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立体几何(二)


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立体几何(二)
知识要点
一、 圆柱 1.圆柱的形成:圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的。 圆柱也可以由长方形卷曲而得到。 (两种方式: 1.以长方形的长为底面周长, 宽为高;2. 以长方形的宽为底面周长,长为高。其中,第一种方式得到的圆柱体体积较大。 ) 2.圆柱的高是两个底面之间的距离,一个圆柱有无数条高,他们的数值是相等的。

3.圆柱的切割:a.横切:切面是圆,表面积增加 2 倍底面积,即 S 增=2∏R
2

b.竖切(过直径) :切面是长方形(如果 h=2R,切面为正方形) ,该长方形的长是圆柱 的高,宽是圆柱的底面直径,表面积增加两个长方形的面积,即 S 增=4Rh 4. 圆柱的侧面展开图:a 沿着高展开,展开图形是长方形,如果 h=2∏R,展开图形为正方形。 b. 不沿着高展开,展开图形是平行四边形或不规则图形。 C.无论如何展开都得不到梯形 二.圆锥 1.圆柱的形成:圆锥是以直角三角形的一直角边为轴旋转而得到的。 圆锥也可以由扇形卷曲而得到。 2.圆锥的高是两个顶点与底面之间的距离,与圆柱不同,圆锥只有一条高 3.圆柱的切割:a.横切:切面是圆 b.竖切(过顶点和直径直径) :切面是等腰三角形,该等腰三角形的高是圆锥的高,底 是圆锥的底面直径,表面积增加两个等腰三角形的面积,即 S 增=2Rh 三.圆柱、圆锥常用的表面积、体积公式 立体图形
h

表面积

体积

S圆柱 ? 侧面积 ? 2个底面积 ? 2πrh ? 2πr 2
圆柱
r

V圆柱 ? πr 2 h

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2
1 V圆锥体 ? πr 2 h 3

h

圆锥

r

小试牛刀
题型一:展开圆柱的情况
1、 展开侧面 (1)圆柱的底面周长和高相等时,沿高展开后的侧面一定是个( ) 。 (2)一个圆柱体,两底面之间的距离是 10 厘米,底面周长是 31.4 厘米,把这个圆柱体的侧面展开得 到一个长方形,长方形的周长是( ) 。 (3)把一个圆柱的侧面展开,是一个边长 9.42dm 的正方形,这个圆柱的底面直径是( ) 。 (4) 圆柱形的纸筒, 它的高是 3.14 分米, 底面直径是 1 分米, 这个圆柱形纸筒的侧面展开图是 ( ) 。 A、长方形 B、正方形 C、圆形 (5)把一张长 6 分米、宽 3 分米的长方形纸片卷成一个圆柱,并把圆柱直立在桌子上,它的最大容积 是( ) 。 (6)一个圆柱的侧面展开后恰好是一个正方形,这个圆柱的底面直径和高的比是( ) 。 2、 将圆柱体切开后分析增加的表面积 (1)圆柱两个底面的直径( ) 。把一个底面积为 6.28 立方厘米的圆柱,切成两个圆柱,表面 积增加( )平方厘米。 (2)把一根圆柱形木料据成四段,增加的底面有( )个。 (3)一根圆柱形有机玻璃棒,体积是 54 立方厘米,底面积是 4 立方厘米,把它平均截成 5 段,每段 长( )cm。 (4)一个高为 9 分米的圆柱体,沿底面直径切成相等的两部分,表面积增加 72 平方分米,这个圆柱 体的体积是多少立方分米?

3、 将两圆柱体合并 把两个底面直径都是 4 厘米,长都是 4 分米圆柱形钢材焊接成一个长的圆柱形钢材,焊接成的圆柱形 钢材的表面积比原来两个小圆柱形钢材的表面积之和减少了多少?

题型二:求表面积、体积、侧面积和底面积(主要是应用题)
1、 表面积 一个圆柱的侧面积是 25.12 平方厘米,底面半径是 2 厘米,它的表面积是多少?

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2、 体积 (1)一个底面直径是 40 里面的圆柱形玻璃杯装有一些水,一个底面直径是 20 厘米、高为 15 厘米的圆锥 形铅锥完全没入水中,当取出铅锤后,杯里的水面下降几厘米?

(2)有一个圆柱形储粮桶,容量是 3.14m? ,桶深 2 米,把这个桶装满稻谷后再在上面把稻谷堆成一个高 0.3 米的圆锥。这个储粮桶装的稻谷体积是多少立方米?(得数保留两位小数)

(3)用铁皮制作 2 个圆柱形水桶(无盖) ,底面半径为 12 厘米,高为 35 厘米。制作这样 2 个水桶需要用 铁皮多少平方分米?这 2 个桶最多可盛水多少升?

(4)一个装满小麦的粮囤,上面是一个圆锥形,下面是圆柱形。量得圆柱的底面周长是 6.28 米,高是 2 米,圆锥的高是 0.6 米。如果每立方米小麦重 750 千克,这囤小麦大约有多少千克?

3、 侧面积 一种圆柱形铅笔, 底面直径是 0.8cm, 长 18cm。 这支铅笔刷漆的面积是多少平方厘米? (两底面不刷)

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4、 不规则 做一个没盖的圆柱形水桶,底面半径是 25 厘米,高 50 厘米,至少需要铁皮多少平方厘米?

5、 底面直径和半径 有一节张 160 厘米的圆柱形状的烟囱, 它的侧面积是 5024 立方厘米。 这节烟囱的底面半径是多少厘米?

题型三:升和毫升、立方米、立方分米和立方厘米之间的进率
1 升=( )毫升; 1 立方米=( )立方分米=( 1 立方分米=( )立方厘米。 )立方厘米;

题型四:按某条轴旋转得到圆柱体或圆锥体(或以一条边为轴)
(1) 一个长方形的长是 8 厘米, 宽是 5 厘米, 以长边为轴旋转一周, 得出的立体图形的体积是 ( ) (2)一张长方形的纸长 6.28 分米,宽 4 分米。用它分别围成两个圆柱体,它们的体积大小一样吗?请计 算出来。

(3)一个直角三角形的两条直角边长度分别是 4 厘米和 3 厘米。如果以长为 4 厘米的直角边为旋转轴一 周,可以得到一个圆锥,这个圆锥的体积是度搜好立方厘米?

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题型五:高增加、体积增加
一个圆柱的高增加 3.5 厘米, 体积增加了 49 立方厘米。 这个圆柱的底面积是 ( ) 平方厘米。

题型六:半径等增加,其他怎么变
(1)圆柱的底面半径扩大为原来的 2 倍,高不变,侧面积扩大为原来的( 倍。 (2)圆柱的高不变,底面半径扩大( )倍,则体积就扩大 4 倍。 (3)圆柱的高扩大 2 倍,底面半径缩小 2 倍,它的体积( ) 。 2 (4)一个圆柱的底面大小不变,高增加了 ,体积就是原来的( ) 。 3 )倍,体积扩大( )

题型七:长方体(正方体)与圆柱体的变换
1、 体积相等 (1) 一个圆柱与一个长为 18 分米, 宽 5 分米, 高 3 分米的长方体体积相等。 如果圆柱的高是 9 分米, 它的底面积是( )分米。 (2)一辆货车厢是一个长方体,它的长时 4 米,宽是 2.5 米,高是 4 米,装满了一车粮食,现在要把 这些粮食卸到一个底面半径是 2 米的圆柱形粮仓里,能装多高?(得数保留一位小数)

2、 一根底面直径是 2 分米、 长是 2 米的圆木, 要锯成横截面是最大的正方形的方木, 需要锯下多少木料?

题型八:管的体积计算
一根圆柱形的零件管,长 70 厘米,外圆柱直径为 20 厘米,内圆柱直径为 10 厘米,这个零件的体积 是多少?

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题型九:圆柱和圆锥的相互关系
(1)一个圆柱高 4 分米,体积是 40 立方分米,比与它等底的圆锥的体积多 10 立方分米,这个圆锥的高 是( )分米。 (2) 一个圆柱和一个圆锥的底面积和体积分别相等, 已知圆柱的高是 6 厘米, 那么圆锥的高是 ( ) 厘米。 (3)等底等高的圆柱和圆锥的体积和是 96 立方分米,圆柱的体积是( )立方分米,圆锥的体积是 ( )立方分米。 (4)把一个体积是 18 立方厘米的圆柱削成一个最大的圆锥,削成的圆锥体积是( )立方厘米。 (5)把一段圆柱形木料削成一个最大的圆锥,圆柱的体积是 6 立方分米,圆锥的体积是( )立方分 米。 (6)一个圆锥的体积是 6.3 立方厘米,与它等底等高的圆柱的底面积是 7 平方厘米,圆柱的高应该是 ( ) 。 (7)一个圆锥的体积是 n 立方厘米,和它等底等高的圆柱体的体积是( )立方厘米。 (8)把一个底面积是 6.28 平方分米、高 9 分米的圆柱体铁块熔铸成一个底面积是 12.56 平方分米的圆锥 体,圆锥体的高是多少分米?

题型十:正方体、长方体、圆柱和圆锥之间的关系
(1) 一个棱长是 4 分米的正方体容器装满水后, 倒入一个底面积是 12 平方分米的圆锥形容器里正好装满, 这个圆锥形容器的高是( )分米。 (2)把一个棱长是 4 分米的立方体钢柸切成一个最大的圆柱,这个圆柱的体积是( )立方分米。 (3)一个圆锥形沙堆,底面半径 3 米,高 2.7 米,用这个沙堆在 15 米宽的公路上铺 4 厘米厚的路面,能 铺多少米?

(4)工地上有一堆圆锥形三合土,底面周长 37.68m,高 5m,把这些三合土在宽 15.7m 的路面上铺 4cm 厚,可铺多少米?

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课后小测
一、选一选。 (将正确答案的序号填在括号里) 1、下面物体中, ( )的形状是圆柱。

A、

B、
3

C、
2

D、 )dm。

2、一个圆锥的体积是 36dm ,它的底面积是 18dm ,它的高是( 2 A、 3 3、下面( B、2 C、6 D、18

)图形是圆柱的展开图。 (单位:cm)

4、下面(

)杯中的饮料最多。

5、一个圆锥有( A、一

)条高,一个圆柱有( B、二 C、三

)条高。 D、无数条

6、如图:这个杯子(

)装下 3000ml 牛奶。

A、能 二、判断对错。 ( ( ( (

B、不能

C、无法判断

)1、圆柱的体积一般比它的表面积大。 )2、底面积相等的两个圆锥,体积也相等。 )3、圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥体积的 3 倍。 )4、“做圆柱形通风管需要多少铁皮”是求这个圆柱的侧面积。
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( )5、把圆锥的侧面展开,得到的是一个长方形。

三、想一想,连一连。

四、填一填。 1、2.8 立方米=( 3060 立方厘米=( 5 平方米 40 平方分米=( )立方分米 )立方分米 )平方米 )cm2,侧面积是( )cm2,体积 6000 毫升=( )

2、一个圆柱的底面半径是 5cm,高是 10cm,它的底面积是( 是( )cm3。

3、用一张长 4.5 分米,宽 1.2 分米的长方形铁皮制成一个圆柱,这个圆柱的侧面积最多是( 分米。 (接口处不计) 4、一个圆锥和一个圆柱等底等高,圆锥的体积是 76cm3,圆 柱的体积是( )cm3。 )cm3。

)平方

5、一个圆锥的底面直径和高都是 6cm,它的体积是( 五、求下面图形的体积。 (单位:厘米)

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六、解决问题。 1、⑴制作这个薯片筒的侧面标签,需要多大面积的纸?

⑵这个薯片筒的体积是多少?

2、 在建筑工地上有一个近似于圆锥形状的沙堆, 测得底面直径 4 米, 高 1.5 米。 每立方米沙大约重 1.7 吨, 这堆沙约重多少吨?(得数保留整吨数)

3、一个圆柱形水池,水池内壁和底面都要镶上瓷砖,水池底面直径 6 米,池深 1.2 米。镶瓷砖的面积是多 少平方米?

4、如图,先将甲容器注满水,再将水倒入乙容器,这时乙容器中的水有多高?(单位:厘米)

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5、张师傅要把一根圆柱形木料(如右图)削成一个圆锥。削成最大的圆锥,圆锥的体积是多少?

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