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余弦函数的图象和性质学案


高中数学必修 4

编号:

余弦函数的图象和性质学案
制作人: 学习目标 1.掌握余弦函数的图象; 2.会用平移变换或五点法作函数的图象; 3.理解并掌握余弦函数的性质及应用. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P51-P54) 复习 1:填写下列诱导公式: sin( 审核: 使用时间:

?
2

??) ?

; cos(

?
2

??) ?

.

复习 2:正弦函数 y ? sin x, ( x ? R) 的图象和性质.

函数 图象

y ? sin x, ( x ? R)
y O x

定义域 值域

x?
y?

. . 当 x= 当 x= 时, y max ? 时, y min ? . 单调减区间: 对称点: ; .

性 质

周期性 奇偶性 单调性 对称性

最小正周期: T= 单调增区间: 对称轴:

二、新课导学 学习探究 探究任务一

x, x ? R 的图象 余弦函数 y ? c o s

问题 1:如何得到函数 y ? cos x, x ? R 的图象? 将函数 y ? sin x, x ? R 的图象 y 1 就可以得到 y ? cos x, x ? R 的图象.

? 3?

? 2?

??
-1

O

?

2?

3? 4?

x

高中数学必修 4

编号:

问题 2:观察余弦函数的图象,起关键作用的五个点分别是什么? , , , , .因此可用五点法作简图. 探究任务二 完成下表 函数 图象 O 定义域 值域

x, x ? R 的性质 余弦函数 y ? c o s

y ? cos x, ( x ? R)
y x

x?
y?

. . 当 x= 当 x= 时, y max ? 时, y min ? . 单调减区间: 对称点: ; .

性 质

周期性 奇偶性 单调性 对称性

最小正周期:T= 单调增区间: 对称轴:

推广:一般地,函数 y ? A cos(?x ? ? )(x ? R)(其中A, ?, ?为常数,且 A ? 0, ? ? 0) 的周期 为 T= . 反思:正弦函数和余弦函数在其定义域内是否具有单调性? 典型例题 例 1 求下列函数的最大值或最小值: (1) y ? 3 ? 2 cos x (2)

y ? 2 ? (cosx ? 1) 2

变式:求下列函数的最大值或最小值: (1) y ? 3 ? 2 cos( 2 x ?

?
3

);

(2) y ? 3 cos x ? 4 cos x ? 1, x ? ?
2

?? 2? ? , . ?3 3 ? ?

高中数学必修 4 例 2 判断下列函数的奇偶性: (1) y ? ?2 cos x ? 3; (2) y ? sin x cos x.

编号:

变式:判断下列函数的奇偶性: (1) y ? x sin(

?
2

? x);

(2) y ? cos(sin x).

例 3 求函数 y ? cos( 3 x ?

?
3

) 的单调区间.

变式:求函数 y ? 2 cos(

?
4

? 2 x) 的单调区间.

课堂练习 1.利用函数的性质比较下列各组中两个三角函数值的大小. (1) cos

15? 14? 与 cos ; 8 9

(2) cos515 与cos530 .

?

?

2.函数 y ? cos x 的图象经过怎样的变换能得到函数 y ? 2 cos( 2 x ?

?
3

) 的图象?

三、总结提升 学习小结 1.会用五点法作函数的图象; 2.掌握余弦函数的图象和性质并解决简单问题. 知识提升 余弦函数在第一象限是不是增函数?

高中数学必修 4 学习评价 课堂检测 1.函数 y ? 2 cos( A.2 2.函数 y ? cos( 2 x ? A.奇函数

编号:

?
3

? ?x) 的最小正周期为 4? ,则 ? 等于(
B.

) D. ?

5? ) 的奇偶性是( 2

1 2

C. ? 2 ) C.既是奇函数又是偶函数 )

1 2

B.偶函数

D.非奇非偶函数

3.函数 y ? cos 2 x 在下列哪个区间上是减函数( A. ??

? ? ?? , ? ? 4 4?

B. ?

? ? 3? ? , ? ?4 4 ?

C. ?0,

? ?? ? ? 2?

D. ?

?? ? ,? ? ?2 ?

4.若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x和g ( x) ? cos x 的图象分别交于 M,N 两点,则 MN 的 最大值为( A.1 课后作业 1.求函数 y ? log 2 (cos x ? ) 的定义域. ) B. 2 C. 3 D.2

1 2

2.下列函数中,周期为 ? ,且在 [ A. y ? sin(2 x ?

? ?

?
2

, ] 上为减函数的是( 4 2

)

)

B. y ? cos(2 x ?

?

2

) C. y ? sin( x ?

?
2

)

D. y ? cos( x ?

?
2

)

3.求下列函数的值域 (1) y ? sin x, x ? [

? 5?
4 , 4

];

(2) y ? cos( x ?

?

? 3? ), x ? [ , ]. 3 2 2


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