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高二数学《等比数列》专题知识点


高二数学《等比数列》专题知识点
一、基本概念与公式: 1、等比数列的定义; 2、等比数列的通项公式: (1) an ? a1q n?1 ; (2) an ? am q n?m .(其中 a1 为首项、 a m 为第 m 项, an ? 0 ; m, n ? N ? ) 3、等比数列的前 n 项和公式:当 q=1 时,Sn=n a1 当 q≠1 时,Sn= (是关于 n

的正比例式);

a ? an q a1 (1 ? q n ) = K ? q n ? K , Sn= 1 1? q 1? q

三、有关等比数列的几个特殊结论 1、等比数列 ?an ? 中,若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq

注意:由 Sn 求 an 时应注意什么?
n ? 1 时, a1 ? S1 ;

n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1

.

2、等比数列 ?an ? 中的任意“等距离”的项构成的数列仍为等比数列. 3、公比为 q 的等比数列 ?an ? 中的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、 S4m - S3m、??(Sm≠0)仍为等比数列,公比为 q . 4、若 ?an ? 与 ?bn ? 为两等比数列,则数列 ?kan ?、 an ( k ? 0 , k 为常数)仍成等比数列. 5、若 ?an ? 为等差数列,则 c
m

? ?、 ?a
k

n

?a ? ? bn ?、 ? n ? ? bn ?

? ? (c>0)是等比数列.
an

6、若 ?bn ? ?bn ? 0? 为等比数列,则 ?logc bn ?(c>0 且 c ? 1) 是等差数列. 7、在等比数列 ?an ? 中: (1)若项数为 2 n ,则

S偶 S奇

?q

(2)若项数为 2n ? 1 ,则

S 奇 ? a1 S偶

?q
n

8、数列 ?an ? 是公比不为 1 的等比数列 ? 数列 ?an ? 前 n 项和 Sn= A ? q ? A , (q ? 1, A ? 0) 等差数列 定义
a n ?1 ? a n ? d

等比数列
a n ?1 ? q ( q ? 0) an

递推公 式 通项公 式 中项

a n ? a n ?1 ? d ; a n ? a m? n ? md a n ? a1 ? (n ? 1)d

a n ? a n ?1 q ; a n ? a m q n?m

9、等比数列的判 定方法 (1)、an=an-1·q (n≥2),q 是不 为零的常数,an- {an}是等 1≠0 比数列. (2) 、 an =an-1·an (n≥2, an- +1 1,an,an+1≠0) {an}是等比数 列. (3)、an=c·q (c,q 均是不为
n 2

a n ? a1 q n?1 ( a1 , q ? 0 )

A?

a n?k ? a n? k 2

G ? ? an?k an?k (an?k an?k ? 0)

( n, k ? N * , n ? k ? 0 ) 前 n 项 和
Sn ? n (a1 ? a n ) 2

( n, k ? N * , n ? k ? 0 )
?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 1 ? q n a ?a q ? 1 n (q ? 2) ? 1? q ? 1? q

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

?

?

重要性 质
am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q)

am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q)

零的常数)

{an}是等比数列.

10、等比数列的前 n 项和的性质 (1)、若某数列前 n 项和公式为 Sn=a
n-1

(a≠0,±1),则{an}成等比数列.
n

(2)、若数列{an}是公比为 q 的等比数列,则 Sn+m=Sn+q ·Sm.

(3)、在等比数列中,若项数为 2n(n∈N*),则 (4)、Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列.


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