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高二年级(普通理科)12月月考数学试题


2014 年秋高二年级十二月份月考数学试题(理科)
时间 120 分钟 第I卷 一、选择题(本小题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题的答案是唯一的) 1、掷一颗质地均匀的骰子,观察所得的点数 a,设事件 A=“a 为 1”,B=“a 为 2”,C=“a 为偶数” ,则下 列结论正确是( )
开始

A. 1

2

B. 1

3

C. 1

4

D. 1 )

5

满分 150 分

8、当 a>0 时,函数 f(x)=(x2-2ax)ex 的图象大致是(

A. A 与 B 为对立事件 B. A 与 B 为互斥事件 C. A 与 C 为对立事件 D. B 与 C 为互斥事件

k=12 S=1

9、已知: ? ? {( x, y ) | ?

? ?y ? 0 ? ?y ? 4? x
2

} ,直线 y ? mx ? 2m 和曲线 y ? 4 ? x2 有两个不同的交点,它们

围成的上半平面区域为 M ,向区域 ? 内随机投一点 A ,点 A 落在区域 M 内的概率为 P ( M ) ,若


2、若右面框图表示的程序所输出的结果是 1320, 则?处应填 ( A. C. ) B. D.

?


P( M ) ? [
输出 S 结束

? ?2 ,1] ,则实数 m 的取值范围为( 2?
B. [0,

)

k ? 10 k?9

k ? 10 k?9

S ? S?k k ? k ?1

A. [0,1]

3 ] 3

C. [

3 ,1] 3

D. [ ,1]

1 2

10、若函数 f ( x) ? loga ( x3 ? ax)(a ? 0, a ? 1) 在区间 (?

1 ,0) 内单调递增,则取值范围是( 2
?9 ?4 ? ?
D. ?1, ?

)

3、某次考试成绩 X 服从正态分布 N (70 , ? 2 ) , P ( X ? 80) ? 0.84 ,则 P ( X ? 60) ? ( A. 0.16
2



1? A. ? ,

?1 ? ?4 ?

1? B. ? ,

?3 ? ?4 ?

? ?? C. ? ,
第 II 卷

? 9? ? 4?

B.

0.32
2

C.

0.68

D.

0.84

4、已知圆 C : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 1 和两点 A ? ?m,0 ? , B ? m,0? ? m ? 0? ,若圆 C 上存在点 P ,使得
?APB ? 90 ,则 m 的最大值为(
A. 7 B. 6 ) C. 5 D. 4 )

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填在相应的位置上) 11、比较大小:12(6) 12、 ( 1 ? x ? e ? 1)dx ?
2 x -1

101(2) (填“ ? ”或“ ? ”或“=”) . .

?

1

5、当点 P 在曲线 y ? sin x ( x ? (0, ? ) )上移动时,曲线在 P 处切线的倾斜角的取值范围是( A. [0,

?
2

)

B. (?

? ?

, ) 4 4

C. ( )

? 3?
4 , 4

)

D. [0,

?
4

) ∪(

3? ,? ) 4

13、 用 0,1,2,3,4,5 六个数字组成无重复数字的四位数,若把每位数字比其左邻的数字小 的数叫做“渐降 数”,则上述四位数中“渐降数”的个数为
3 2

. .

6、在 (1 ? x3 )(1 ? x)10 的展开式中, x5 的系数是( A. ?297 B. ?252

14、若函数 f ( x) ? x ? 3x 在 (a, 6 ? a ) 上有最小值,则实数 a 的取值范围是

C.297

D.207

7、实数 a ? ? ?1,1? , b ? ?0, 2? .设函数 f ( x ) ? ?

1 3 1 2 x ? ax ? bx 的两个极值点为 x1 , x2 ,现向点 ? a, b ? 所在 3 2


2 15、 定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲线 C1 : y ? x ? a

到直线 l : y ? x 的距离等于曲线 C 2 : x ? ( y ? 4) ? 2 到直线直线 l : y ? x 的的距离,则实数 a
2 2

平面区域投掷一个飞镖,则飞镖恰好落入使 x1 ? ?1且 x2≥1 的区域的概率为(





三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16、 (本小题满分 12 分)从某校参加数学竞赛的试卷中抽取一个样本,考查竞赛的成绩分布,将样本分 成 6 组,得到频率分布直方图如图,从左到右各小组的小长方形的高的比为 1:1:3:6:4:2,最右边的一 组的频数是 8.请结合直方图的信息,解答下列问题: (1)样本容量是多少? (2)成绩落在哪个范围的人数最多?并求出该小组的频数和频率. (3)估计这次数学竞赛成绩的众数、中位数和平均数.

19、 (本小题满分 12 分)已知 y ? f ( x) 是二次函数,方程 f ( x) ? 0 有两相等实根,且 f ?( x) ? 2 x ? 2 (1)求 f ( x) 的解析式.
2 (2)求函数 y ? f ( x) 与函数 y ? ? x ? 4 x ? 1所围成的图形的面积.
[来源:学,科,网]

20、 (本小题满分 13 分) 设函数 (1)求函数

f ( x) ? (1 ? x)2 ? ln(1 ? x)2 ? 2 .

f ( x) 的单调增区间;

(2)若不等式

1 f ( x) ? m 在 x ? [ ? 1, e ? 1] 恒成立,求实数 m 的取值范围. e
9 ? m 成立,求实数 m 的取值范 4a

(3)若对任意的 a ? (1, 2) ,总存在 x0 ?[1, 2] ,使不等式 f ( x0 ) ? a ?

17、 (本小题满分 12 分)已知

?

x ? 3 x 的二项展开式中所有奇数项的系数之和为 512,

?

围.

n

(1) 求展开式的所有有理项(指数为整数) . (2) 求 ?1 ? x? ? ?1 ? x? ? ? ? ?1 ? x? 展开式中 x 项的系数.
3 4 n

2

21.、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax , a 为常数. (1)若函数 f ( x) 在 x ? 1 处的切线与 x 轴平行,求 a 的值; (2)当 a=1时,试比较 f ? m ? 与 f ? 18、 (本小题满分 12 分)袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共 10 个。已知从袋中任意摸出 1 个球,

?1? ? 的大小; ?m?

2 7 得到黑球的概率是 ;从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是 . 5 9
(1)求袋中各色球的个数; (2)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 ? ,求随机变量 ξ 的分布列及期望 E? 和方差 D ? ;

(3)若函数 f ( x) 有两个零点 x1 、 x 2 ,试证明 x1 x2 ? e2 .

, D? ? 21, 试求a, b 的值。 (3)在(2)的条件下,若 ? ? a? ? b, E? ? 11

参考答案
一、选择题:BDABD 二、填空题: 11、 ? DCBAB

18.解: (1)因为从袋中任意摸出 1 球得到黑球的概率是

2 x 2 ,故设黑球个数为 x,则 ? , 所以x ? 4. 5 10 5
2 1 Cy ? C1 y C10 ? y

1 12、 ? e ? ? 2 2 e

?

13、15

14、 ? ?2,1?

15、 【答案】

9 . 4

7 设白球的个数为 y,又从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是 ,则 9
故袋中白球 5 个,黑球 4 个,红球 1 个。 (2)由题设知 ξ 的所有取值是 0,1,2,3,则随机变量 ξ 的分布列为 ξ P 0 1 2 3

C

2 10

?

7 , 9

解得y ? 5

1 12

5 12

5 12

1 12

三、解答题: (3)?? ? a? ? b

?3 a ? b ? 11 ? ?2 2 ? E? ? E (a? ? b) ? aE? ? b , D? ? D(a? ? b) ? a D? . , 又E? ? 11, D? ? 21 ? ? ? 7 a 2 ? 21 ? ?12

19、

0 2 17. 解: (1) Cn ? Cn ? ? ? 2n ?1 ? 512 ? 29 ∴n ?1 ? 9 , n ? 10
10 ? r r ? r C10 x 2 3 5? r 6

r Tr ?1 ? C10 (

x)

10 ? r

(? x ) ? (?1)
3

r

r

? (?1)

r

r C10 x

( r =0, 1, …,10 )

r ∵5 ? ? Z,∴r ? 0 ,6 6

0 5 6 4 x ? x5 , T7 ? C10 x ? 210x 4 故有理项为 T1 ? C10

r r ?1 r r ?1 r r ? Cn ? Cn ? Cn (2)∵Cn ?1 ,∴Cn ?1 ? Cn 3 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3 ? C3 ? 164 ? C4 ? ? ? C10 ? (C4 ? C3 ) ? (C5 ? C4 ) ? ? ? (C11 ? C10 ) ? C11 x 2 项的系数为 C3

20、 解: (1)函数的定义域为 {x x ? ?1}

21、 【解析】 (1) f ?( x) ?

1 ? a ,由题 f ?(1) ? 1 ? a =0 ,? a ? 1 . x

2分

f `( x) ? 2(1 ? x) ?

2 2 x( x ? 2) ? x ?1 x ?1

由 f `( x) ? 0 得 ?2 ? x ? ?1 或 x ? 0 故函数 f ( x) 的单调增区间为 (?2, ?1) 和 (0, ??)

1 (2)∵当 x ?[ ? 1,0] 时 f `( x) ? 0 e

当 x ? [0, e ? 1] 时 f `( x) ? 0

1 ∴ f ( x) 在 [ ? 1,0] 上单调递减,在 [0, e ?1] 上单调递减. e
f ( x)min ? f (0) ? 1 ? 0 ? 2 ? 3
(3)设 g (a) ? a ? ∴ m?3

9 9 3 ? m, g `(a) ?1 ? 2 ? 0 ? a ? 4a 4a 2 3 3 y ? g ( a ) 在 a ? (1, ) 上单减,在 a ? ( ,2) 上单增 2 2

由(1)知 f ( x) 在 [1,2] 上单增, ∴ f max ? f (2) ? 11 ? ln 9 又 g (1) ?

13 25 g (1) ? g (2) ?m g (2) ? ?m 4 8 13 31 ∴ 11 ? ln 9 ? ? m ∴ m ? ? ln 9 4 4


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