时 因此,G= ,所以

类似于等差数列,在使用该性质时,不仅应注意等式两边下标和相等也应要求等式两边作积 的项数应是一样多的。 (3) 在等比数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的新数列仍然是等比数 列,剩下的项按原来的顺序构成的数列不一定是等比数列,一个等比数列的奇数项,仍组成 一个等比数列,新公比是原公比的二次幂,一个等比数列的偶数项,仍组成一个等比数列, 新公比是原公比的二次幂。 (4) {λan}(λ≠0),{|an|}皆为等比数列,公比分别为 q 和|k| 一个等比数列各项的 k 次幂,仍组成一个等比数列,新公比是原公比 k 次幂。例如,以 q 为 公比的等比数列的各项的倒数构成的数列仍为等比数列,公比为 比为 q2 (5) 等比数列中连续 n 基之积构成的新数列仍然是等比数列。 (6) 若数列{an}与{bn}均为等比数列,则{m〃an〃bn}与 ? 常数。 (7) 已知三个数成等差数列可设三个数为 数列可设三个数为 3、 等比数列的判定方法: (1) 定义法: (2) 通项公式法: (3) 中项公式法: (4) 前 n 项和公式法: 四、求数列通项公式的方法 ; ; 。 . 。已知三个数成等比
? ma n ? ? 仍为等比数列,其中 m 是不为零的 ? bn ?

1 ,{a2n}也是等比数列,公 q

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1、 2、 3、 4、 :如 a1 ? 2, a n ? 2 ? 3
n ?1

? a n?1 (n ? 2)

:如 a1 ? 1, (2n ? 1)a n ? (2n ? 3)a n ?1 (n ? 2) :如 a1 ? 3, a n ?1 ? 2a n ? 5 :如 a1 ?

3a n ?1 1 , an ? (n ? 2) 2 a n ?1 ? 3
2

5、 6、

:如 a1 ? 3, a n ?1 ? a n :如 S n ? 2an ? 1

五、数列求和的常用方法(关键是找数列的通项结构): (1) (2) (3) (4) (5) (6) :如等差、等比数列 :如 an=1/n(n+1) :如 an=(2n-1)2n :如 an= nC100
n

:如 an=2n+3n :如求数列 1,1+2 ,?,1+2+22+ ? ? 2 n-1 ,?,的前 n 项和

六、求数列{an}的最大、最小项的方法: ① ② ③ : 如 an= -2n2+29n-3 :

9 n (n ? 1) (an>0) 如 an= 10 n

:如 an=

n n ? 156
2

第四章
一、三角函数的概念(P4)

三角函数

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终边相同的角,区间和象限角 终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同 三角函数线(P14) 正弦线: 余弦线: 正切线:
注:三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。利用三角函数线在解决比较三角 函数值大小、解简单三角方程及三角不等式等问题时,十分方便。

1、三角函数的定义(P13) : 以角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系,在角 ? 的终边上任取一个异于原点的 点 P( x, y ) ,点 P 到原点的距离记为 r , 则 sin ? = cos ? = tan ? = , csc ? =

, sec ? = , cot ? =

2、弧长公式与扇形面积公式(P8)

弧度制与角度制的换算:

L 弧长= S 扇形=

= = =

3、同角三角函数基本关系式(P24) 平方关系是: 倒数关系是: 商数关系是: 4、诱导公式(P28) 可用十字口诀概括为: 如: sin( , , , , , 。 ; ;

3? ??) ? 2

, ctg(

15? ??) = 2

, tg(3? ? ? ) ?



5、特殊角的三角函数值:

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?
Sin ? Cos ? Tan ? Cot ? 二、三角基本公式 1、两角和与差的三角函数公式: (P34) 0

? 12

? 6

? 4

? 3

7? 12

? 2

?

3? 2

sin(? ? ? ) ? c o s? ? ? ) ? ( tan(? ? ? ) ?
2、二倍角公式: (P42) sin2 ? = cos2 ? = tan2 ? = 3、半角公式是: (P45) = 。 =

? = 2 ? cos = 2 ? tan = 2
sin

=

=



4、 .升幂公式是: 1 ? cos? ? __________ _
2

。 1? c o s ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ?

______ 5、降幂公式是: sin ? ? __________
6、万能公式: sin ? = 7、辅助角公式: cos ? =

cos2 ? ? __________ _______。

tan ? =

a sin? ? b cos? ? __________ (其中辅助角 ? 与点(a,b)在同一象限,且 tg? ?

b ) a

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三、三角函数的图象与性质、变换(P48) 1、正弦、余弦、正切函数的图象和性质可归纳为下表: 三角 函数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域 值域

最值

奇偶性 周期性 有界性

单调性

对称性

(其中A ? 0,? ? 0) 2、函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B (P65)
的最大值是 是 ; ,最小值是 ,周期是 ,频率是 ,相位是 ,初相

3、函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? k ( A ? 0, ? ? 0, ? ? 0, k ? 0) 的图象的基本变换(P60)

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(1)振幅变换: (2)周期变换: (3)相位变换: (4)上、下变换: 4、五点描点法

?x ? ?
x
y

0

? 2

?

3? 2

2?

5、已知三角函数求角(P73) (1) 当 x ? 作 (2) 当 x ? 作 (3) 当 x ? 作 时符合条件 ,即 时符合条件 ,即 时符合条件 ,即 的角 x ,叫做实数 a 的反正切,记 的角 x ,叫做实数 a 的反余弦,记 的角 x ,叫做实数 a 的反正弦,记

四、与三角形有关的几个重要结论(P127) 1、正弦定理是(其中 R 表示三角形的外接圆半径) : 2、余弦定理第一形式:

余弦定理第二形式:

3、△ABC 的面积用 S 表示,外接圆半径用 R 表示,内切圆半径用 r 表示,半周长用 p 表示, 则你能写出几种求面积的形式 (1) (2) (3) (4) (5)

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(6) 4、三角形中的射影定理:

5、在△ABC 中:

sin(A + B) = _________ cos(A + B) ? _________ tan(A + B) ? __________

sin

A? B ? _______ 2

tan

A? B ? ________ 2

t a nA ? t a n ? t a n ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ B C

tan

A B B C C A tan ? tan tan ? tan tan ? _______; 2 2 2 2 2 2

6、在△ABC 中有 ⑴ A ? B ? ________? _________; A ? cos B ? _________; cos ⑵ A,B,C 成等差数列 ? _________; , b, c 成等差数列 ? __________ ;a, b, c 成等 a _ 比数列 ? __________ ; ⑶ tan A tan B ? 1 ? ?ABC 是 三角形; 三角形; 三角形;

tan A tan B ? 1 ? ?ABC 是 tan A tan B ? 1 ? ?ABC 是
附:几个重要式子与结论 (1)sin( ? ? ? )sin( ? ? ? )= cos( ? ? ? )cos( ? ? ? )= (2) 4 sin ? sin(60 ? ? ) sin(60 ? ? ) =
0 0

, = ; ; 。 。 ; s a ? a ? tn a(可由三角函数线的关系得到) n i a 。

4 cos? cos(60 0 ? ? ) cos(60 0 ? ? ) = tan?ot(60 0 ? ? ) tan(60 0 ? ? ) =
(3) cot? ? tan? = (4) a ? (0, 若

?
2

则 __ n i o __; ) , _ _ ? s a ? cs a ? _ _ _

第五章
1.基本概念: (P94) 向量的定义:

平面向量

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向量的模: 零向量: 单位向量: 相反向量: 共线向量: 相等向量: 2. (P97)加法与减法的代数运算: (1) A1 A2 ? A2 A3 ? ? ? An ?1 An ? A1 An . (2)若 a=( x1 , y1 ),b=( x 2 , y 2 )则 a ? b= .

向量加法与减法的几何表示:平行四边形法则、三角形法则。 以向量 AB = a 、 AD = b 为邻边作平行四边形 ABCD,则两条对角线的向量 a + b = ,b -

a=

,a -b =

且有︱ a ︱-︱ b ︱≤︱ a ? b ︱≤︱ a ︱+︱ b ︱. 3. (P103)实数与向量的积: (1)︱ ? a ︱=︱ ? ︱〃︱ a ︱; (2) 当 ? >0 时, ? a 与 a 的方向 ;当 ? <0 时, ? a 与 a 的方向 ;当 ? =0 时, 。

? a=

. .

(3)若 a =( x1 , y1 ) ,则 ? 〃 a = 两个向量共线的充要条件: (1) 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是



(2) 若 a =( x1 , y1 ),b=( x 2 , y 2 )则 a ∥b ? __________ _____ . (P105)平面向量基本定理: 4. (P113)P 分有向线段 P1 P2 所成的比: 设 P1 、 P2 是 直 线 l 上 两 个 点 , 点 P 是 l 上 不 同 于 P1 、 P2 的 任 意 一 点 , 则 存 在 一 个 实 数 使 , ? 叫做点 P 分有向线段 P1 P2 所成的比。 0;当点 P 在线段 P1 P2 或 P2 P1 的延长线上时, ? 0;

?

当点 P 在线段 P1 P2 上时, ?

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5、 (P114)线段的定比分点公式: 设 P ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) , P( x, y ) 是 线 段 PP2 的 分 点 , ? 是 实 数 , 且 P P ? ? PP2 , 则 1 1 1

??? ?

????

???? ???? ??? ? ???? ???? ??? OP ? ? OP ? 1 2 ? OP ? ? OP ? tOP ? (1 ? t )OP2 1 1? ?
中点坐标公式: 三角形的重心坐标公式: ;

(t ?

1 ). 1? ?

△ ABC 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 A(x1 ,y1 ) 、 B(x2 ,y2 ) 、 C(x3 ,y3 ) , 则 △ ABC 的 重 心 的 坐 标 是 6、 (P116)向量的数量积: (1) .向量的夹角: (2) .两个向量的数量积: 已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为 ? ,则 a 〃b= 其中 称为向量 b 在 a 方向上的投影. . .

(3)(P117)向量的数量积的性质: . 若 a =( x1 , y1 ),b=( x 2 , y 2 )则 e〃 a = a 〃e= (e 为单位向量); ( a ,b 为非零向量); ; = .

a ⊥b ?
︱ a ︱= cos ? =

?

(4) .向量的数量积的运算律:

a 〃b=b〃 a ;( ? a )〃b= ? ( a 〃b)= a 〃( ? b);( a +b)〃c= a 〃c+b〃c.
7、 (P121)点的平移公式 :

???? ??? ???? ? ? OP ' ? OP ? PP ' .
注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 F 上的对应点为 P ( x , y ) ,且 PP 的坐标为 (h, k ) .
'
' ' '
'

????

8、 “按向量平移”的几个结论 (1)点 P( x, y ) 按向量 a= (h, k ) 平移后得到点的坐标是 .
' '

(2) 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 C 按 向 量 a= (h, k ) 平 移 后 得 到 图 象 C , 则 C 的 函 数 解 析 式 为
'

.
'

(3) 图 象 C 按 向 量 a= (h, k ) 平 移 后 得 到 图 象 C , 若 C 的 解 析 式 y ? f ( x) , 则 C 的 函 数 解 析 式

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为 .
' '

(4)曲线 C : f ( x, y ) ? 0 按向量 a= (h, k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的方程为 (5) 向量 m= ( x, y ) 按向量 a= (h, k ) 平移后得到的向量为 9.常用结论: (1) AB ? BC ? CA ? 0 ; AB / ? / BC ? AB ? BC ? AB ? BC ; (2)三角形四“心”向量形式的充要条件,设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,则 1、 O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC . 2、 O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 ? OG ? 3、 O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . 4、 O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 .( a, b, c 为角 A, B, C 所对边长) .

.

??? 2 ?

??? 2 ?

???? 2

??? ??? ??? ? ? ?

?

1 (OA ? OB ? OC ) . 3

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

?

(3) a ? b, b ? c ? a ? c , a // b, b // c ? a // c ; 但 一般地, a,b,c 为非零向量, a ? (b ? c) 与 (a ? b) ? c 若 则 不一定相等, a ? (b ? c) ? (a ? b) ? c ? a 与 c 共线(注意“〃 ”的不同意义) ; (4)设非零向量 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y 2 ) , a 与 b 的夹角为 ? ,则 ? ? [0, ? ], 当 a 与 b 不共线时,a〃b=0 ? ? 为直角,a〃b>0 ? ? 为锐角,a〃b<0 ? ? 为钝角。也就是说, 当夹角为锐角时,注意检验夹角为零度角的时候;当夹角为钝角角时,注意检验夹角为 180 ? 度角的 时候。 (5)异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围 依次是 ;

直线的倾斜角,L1 到 L2 的角,L1 与 L2 的夹角的取值范围 依次是 (6)反正弦、反余弦、反正切函数的值域分别是 (7)直线上的向量及与它平行的向量都称为直线的方向向量。 当直线 L 的方向向量为 m ? ( x0 , y 0 ) 时,其斜率为 当直线 L 斜率为 k 时,其方向向量为 (8)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) . ; ; ;

??? ?

??? ??? ? ?

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第六章
一、 (P4)不等式的基本性质:

不等式

注意:(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法,此法尤其适用于不成立的命题。 (2)注意课本上的几个性质,另外需要特别注意: ①若 ab>0,则

1 1 ? 。即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变。 a b

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨 论。 ③图象法:利用有关函数的图象(指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象) ,直接比 较大小。 ④中介值法:先把要比较的代数式与“0”比,与“1”比,然后再比较它们的大小 二、 (P9)均值不等式 两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 若 a, b ? 0 ,则 基本变形: ①a?b ? ;(

a?b ? ab (当且仅当 a ? b 时取等号) 2 a?b 2 ) ? 2



a2 ? b2 a?b 2 ?( ) ②若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2ab , 2 2
2 2

a?b ? ab ? ? 即: a, b, c 均为正数,则 1 1 2 ? a b 2

a2 ? b2 (一正,二定,三相等) ; 2

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注意: (1)对于函数 y ? ax ? 当 b ? 0 时在 ( ??,?

b (a ? 0) x
b b b b ) 或 [ ,??) 上都分别单调递增,在 [ ? ,0) 或 (0, 0 ] 上都分 a a a a

别单调递减; 当 b ? 0 时在 (??,0) 或 (0,??) 上都分别单调递增 (2) (a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd ) (a, b, c, d ? R) (柯西不等式)
2 2 2 2 2

基本应用 ①放缩,变形; ②求函数最值:注意:①一正二定三取等;②积定和小,和定积大。 当 ab ? p (常数) ,当且仅当 当 a ? b ? S (常数) ,当且仅当 常用的方法为:拆、凑、平方; 如:①函数 y ? 4 x ? 时, 时, ; ;

9 1 ( x ? ) 的最小值 2 ? 4x 2
1 1 ? 的最小值 x y

。 。

②若正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则 三、绝对值不等式: 内容:

?

?

注意:上述等号“=”成立的条件; 四、常用的基本不等式: (1)设 a, b ? R ,则 a ? 0, (a ? b) ? 0 (当且仅当
2 2

时取等号) 时取等号)

(2) | a |? a (当且仅当 (3) a ? b, ab ? 0 ?

时取等号) | a |? ?a (当且仅当 ; ;

1 1 1 1 ? ; ? ? a b a b

五、 (P12)证明不等式常用方法: (1)比较法: 作差比较: A ? B ? 0 ? A ? B 作差比较的步骤: ⑴作差:对要比较大小的两个数(或式)作差。 ⑵变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和。

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⑶判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 注意:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小。 (2)综合法: 由因导果。 (3)分析法: 执果索因。基本步骤:要证……只需证……,只需证…… (4)反证法: 正难则反。 (5)放缩法: 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。 放缩法的方法有: ⑴添加或舍去一些项,如: a ? 1 ? ____ ; n(n ? 1) ? ____
2

⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如: log 3 ? lg 5 ? __________ __________ ______;

n(n ? 1) ? __________ ________
⑷利用常用结论: Ⅰ、 k ? 1 ? k ?

1 ? __________; k ?1 ? k

1 1 ? __________ ___ ; 2 ? __________ (程度大) _ 2 k k 1 Ⅲ、 2 ? __________ _________ ; (程度小) k
Ⅱ、 (6)换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换 元和代数换元。如: 已知 x ? y ? a ,可设
2 2 2

; ( 0 ? r ? 1 ); ;

已知 x ? y ? 1 ,可设
2 2

x2 y2 已知 2 ? 2 ? 1 ,可设 a b
已知

x2 y2 ? ? 1 ,可设 a2 b2



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(7)构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式; 六、 (P17)不等式的解法: (1)一元一次不等式: Ⅰ、 ax ? b(a ? 0) :⑴若 a ? 0 ,则 Ⅱ、 ax ? b(a ? 0) :⑴若 a ? 0 ,则 (2)一元二次不等式: 一元二次不等式二次项系数小于零的,同解变形为二次项系数大于零; 注:要对 ? 进行讨论: (5) (P20)绝对值不等式: 若 a ? 0 ,则 | x |? a ? 注意:(1).几何意义: | x | : ; | x |? a ? ;| x ? m | : ; ; ;⑵若 a ? 0 ,则 ;⑵若 a ? 0 ,则 ; ;

(2)解有关绝对值的问题,考虑去绝对值,去绝对值的方法有: ⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值;①若 a ? 0 则

| a |?
(2)

;②若 a ? 0 则 | a |?

;③若 a ? 0 则 | a |? 同解



f ? x? ? g ? x? 与 f ? x ? <g ? x ? 与

同解

(3).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。

即 f ? x ? ? g ? x ? ? f 2 ? x ? ? g 2 ? x ? ? ? f ? x ? +g ? x ? ? ? f ? x ? -g ? x ? ? >0 ? ?? ?
(4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。 (6)分式不等式的解法:通常变形为整式不等式; ⑴

f ( x) ?0? g ( x) f ( x) ?0? g ( x)

;⑵

f ( x) ?0? g ( x) f ( x) ?0? g ( x)





;⑷



(7)不等式组的解法:分别求出不等式组中,每个不等式的解集,然后求其交集,即是这个不等式组的 解集,在求交集中,通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上,取它们的公共

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部分。 (8)解含有参数的不等式: 解含参数的不等式时,首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论: ①不等式两端乘除一个含参数的式子时,则需讨论这个式子的正、负、零性. ②在求解过程中,需要使用指数函数、对数函数的单调性时,则需对它们的底数进行讨论. ③在解含有字母的一元二次不等式时,需要考虑相应的二次函数的开口方向,对应的一元二次方程根 的状况(有时要分析△) ,比较两个根的大小,设根为 x1 , x 2 (或更多)但含参数,要分 x1 ? x2 、

x1 ? x2 、 x1 ? x2 讨论。
(9)指数不等式: 当 a>1 时, a f ? x ? >a g? x ? 与 当 0<a<1 时, (10)对数不等式: 当 a>1 时, log a f ? x ? >log a g ? x ? 与不等式组 当 0<a<1 时, 同解; 同解.
f ?x? g? x ?

同解; 与 同解.

a

>a

log a f ? x ? >log a g ? x ? 与不等式组

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第七章
(P34)1、斜率公式: (P38)2.直线的五种方程 (1)点斜式 (2)斜截式 (3)两点式 (4) 截距式 (5)一般式 3.(P45)两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 两直线平行的充要条件是: 两直线垂直的充要条件是: .

直线与圆

( P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) ). 1

.

(2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A2、B2 、C2 都不为零, 两直线平行的充要条件是: 两直线垂直的充要条件是: 4.(P47)夹角公式: 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 5. l1 到 l 2 的角公式: 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 到 l2 的角是 6.四种常用直线系方程 .( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1 ) .

.( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1 ) .

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(1)定点直线系方程:经过定点 P ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 0 经过定点 P ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 0 (2) 共 点 直 线 系 方 程 : 经 过 两 直 线 (除 l 2 ),其中λ是待定的系数. (除直线 x ,其中 A, B 是待定的系数. 的交点的直线系方程为

? x0 ),其中 k 是待定的系数;

l1 : A1x ? B 1 ? C 1? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 y

(3)平行直线系方程:直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线系方程.与直线

Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程是
(4) 垂 直 直 线 系 方 程 : 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 是 7.(P51)点到直线的距离: ,λ是参变量.

( ? ? C ),λ是参变量. (A ≠ 0 , B ≠ 0) 垂 直 的 直 线 系 方 程

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).

8. (P57) Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: 若 C ? 0 ,则用原点代入;若 C ? 0 ,则用另外特殊点代入即得 9. (P75)圆的四种方程 (1)圆的标准方程 (2)圆的一般方程 (3)圆的参数方程 (4)圆的直径式方程 . . . 【圆的直径的端点是 A( x1 , y1 ) 、

B( x2 , y2 ) 】.
10. 圆系方程
(1) 过 直 线 是 (2) 过 圆 是

l

:

Ax ? By ? C ? 0

与 圆

C

:

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

的 交 点 的 圆 系 方 程

,λ是待定的系数.

C1

:

x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0

与圆

C2

:

x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0
,λ是待定的系数.

的交点的圆系方程

(3)两圆相交弦所在直线方程的求法: 圆 C1 的方程为:x2+y2+D1x+E1y+C1=0. 圆 C2 的方程为:x2+y2+D2x+E2y+C2=0.

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把两式相减得相交弦所在直线方程为: 11.点与圆的位置关系,点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种:
2 2 2

若d ?

(a ? x0 ) 2 ? (b ? y0 ) 2 ,则
;d ? r ? ;d ? r ? .

d ?r ?
12.直线与圆的位置关系

直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种:
2 2 2

________? 相离 ? _________; ________? 相交 ? _________
________? 相切 ? _________.
其中 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

.

13.两圆位置关系的判定方法,设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d

__________ ? 外离 ? _____条公切线 __ __________ ? 外切 ? _____条公切线 __



__________ ? 相交 ? _____条公切线 __

__________ ? 内切 ? _____条公切线 __________ ? 内含 ? _____条公切线 __ __
14.圆的切线方程 (1)已知圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 .
2 2

①若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是 . 当 ( x0 , y0 ) 圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程.

②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必有两条切线, 注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线. (2)已知圆 x ? y ? r .
2 2 2

①过圆上的 P ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 0



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②斜率为 k 的圆的切线方程为 .

第八章
1、 (P92)椭圆

圆锥曲线
.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 a 2 b2

x2 y 2 2. (P97)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式: a b
3、椭圆的的内外部 (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆

.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的内部,则 a 2 b2 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的外部,则 a 2 b2

.

(2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆

.

x2 y 2 4.(P104)双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦半径公式: a b
5.(P108)双曲线的方程与渐近线方程的关系

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(1)若双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1 ? 渐近线方程: a2 b2

. . ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上; ? ? 0 ,

(2)若渐近线方程为 y ? ? (3)若双曲线与

x y b x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 a b a

x2 y2 ? ? 1 有公共渐近线,可设为 a2 b2

焦点在 y 轴上) (4)焦点到渐近线的距离为 6. (P115)抛物线 y ? 2 px 的焦半径公式
2

抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦半径
2

. .

过焦点弦长 7.抛物线 y ? 2 px 上的动点可设为
2

b 2 4ac ? b 2 8.二次函数 y ? ax ? bx ? c ? a( x ? ) ? (a ? 0) 的图象是抛物线: 2a 4a
2

(1)顶点坐标为 (2)焦点的坐标为 (3)准线方程是 9.直线与圆锥曲线相交的弦长公式为

; ; .

端点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 【 ? 为直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率】.
10.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y ) ? 0 关于点 P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 (2)曲线 F ( x, y ) ? 0 关于直线 .

Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的曲线是

11、焦点三角形:重视焦半径公式、三角形中正余弦定理和合分比定理等的应用 (1)若椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , F1 , F2 分别是其左、右焦点,B 是其短轴端点,P 是椭圆 a 2 b2

上除长轴端点 A1、A2 的任一点,则 ① ?F1PF2 的最大值为

__________

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② S?F1 PF 2 ?

1 | F1F2 | ? | PH |? c | y0 |? __________,其最大值为 2
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , F1 , F2 分别是其左、右焦点,P 是椭圆上除实轴端点 A1、 a 2 b2

(2)若双曲线方程为

A2 的任一点,则 ① S?F1PF2 ? ________ ②焦点三角形的内切圆的圆心(即三角形的内心)切实轴于顶点 (3)抛物线 y ? 2 px 的焦点弦性质
2

已知 AB 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦,且 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,直线 AB 的倾斜角为α,点 F
2

为抛物线的焦点,则 ⑴ y1 y2 ? ______,x1 x2 ? _______

__ _ ⑵ AB ? __________ ? __________
⑶ S?AOB ? ________ ⑷

1 1 为定值 ? __________ | AF | | BF |
(以 AB 焦点弦为直径的圆必与椭圆的准线 ) ,

⑸以 AB 焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线 以 AB 焦点弦为直径的圆必与双曲线的准线

(6)过 A 准线的垂线于 A1,过 B 准线的垂线于 B1,则 ?A1 FB1 ? _______ (7)O 为坐标原点,则 A、O、B1———————(O 为中点) (椭圆与双曲线有类似性质) (8)抛物线上不存在两点关于焦点弦所在的直线对称 12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: 1. 给出直线的方向向量 u ? ?1, k ? 或 u ? ?m, n ? ; 2. 给出 OA ? OB 与 AB 相交,等于已知 OA ? OB 过 AB 的 3. 给出 PM ? PN ? 0 ,等于已知 P 是 MN 的 4. 给出 AP ? AQ ? ? BP ? BQ ,等于已知
5. 给出以下情形之一 ①

?

?

;

?

; ;

?

?

AB // AC ,

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? ? ②存在实数 ? , 使A B ? ?A C ,
③若存在实数 ? , ? , 且? 等于已知

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? ? ? ? ? ? 1, 使O C ? ?O A ? ?O B ,
.

A, B, C

6. 给出 OP ?

OA ? ? OB ,等于已知 P 是 AB 的定比分点, ? 为定比,即 1? ?
,给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ,

7. 给出 MA ? MB ? 0 ,等于已知 MA ? MB ,即 ?AMB 是

?AMB 是

, 给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ?AMB 是

? ? ? MA MB ? ? 8. 给出 ? ? ? ? MP ,等于已知 MP 是 ? MA MB ? ? ?
9. 在平行四边形 ABCD 中,给出 ( AB ? AD) ? ( AB ? AD) ? 0 ,等于已知 ABCD 是 10. 在平行四边形 ABCD 中,给出 AB ? AD ? AB ? AD ,等于已知 ABCD 是
11. 在 ?ABC 中,给出 OA
2

; ;

? OB ? OC

2

2

,等于已知 O 是 ?ABC 的

; ;

12. 在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC

? 0 ,等于已知 O 是 ?ABC 的

13. 在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,等于已知 O 是 ?ABC 的 14. 在 ?ABC 中,给出 OP ? OA ?

; ;

?(

AB AB

?

AC AC

) (? ? R ? ) 等于已知 AP 通过 ?ABC 的

15. 在 ?ABC 中,给出 a ? OA ? b ? OB ? c ? OC ? 0, 等于已知 O 是 ?ABC 的 16. 在 ?ABC 中,给出 AD ?

; ;

1 AB ? AC ,等于已知 AD 是 ?ABC 中 2

?

?

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第九章
Ⅰ、平行与垂直位置关系的论证

直线、平面、简单几何体

1、线线、线面、面面平行关系的转化:
面面平行性质

? // ? ? ? ? ? a, ? ? ?
? a // b

? ? ? b?
?? ? ? ? ??

? ? a ? ?,b ? ?? ??
a // b ? a // ?

a b

a ? ?,b ? ?? a ?b ? A a // ? , b // ?

A

b a

公理 4 a // b , b // c 线线∥
? a // c

线面平行判定

线面∥
线面平行性质

? ? // ? 面面平行判定 1

面面∥

面面平行性质

面面平行性质 1

? // ? ? ? // ? ?
? ? // ?

? ? a?? ? ? ? ? ? b? ?
a // ? ? a // b

? // ? ?
a ? ?? ? a // ?

?

?

2、 线线、线面、面面垂直关系的转化:
? ? a ? b ? O? l? a , l? b ? ?
a, b ? ? ? l? ?

a? ?

a ? ??

? ? ? ?? ?
面面⊥

三垂线定理、逆定理
PA?? , AO为PO 在?内射影 a?? 则a?OA ? a?PO a?PO ? a?AO

线线⊥
l? ?

线面垂直判定 1 线面垂直定义

线面⊥
?? ?

面面垂直判定 面面垂直性质,推论 2

? ? a ? ??
? l?a

? ?? ? b

? ? ? ? a?? a ? ? , a? b ? ? ? ? ? ? a? ? ? a? ?

?? ? ?? ? ? ??

面面垂直定义
? ? ? ? l,且二面角? ? l ? ? ?
成直二面角

? ? ?? ? ?

3、平行与垂直关系的转化:

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a / /b? a? ?

? ? b? ? ?
线面垂直判定 2 线面垂直性质 2

a? ? ? a? ? ?

? ? ? / /?
面面平行判定 2 面面平行性质 3

线线∥

线面⊥

面面∥

a? ? ? b? ? ?

? ? a / /b
? / /??
a? ?

?a?? ?

4. 应用以上“ 转化”的基 本思路 ——“由求证想判定 ,由已知想性质。 ”其中 核心的 位置关系 是 ,它既与其它位置关系有着最紧密的联系,又是解决角度与距离问题的前提,所 以在解答立体几何题时,尽可能地先从图形中找出线面垂直的位置关系 Ⅱ、空间中的角与距离的数量关系的求法 三类角的求法:转化为平面角“一找、二作、三指、四算” 即: (1) ; (2) ; (3) (4) 1 、异面直线所成的角 θ: (1)定义:如图 (2)范围: (3)求法:

注: (1)求异面直线所成的角的最关键是要找出一个点, 把其作为角的顶点,然后把两条直线“平行平移”过来,这个角就完成了。 这个点有 时很好找,中点、交点、对称点等。 (2)若用平移转化烦琐或无法平移时,可考虑是否异面垂直,即可通过证明垂直的位置关系得 到 90°的数量关系 2、直线与平面所成的角: (1)定义:如图 (2)范围:

(? ? 0? 时,b∥?或b ? ?)
(3)求法: 即三余弦定理: (其中 ? 、 ? 、 ? 分 别是斜线与

射影(即线与面) 、射影与面内线、斜线与面内线所成的角) 3、二面角: (1)定义 : (2)求法:如图,即所谓的常见的点、线、面法

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另外,还有 公式法:①、利用面积射影公式,即

(直棱柱中截面与底面夹角)

②、利用异面直线上任意两点间的距离公式 l 2 ? m2 ? n2 ? d 2 ? 2mn cos? 向量法:最后是向量的夹角还是其补角,要在图形中注出法向量的方向后判定,若方向是 同进同出,则是其补角,若是一进一出,则就是此角 注: (1)当二面角由两个等腰三角形构成时,利用底面的两个中线 (2)求正棱锥侧面夹角时,利用全等三角形 (3)若是无棱二面角,一种办法是作出交线,利用结论:若三个平面两两相交于在三条直线,则 三条直线平行或相交于一点,即要么作平行线,要么延长相交,就能作出 交线。 另外,也可用面积射影公式 3、空间距离: 从各种距离的定义上看,它们基本上是将空间距离转化为两点间距离——构造三角形、解三角形、求 该线段的长,即求距离时,应注意运用化归与转化思路:面面距→线面距→点面距→点点距。求点到面 的距离是重点,求异面直线的距离是难点。 (1)点与点的距离、点到直线的距离,一般用三垂线定理“定性” (2)给出公垂线的两条异面直线的距离,先进行论证(先定性) ,后计算(后定量) (3)线面距、面面距都转化为点面距 (4)如何求点面距?共有两大类办法 第一类:作射影 ①、利用面面垂直 ②、熟知一些关于三棱锥 P-ABC 的顶点 P 在底面上的射影 O 的结论 若 PA=PB=PC,则 O 为△ABC 的 心; 心; 心; 心; 心; 心

若侧棱与底面所成的角相等,则 O 为△ABC 的 若 P 到△ABC 的三边距离相等,则 O 为△ABC 的 若侧面与底面所成的角相等,则 O 为△ABC 的

若 PA⊥BC,PB⊥AC,则 PC⊥AB 且 O 为△ABC 的 若 PA、PB、PC 两两互相垂直,则 O 为△ABC 的

③、 如果一个角 ?AOB 所在平面外一点 P 到角的两边距离相等 (或 ?POA ? ?POB ) , 那么这一点在平面上的射影在 第二类:不作射影 上;

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①、 ②、 ,转化为锥体高 ( d 为 P 到面的距离, n 为平面的法向量)

③、转化法,如果求这个点到平面的距离非常困难的情况下,可以利用平行转化(即 转化为面的平行线上的其它特殊点) 或分点转化(即转化为平面的斜线上的其它点,如中点) Ⅲ、简单多面体与球 1、棱柱(两底面平行,侧棱平行的多面体)
斜棱柱 侧棱垂直底面 直棱柱 底面为正多边形 正棱柱

?侧 棱 都 相 等 ; ? ?侧 面 是 平 行 四 边 形 ; ?对 角 面 是 平 行 四 边 形 ; A1 ? 性 质? 的截 ; ?两 个 底 面 与 平 行 于 底 面 面 是 全 等 的 多 边 形 D ?S 侧 ? 直 截 面 周 长 侧 棱 长 ; ? ? A ? ?V柱 ? 底 面 积? 高 ? 直 截 面 面 积 侧 棱 长 。 ?

C1 B1 C B

注: (1)S 侧=各个侧面面积之和 (2)V=

1 S ? h ,其中 h 是某一侧棱到其相对侧面的距离,S 是这一侧面的面积 2

(3)直棱柱的一个很重要的性质是:侧面与底面垂直的面面垂直关系 2、棱锥(底面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形所围成的多面体)
底面是正多边形,顶点 在底面的射影是底面的中心

棱锥

正棱锥

1 底面积 ? 高 3 正棱锥的性质: l—侧棱 a—底边长 R—底面正多边形半径 α—侧面与底面成角 V锥 ?

S

h—高,h’—斜高 r—边心距

l

h D O θ a

h’ C rα E B

180° ?—侧棱与底面成角,?BOE ? n

R A

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h1 h

S2 O2 S1 O1 S O

?侧棱都相等,侧 ? ?四个直角三角形 ? Rt?SOB ? ? ? Rt?SOE ? ? ? ? Rt?SEB ? ? ? Rt?OEB ?

S 正棱锥侧 ?

如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么截面和底面相似,并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与 已知棱锥的高的平方比。

1 ch'(c—底面周长) 2



S截 S底

?

h1 h2

2

如图所示,S1 、S 2 是两个平行截面且? ?

O2 O1 O1O

则 S1 ?

S2 ? ? S 1? ?

3、球(半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面叫做球面,球面所围成的几何体叫做球体,简称球)
? ?球心和截面圆心的连线垂直于截面,且r ? R 2 ? d 2 O1 r ? d ?球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆 R ? 性质 ?经过两点的大圆的劣弧长度叫做两点的球面距离 O ?(海里:海面上 , 地球球心角1' 所对的大圆弧长,1海里 ? 01853km) . ? 4 ? 2 V球 ? ?R 3 ?S 球面 ? 4?R 3 ?

θ—纬度角(OP 与赤道大圆面所成角) N α—经度角(以 SN 为棱的二面角) 注: P 1、求 A、B 两点间的球面距离的方法与步骤: θ O (1) 计算线段 AB 的长; (在小圆上求) W E α (2) 在大圆内,计算弦 AB 所对的圆心角 ? 的大小 (3) 利用弧长公式求劣弧长, 即球面距离 l ? ?R (R 径) S 2、球的切接问题 (1)球内接长方体的体对角线等于球的直径; (2)若正方体的棱长为 a ,由其内切球的直径是 (即为棱长) ;棱切球的直径是 为面对角线长) ;外接球的直径是 (即为体对角线长) (3)若正四面体的棱长 a ,则其外接球的半径是 ;内切球的半径是 外接球与内切球的半径之比为 。 另外:空间向量与立体几何的综合 1、异面直线所成角

为球半

; (即

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r r r r | x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 | | a ?b | cos ? ?| cos ? a, b ?| = r r ? | a |?| b | x12 ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2
(其中 ? ( 0o ? ? ? 90o )为异面直线 a, 所成角, a, b 分别表示异面直线 a, 的方向向量) b b

r r

??? ?? ? AB ? m ?? ? 2.直线 AB 与平面所成角 ? ? arc sin ??? ?? ( m 为平面 ? 的法向量). | AB || m |
?? ? ?? ? ?? ? m?n m?n 或 3.二面角 ? ? l ? ? 的平面角 ? ? arc cos ?? ? ? ? arc cos ?? ? ( m , n 为平面 ? , ? 的法向量) | m || n | | m || n |
4.三余弦定理 设 AC 是α内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又设 AO 与 AB 所成的角为 ? 1 ,AB 与 AC 所成 的角为 ? 2 ,AO 与 AC 所成的角为 ? .则 cos? ? cos?1 cos? 2 . 5.异面直线间的距离

??? ?? ? ? ? | CD ? n | ? d? ( l1 , l2 是两异面直线, 其公垂向量为 n ,C、D 分别是 l1 , l2 上任一点,d 为 l1 , l2 间的距离). |n|
6.点 B 到平面 ? 的距离

??? ?? ? ? | AB ? n | ? ? d? ( n 为平面 ? 的法向量, AB 是经过面 ? 的一条斜线, A ?? ). |n|

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第十章

排列、组合与二项式定理

(P84)1、分类加法原理(加法原理)

2.分步计数原理(乘法原理)

(P88)3.排列数公式
m An =

.( n , m ∈N*,且 m ? n ).注:规定 0!? 1.

4.排列恒等式 (1) An ? nAn ?1 ; (2) nAn ? An ?1 ? An ; (3) An ?1 ? An ? mAn
m
n n m m

m ?1

n ?1

m ?1



(4) 1!? 2 ? 2!? 3 ? 3!? ? ? n ? n! ? (n ? 1)!? 1 . 5.(P96)组合数公式
m Cn =

Anm = m Am

( n ∈N*, m ? N ,且 m ? n ).

6.组合数的两个性质 (1) C n =
m

;(2) C n + C n
m

m ?1

=

;注:规定 C n ? 1 .
0

7.组合恒等式 (1) Cn ?
m
1 3

n n m?1 r r ?1 r Cn?1 ; (2) ? C n = 2 n ; (3) C rr ? C rr?1 ? C rr? 2 ? ? ? C n ? C n ?1 ; m r ?0
5 0 2 4 n ?1

(4) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? 2

; (5) Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn ? n ? 2
1 2 3 n

n ?1



! 8.排列数与组合数的关系: An ? m ? Cn .
m m

9.解排列组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合. 10.解排列组合问题的规律是(优限法和间接法):相邻问题捆绑法;不邻(相间)问题插空法;多排问题单排 法;定位问题优先法;多元问题分类法;有序问题用除法(组合法);选取问题先选后排法;至多至少问题 间接法,特别地还有穷举法、概率法、构造法等.
n 0 n 1 n ?1 r n?r r n n (P108)11.(1)二项式定理: (a ? b) ? Cn a ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ,其中各系数就是组

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合数 Cn , 它叫做第 r+1 项的二项式系数; 展开式共有 n+1 项, 其中第 r+l 项 Tr ?1 ? Cn a
r

r

n?r

br .某项 “加

数 b ”的指数 ? 该项的“项数减去 1 的差” ,也可看成组合数的上标. (2) 二 项 式 展 开 式 中 二 项 式 系 数 ( 组 合 数 ) 的 性 质 : 对 称 性 、 等 距 性 、 单 调 最 值 性 和
n n 0 1 r Cn ? Cn ? ? ? Cn ?? ? Cn ? 2 .

(3)应用“赋值法”同样可得相关性质或寻求二项式展开式中“奇次(数)项” “偶次(数)项”的系数
0 2 4 1 3 5 n ?1 和 . 如 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? 2 , 奇 ( 偶 ) 次 项 系 数 和

? 1 [ f (1) ? f (?1)] ( 1 [ f (1) ? f (?1)] ) 2 2

12、二项式定理的应用: 近似问题、估算问题、证明不等式(如 2 ? 2n ? 1 (n 为大于 2 的自然数)等
n

第十一章
2、 (P127)等可能事件的概率: (古典概率)P(A)=

概率
m n
理解这里 m、n的意义。

1、 (P124)必然事件 P(A)=1,不可能事件 P(A)=0,随机事件的定义 0<P(A)<1。

(P133)互斥事件(A、B 互斥,即事件 A、B 不可能同时发生) ,这时 P(A?B)=0)P(A+B)=P(A) + P(B) 对立事件(A、B 对立,即事件 A、B 不可能同时发生,但 A、B 中必然有一个发生。这时 P(A?B)=0) P(A)+ P(B)=1

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(P137)独立事件: (事件 A、B 的发生相互独立,互不影响)P(A?B)=P(A) ? P(B) 独立重复事件(贝努里概型) Pn(K)=Cnkpk(1-p)k 表示事件 A 在 n 次独立重复试验中恰好发生了 k 次的概率。 ..... . . P 为在一次独立重复试验中事件 A 发生的概率。 特殊: k=0 得: n 次独立重复试验中, 令 在 事件 A 没有发生的概率为 Pn(0)=Cn0p0(1-p)n =(1-p)n ........ k=n 得:在 n 次独立重复试验中,事件 A 全部发生的概率为 Pn(n)=Cnnpn(1-p)0 =pn ........ 注意: 1、解决排列组合问题不要忘记穷举;分组问题一定要看是否是均匀分组等;正难则反的策略运用; 不重不漏 2、灵活运用二项式定理;用赋值法时,注意是哪些项,是否少(多)了一项 3、概率应用题最后别忘了写“答” 令

第十二章
(P6)抽样方法: 1、简单随机抽样:包括随机数表法,标签法; 2、分层抽样。 (P13)样本平均数: 样本方差: 样本标准差: 作用:估计总体的稳定程度 (P11)理解频率直方图的意义 注:

统计

(P4)总体、个体、样本、 ,样本个体、样本容量的定义;

区分方差与标准差、注意频率直方图纵坐标的意义

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第十三章
1、 (P30)导数的背景 瞬时速度 切线的斜率 边际成本 2、 (P33)导数的概念 3、 (P35)多项式函数的导数运算法则 4、 (P40)函数的单调性与极值 5、 (P42)函数的最大值与最小值

导数

注 : 1 ) 多 项 式 导 数 的 求 导 法 则 。 y ? x (n ? N ) (
n *

?

y ' ? nx n ?1 . 但 常 有 两 种 错 误 : ①

y ? ? ax ? ? y ' ? 3 ? ax ? ( a 为常数) ;
3 2

② y ? ? 2 x ? 1? ? y ? 3 ? 2 x ? 1? .(应先用二项展开式,后用多项式依次求导)
3 2

(2)切线与曲线的交点个数。 (3)任何一条三次函数曲线 y=f(x)都是中心对称图形 (4)过曲线上某一点 P 的切线 在曲线上点 P 处的切线。求切线方程的一般步骤是:①先设出切点

坐标;②写出切线方程(导数为切线的斜率且切点为曲线上一点) ;③将点 P 坐标代入切线方程 即可。 也就是说可能有两条切线。其实结论是如果 P 点是三次函数的对称中心时有且仅有一条切线, 如果 P 点不是对称中心,那就有两条切线。 当然如果点 P 不在曲线上,则有可能有三条切线。 (5)可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。可导函数在某点取得极值的必要条件是该点处 的导数为 0;可导函数在某点取得极值的充分条件是该点处导数两侧异号。但常见错误:只管导数 为 0, 不去判断两侧异号。 例如:y ? x , y ? 3 x . 令 y ? 0 , x ? 0 , 则 则 所以 f (0) 为函数 f ( x)
3
' 2

'

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的极值。克服错误的方法是,养成规范的表达方式——列表判断符号的习惯

最后预祝同学们在二模和 2007 届高考中取得辉煌成绩

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