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递推数列的通项公式求解九种方法


求递推数列的通项公式的九种方法
利用递推数列求通项公式,在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来,这一直是全国高考和 高中数学联赛的热点之一. 一、作差求和法 m w.w.w.k.s.5.u.c.o 例 1 在数列{ an }中, a1 ? 3 , a n ?1 ? a n ? 解:原递推式可化为: a n ?1 ? a n ?

1

,求通项公式 an . n(n ? 1)

1 1 1 1 1 1 ? a3 ? a 2 ? ? 则 a 2 ? a1 ? ? , n n ?1 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 a 4 ? a3 ? ? ,……, a n ? a n ?1 ? ? 逐项相加得: a n ? a1 ? 1 ? .故 a n ? 4 ? . 3 4 n ?1 n n n
2 2

二、作商求和法 例 2 设数列{ an }是首项为 1 的正项数列,且 (n ? 1)an?1 ? nan ? an?1an ? 0 (n=1,2,3…) ,则它的通项公式是

an =▁▁▁(2000 年高考 15 题)
解:原递推式可化为:

[(n ? 1)an?1 ? nan ](an?1 ? an ) =0

∵ an?1 ? an >0,

a n ?1 n ? an n ?1 an 1 1 ? ,即 an = . n a1 n



a a 2 1 a3 2 a 4 3 n ?1 ? , ? , ? , ……, n ? a1 2 a2 3 a3 4 a n ?1 n
已知数列{ an },其中 a1 ?

逐项相乘得:

三、换元法 例3

4 13 1 , a 2 ? ,且当 n≥3 时, a n ? a n ?1 ? (a n ?1 ? a n ? 2 ) ,求通项公式 an (1986 3 9 3

年高考文科第八题改编). 解:设 bn?1 ? an ? an?1 ,原递推式可化为:

1 13 4 1 1 1 n?2 1 1 n?2 1 bn ?1 ? bn ? 2 , {bn } 是一个等比数列, b1 ? a 2 ? a1 ? ? ? , ? ( ) ? ( )n . 公比为 .故 bn ?1 ? b1 ? ( ) 3 9 3 9 3 3 9 3 3 1 n 3 1 1 n 故 a n ? a n ?1 ? ( ) .由逐差法可得: a n ? ? ( ) . 3 2 2 3
例 4 已知数列 { an } ,其中 a1 ? 1, a2 ? 2 ,且当 n ≥ 3 时, an ? 2an?1 ? an?2 ? 1 ,求通项公式 an 。解 由

an ? 2an?1 ? an?2 ? 1 得: (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? 1 ,令 bn?1 ? an ? an?1 ,则上式为 bn?1 ? bn?2 ? 1 ,因此 {bn } 是
一个等差数列, b1 ? a2 ? a1 ? 1 ,公差为 1.故 bn ? n .。 由于 b1 ? b2 ? ? ? bn?1 ? a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ? an ? 1 又 b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? 所以 a n ? 1 ?

n(n ? 1) 2

1 1 n(n ? 1) ,即 a n ? (n 2 ? n ? 2) 2 2

四、积差相消法 例 5(1993 年全国数学联赛题一试第五题)设正数列 a0 , a1 , an …, an ,…满足 a n a n ? 2 ? a n ?1 a n ?2 = 2a n ?1

(n ? 2) 且 a0 ? a1 ? 1,求 {an } 的通项公式.
解 将递推式两边同除以 a n ?1 a n ?2 整理得:

an a ? 2 n?1 ? 1 a n?1 an?2

设 bn =

an ,则 b1 ? a n ?1

a1 =1, bn ? 2bn?1 ? 1 ,故有 a0
⑴ b3 ? 2b2 ? 1 ⑵

b2 ? 2b1 ? 1
… … …

… ( n ?1)
n ?3

bn ? 2bn?1 ? 1
由⑴ ? 2
n?2

+ ⑵? 2

+…+( n ? 1 ) 2 得 bn ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?1 = 2 ? 1 ,即
0 n

an n = 2 ?1 . a n ?1

逐项相乘得: an = (2 ? 1) 2 ? (2 2 ? 1) 2 ? ?? (2 n ? 1) 2 ,考虑到 a0 ? 1 , 故 an ? ?

1 ? 2 2 2 n 2 ?(2 ? 1) (2 ? 1) ? ? ? (2 ? 1)

( n ? 0) ( n ? 1)

.

五、取倒数法 例 6 已知数列{ an }中,其中 a1 ? 1, ,且当 n≥2 时, a n ?

a n ?1 ,求通项公式 an 。 2a n?1 ? 1



将 an ?

a n ?1 1 1 1 1 两边取倒数得: ? ? 2 ,这说明 { } 是一个等差数列,首项是 ? 1 ,公差为 2, a n a n ?1 an a1 2a n?1 ? 1

所以

1 1 . ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1,即 a n ? 2n ? 1 an

六、取对数法 例 7 若数列{ an }中, a1 =3 且 an?1 ? an (n 是正整数) ,则它的通项公式是 an =▁▁▁(2002 年上海高考题). 解 由题意知 an > 0 , 将 an?1 ? an 两 边取对数 得 lg an?1 ? 2 lg an ,即
n ?1

2

2

lg a n ?1 ? 2 , 所以 数列 {lg a n } 是 以 lg a n
n ?1

lg a1 = lg 3 为首项,公比为 2 的等比数列, lg an ? lg a1 ? 2 n?1 ? lg 32
七、平方(开方)法 例 8 若数列{ an }中, a1 =2 且 a n ?

,即 an ? 32

.

2 3 ? an ,求它的通项公式是 an . ?1 (n ? 2 )



将 an ?

2 2 2 2 2 3 ? an ?1 两边平方整理得 an ? an?1 ? 3 。数列 { a n } 是以 a1 =4 为首项, 3 为公差的等差数列。

2 an ? a12 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 1。因为 an >0,所以 an ? 3n ? 1 。

八、待定系数法 待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列,可以少走弯路.其变换的基本形式如 下: 1、 an?1 ? Aan ? B (A、B 为常数)型,可化为 an?1 ? ? =A( an ? ? )的形式. 例 9 若数列{ an }中, a1 =1, S n 是数列{ an }的前 n 项之和,且 S n?1 ?

Sn (n ? 1 ) ,求数列{ an }的通项公 3 ? 4S n

式是 an . 解 递推式 S n?1 ?

Sn 1 1 可变形为 ? 3? ?4 S n?1 Sn 3 ? 4S n
? ? ? 3( 1 ? ?) Sn 1 S n?1

(1)

设(1)式可化为

1 S n ?1

(2)

比较(1)式与(2)式的系数可得 ? ? 2 ,则有

? 2 ? 3(

1 1 1 ? 2) 。故数列{ ? 2 }是以 ? 2 ? 3 为首项, Sn Sn S1

3 为公比的等比数列。

1 ? 2 = 3 ? 3n?1 ? 3n 。所以 Sn

Sn ?

1 3n ? 2 。

当 n ? 2 , a n ? S n ? S n ?1 ?

1 1 ? 2 ? 3n ? ? 。 3n ? 2 3n?1 ? 2 32 n ? 8 ? 3n ? 12

数列{ an }的通项公式是 an ? ?

1 ? ?

? 2 ? 3n ? ? 32n ? 8 ? 3n ? 12

( n ? 1) ( n ? 2)



n 2、 an?1 ? Aan ? B ? C (A、B、C 为常数,下同)型,可化为 an?1 ? ? ? C n?1 = A(an ? ? ? C )的形式.
n

例 10 在数列{ an }中, a1 ? ?1, an?1 ? 2an ? 4 ? 3 解:原递推式可化为:

n?1

, 求通项公式 an 。

an?1 ? ? ? 3n ? 2(an ? ? ? 3n?1 )
n


n?1

比较系数得 ? =-4,①式即是: an?1 ? 4 ? 3 ? 2(an ? 4 ? 3 则数列 {an ? 4 ? 3 ∴ an ? 4 ? 3
n?1 n?1

).

} 是一个等比数列,其首项 a1 ? 4 ? 31?1 ? ?5 ,公比是 2.

? ?5 ? 2n?1

即 an ? 4 ? 3n?1 ? 5 ? 2 n?1 . 3、 an?2 ? A ? an?1 ? B ? an 型,可化为 an?2 ? ?an?1 ? ( A ? ? ) ? (an?1 ? ?an ) 的形式。 例 11 在数列{ an }中, a1 ? ?1, a2 ? 2 ,当 n ? N , an?2 ? 5an?1 ? 6an ① 解:①式可化为: 求通项公式 an .

an?2 ? ?an?1 ? (5 ? ? )(an?1 ? ?an )
比较系数得 ? =-3 或 ? =-2,不妨取 ? =-2.①式可化为:

an?2 ? 2an?1 ? 3(an?1 ? 2an )
则 {an?1 ? 2an }是一个等比数列,首项 a2 ? 2a1 =2-2(-1)=4,公比为 3. ∴ an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1 .利用上题结果有:

an ? 4 ? 3n?1 ? 5 ? 2n?1 .
4、 an?1 ? Aan ? Bn ? C 型,可化为 an?1 ? ?1n ? ?2 ? A[an ? ?1 (n ? 1) ? ?2 ] 的形式。 例 12 在数列{ an }中, a1 ? 求通项公式 an . 解 ①式可化为:

3 , 2an ? an?1 =6 n ? 3 2



2(an ? ?1n ? ?2 ) ? an?1 ? ?1 (n ? 1) ? ?2



比较系数可得:

?1 =-6, ?2 ? 9 ,② 式为 2bn ? bn?1
{bn } 是一个等比数列,首项 b1 ? a1 ? 6n ? 9 ?
∴ bn ?

9 1 ,公比为 . 2 2

9 1 n ?1 ( ) 2 2 1 2
n

即 a n ? 6n ? 9 ? 9 ? ( )

故 a n ? 9 ? ( ) ? 6n ? 9 .
n

1 2

九、猜想法 运用猜想法解题的一般步骤是:首先利用所给的递推式求出 a1 , a2 , a3 , ……,然后猜想出满足递推式的一个通项 公式 an ,最后用数学归纳法证明猜想是正确的。 例 13 在各项均为正数的数列 {an } 中, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, Sn =

1 1 ( an + ) ,求其通项公式。 2 an

求递推数列通项的特征根法与不动点法

一、形如 an?2 ? pan?1 ? qan ( p, q 是常数)的数列 形如 a1 ? m1 , a2 ? m2 , an?2 ? pan?1 ? qan ( p, q 是常数)的二阶递推数列都可用特征根法求得通项 an ,其 特征方程为 x2 ? px ? q …① 若①有二异根 ? , ? ,则可令 an ? c1? n ? c2 ? n (c1, c2 是待定常数) 若①有二重根 ? ? ? ,则可令 an ? (c1 ? nc2 )? n (c1, c2 是待定常数) 再利用 a1 ? m1 , a2 ? m2 , 可求得 c1 , c2 ,进而求得 an .

例 1.已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项 an . 解:其特征方程为 x2 ? 3x ? 2 ,解得 x1 ? 1, x2 ? 2 ,令 an ? c1 ?1n ? c2 ? 2n ,

?c1 ? 1 ? a1 ? c1 ? 2c2 ? 2 ? 由? ,得 ? 1, c ? ? a2 ? c1 ? 4c2 ? 3 2 ? ? 2

?an ? 1 ? 2n?1 .

例 2.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, 4an?2 ? 4an?1 ? an (n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项 an . 解:其特征方程为 4 x 2 ? 4 x ? 1 ,解得 x1 ? x2 ?
1 ? a1 ? (c1 ? c2 ) ? ? 1 ? ?c1 ? ?4 ? 2 由? ,得 ? , c ? 6 1 ? 2 ? a ? ( c ? 2c ) ? ? 2 2 1 2 ? ? 4
Aan ? B 的数列 Can ? D Aan ? B , a1 ? m, n ? N * ( A, B, C, D 是常数且 C ? 0, AD ? BC ? 0 ) Can ? D
Ax ? B ,变形为 Cx2 ? ( D ? A) x ? B ? 0 …② Cx ? D 1 ?1? ,令 an ? ? c1 ? nc2 ? ? ? , 2 ?2?
n

? an ?

3n ? 2 . 2n ?1

二、形如 an ? 2 ?

对于数列 an ? 2 ?

其特征方程为 x ?

若②有二异根 ? , ? ,则可令

an ?1 ? ? a ?? (其中 c 是待定常数) ,代入 a1 , a2 的值可求得 c 值. ? c? n an?1 ? ? an ? ?

? a ?? ? a ?? 这样数列 ? n ,公比为 c 的等比数列,于是这样可求得 an . ? 是首项为 1 a1 ? ? ? an ? ? ?

若②有二重根 ? ? ? ,则可令

1 1 ,代入 a1 , a2 的值可求得 c 值. ? ? c (其中 c 是待定常数) an?1 ? ? an ? ?

? 1 ? 1 这样数列 ? ,公差为 c 的等差数列,于是这样可求得 an . ? 是首项为 an ? ? ? an ? ? ?

此方法又称不动点法.
an?1 ? 2 (n ? 2) ,求数列 {an } 的通项 an . 2an?1 ? 1

例 3.已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?

解:其特征方程为 x ? 由 a1 ? 2, 得 a2 ?

x?2 a ?1 a ?1 ,化简得 2 x2 ? 2 ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ? ?1 ,令 n ?1 ? c? n 2x ?1 an ?1 ? 1 an ? 1

4 1 ,可得 c ? ? , 5 3
n ?1

? an ? 1 ? an ? 1 1 ? 1 ? 3n ? (?1)n 1 a1 ? 1 1 ? ? ? ? ? 为公比的等比数列, . ? 为首项,以 ? 数列 ? ? 是以 ? ? ,? an ? n an ? 1 3 ? 3 ? 3 a1 ? 1 3 3 ? (?1)n ? an ? 1 ?

例 4.已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an?1 ? 解:其特征方程为 x ?

2an ? 1 (n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项 an . 4an ? 6

2x ?1 1 ,即 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ,解得 x1 ? x2 ? ? ,令 4x ? 6 2

1 1 an?1 ? 2

?

1 1 an ? 2

?c

由 a1 ? 2, 得 a2 ?

3 ,求得 c ? 1 , 14

? ? ? 1 ? 1 2 1 2 3 是以 ? 数列 ? ? 为首项,以 1 为公差的等差数列,? ? ? (n ? 1) ?1 ? n ? , ? 1 5 1 5 5 ? an ? 1 ? a1 ? an ? ? 2? 2 2 13 ? 5n ? an ? . 10n ? 6


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