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湖南省“五市十校”2012级高二数学联赛试卷


湖南省“五市十校”2012 级高二数学联赛试卷
命题:桃江一中高二数学备课组 分值:150 分 时量:150 分钟
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)

二、填空题(每小题 5 分,共 35 分) 9、执行如图所示的程序框图,如果输出 S ? 3 ,那么判断框内应填入的条 件是 10、在某海域,一货轮航行到 M 处,测得灯塔 P 在

货轮的北偏东 15°并 与灯塔 P 相距 20n min,随后货轮按北偏西 30°方向航行 30 分钟, 又测得灯塔
P 在货轮的东北方向,则货轮的速度为

12 1、设集合 A ? ?0,, ?,则集合 B ? ?x ? y | x ? A, y ? A? 中元素的个数
是( ) B、3 C、5 D、9 )

n min/h
1 1 1 的最小 ? ? 1- a 1- b 1- c

b 11、若 0 a, , c<1, 满足条件 ab ? bc ? ca ? 1,则 <

A、1

2、某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是( A、32 B、 16? 16 2 C、48 D、 16? 32 2

值是 12、已知 F1、F 2 分别是双曲线 x 2 ? my2 ? 1(m>0) 的左、右焦点, P 为双曲
2

3、向一个边长为 4 3 的正三角形内随机投一点 P ,则点 P 到三边的 距离都不小于 1 的概率为( A、
1 2

线左支上任意一点,若 (2 小题图)

PF2 PF1

的最小值为 8,则此双曲线的离心率的取值范围

(9 小题图)

) C、
1 4

B、

1 3

D、

1 9

为 13、设正数数列 ?a n ? 的前 n 项和为 bn ,数列 ?bn ? 的前 n 项积为 c n ,且 bn ? cn ? 1 ,则数列 ? 近 2013 的数是 14、若正整数 a 使得函数 f ( x) ? x ? 13 ? 2ax 的最大值也是正整数,则该最大值为 。
?1? ? 中最接 ? an ?

4、设偶函数 f (x) 对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 3) ? ? ( ) A、10 B、
1 10

1 ,且当 x ? ?? 3,? 2? 时, f ( x) ? 4 x ,则 f (107 .5) 为 f ( x)

C、 ?10

D、 ?

1 10

( 0) 5、过点 2, 的所有直线中,至少通过两个不同的有理点(横坐标、纵坐标均为有理数)的直线

15、有 100 盏电灯,排成一行,从左至右依次编上 1、2、3、4……100 这些号码,每盏灯都有一个 完好的拉线开关。另外还有 100 个小孩。开始时灯都是关着的。第一个小孩走过来,把凡是号码等于 1 的倍数的灯的开关拉一下;第二个小孩走过来,把凡是号码等于 2 的倍数的灯的开关拉一下;第三个小

的条数是( A、0
?

) B、无穷多
?

C、至少两条
? ? ?

D、只有一条
? ? ? ?

孩走过来, 把凡是号码等于 3 的倍数的灯的开关拉一下; ……如此继续下去, 直到第 100 个小孩走过来, 把号码等于 100 的灯的开关拉一下。这样做过之后,这 100 盏灯中亮着的灯有 三、解答题 16、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(x ? 盏。

6、已知 a , b 为非零的不共线向量,设条件 M: b ? (a ? b ) , 条件 N: ?x ? R, a ? xb ? a ? b 则 M 是 N 的( ) A、必要不充分条件 7、设 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 ?x ? y ? 1 ? 满足约束条件 ? x ? 2 y ? ?2 若 x 2 ? 4 y 2 ? a 恒成立,则实数 a 的最大值为( ) ?3 x ? 2 y ? 3 ? B、
4 5

x, y

?
6

? x ) ? cos(x ? ), g ( x) ? 2 sin 2 3 2
3 3 ,求 g (x ) 的值 5

A、

53 2

C、4

D、1
1 ,则 OA 的取值范围是( 2
? 2? ? ?

(1)若 x 是第一象限角,且 f ( x) ?

(2)求使 f ( x) ? g ( x) 成立的 x 的取值集合。

8、在平面上, AB1 ? AB2,OB1 ? OB2 ? 1, AP ? AB1 ? AB2,若 OP<
? 5? A、 ? 0, ? ? 2 ? ? ?



B、 ? ?

? 5 7? , ? 2 ? ? 2 ?

C、 ? ?

? 5 ? , 2? ? ? 2 ?

D、 ? ?

? 7 , ? 2

17、 (本小题满分 12 分)

20、 (本小题满分 13 分) 设 a1 , a2 ,?, an 是各项均不为零的 n ( n≥ 4 )项等差数列,且公差 d ? 0 ,若将此数列删去某一项后 得到的数列(按原来的顺序)是等比数列. (1) (i)当 n ? 4 时,求

1 如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD. 2
(1)证明:平面 PQC⊥平面 DCQ (2)求二面角 Q—BP—C 的余弦值

a1 的数值 d

(ii)求 n 的所有可能值

(2)求证:对于给定的正整数 n ( n≥ 4 ),存在一个各项及公差均不为零的等差数列 b1,b2, bn , ?, 其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列

18、(本小题满分 12 分) 对 于 函 数 f (x) , 若 存 在 x0 ? R , 使 f ( xo ) ? xo 成 立 , 则 函 数 x o 为 f (x) 的 不 动 点 . 已 知
f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? (b ? 1)(a ? 0)

(1)当 a ? 1, b ? ?2 时,求函数 f (x) 的不动点 (2)若对任意的实数 b ,函数 f (x) 恒有两个相异不动点,求 a 的范围 (3)在(2)的条件下,若函数 y ? f (x) 的图象上 A、 B 两点的横坐标是函数 f (x) 的不动点,且 A、 B 两 点关于直线 y ? kx ?
1 2a ? 1
2

对称,求 b 的最小值

21、(本小题满分 13 分) 从⊙O 外一点 P 向圆引两条切线 PA、PB 和割线 PCD。从 A 点作弦 AE 平行于 CD,连结 BE 交 CD 于 F.求证:BE 平分 CD

19、 (本小题满分 13 分) 直线 y=kx+b 与曲线 x ? 4 y ? 4 ? 0 交于 A、B 两点,记△AOB 的面积为 S(O 是坐标原点) .
2 2

(1)求曲线的离心率

(2)求在 k=0,0<b<1 的条件下,S 的最大值

(3)当|AB|=2,S=1 时,求直线 AB 的方程

湖南省“五市十校”2012 级高二数学联赛试卷答案
一、选择题 1、答案:C 5、D 7、答案:B 8、答案:D 二、填空题 9、 K ? 7 也可以是 K< 8 10、答案:如图, 定理,得
40 6? 2

即 2h? ? x ? 2h? ?

故使 f ( x) ? g(x) 成立的 x 的取值范围集合为 ?x | 2k? ? x ? 2h? , k ? Z |? 2、答案:B 6、答案:C 3、答案:C 4、B 17、解: 如图,以 D 为坐标原点,线段 DA 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的 正半轴建立空间直角坐标系 D—xyz. (I)依题意有 Q(1,1,0) ,C(0,0,1) ,P(0,2,0). 则 DQ ? (1,1, 0), DC ? (0, 0,1), PQ ? (1, ?1, 0). 所以 PQ ? DQ ? 0, PQ ? DC ? 0. ∠NMP=15°+30°=45°,N=60°+45°=105°,故知 P=30°,由正弦 即 PQ⊥DQ,PQ⊥DC. 故 PQ⊥平面 DCQ. 又 PQ ? 平面 PQC,所以平面 PQC⊥平面 DCQ. …………6 分 (II)依题意有 B(1,0,1) C ?0( , B ,) ,1

2? ,k ? Z 3

????

????

??? ?

??? ???? ?

??? ???? ?

20 MIV 10 ( 所以 MN ? == 10 6 - 2) ,故知速度为 20 6 - 2 。 ? Sin105? Sin30? Sin105?

?

?

( 3 3 ? 3) ) 2 12、 ?1,3? ) (

?? ?

?? ?

11、(

(2.) ? ? B1 ,1 P

?

13、 (1980) 14、7 15、 (10) 三、解答题

??? ? ?n ? CB ? 0, ? x ? 0, ? 设 n ? ( x, y, z ) 是平面 PBC 的法向量,则 ? ??? 即? ? ?n ? BP ? 0, ?? x ? 2 y ? z ? 0. ?
因此可取 n ? (0, ?1, ?2).

? ? 3 1 3 16、答案: f ( x) ? sin(x ? ) ? cos(x ? ) ? sin x ? cos x ? sin x ? 3 sin x
6 3 2 2 2

??? ? ?m ? BP ? 0, ? 设 m 是平面 PBQ 的法向量,则 ? ??? ? ?m ? PQ ? 0. ?
可取 m ? (1,1,1).所以 cos ? m, n ?? ?

g ( x) ? 2 sin 2

x ? 1 ? cos x 2
3 3 3 得 sin ? ? 5 5

15 . 5
………………12 分

(1)由 f (d ) ?

又 ? 是第一象限角,所以 cos?>0 从而 g (? ) ? 1 ? cos? ? 1 ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ?
4 1 ? 5 5

故二面角 Q—BP—C 的余弦值为 ?

15 . 5

(2) f ( x) ? g ( x) 等价于 3 sin x ? 1 ? cos x,
? 1 即 3 sin x ? cos x ? 1 ,于是 sin( x ? ) ?
6

18、解: (1)-1,3 (2)0< a <1 (3)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )(x1 ? x2 ) ,则 k AB ? 1, k ? ?1 所以直线分程为 y ? ? x ? 有
1 1 ,又 A、 B 的中点在 y ? ? x ? 2 k 2a 2 ? 1 2a ? 1

2

5? 从而 2h? ? ? x ? ? 2h? ? , k ? Z 6 6 6

?

?

x1 ? x2 x ? x2 1 ?? 1 ? 2 2 2 2a ? 1

x1 ? x 2 ?

1 2a 2 ? 1

又由

?

b 1 ? 2 a 2a ? 1
1 a

即b ? ?

a 2a ? 1
2

??

a 1 2a ? a

??

2 4

y?

2 6 2 6 2 6 2 6 或y? 或y?? 或y?? . x? x? x? x? 2 2 2 2 2 2 2 2

即相关得 2a ?

即a ?

2 2 ? (0,1) 时, b 取最小值 ? 4 2

20、 解: (1)①当 n=4 时, a1 , a2 , a3 , a4 中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成 等比数列,则推出 d=0。

19、解 (1)曲线的方程可化为:

x ? y2 ? 1, 4
2

2

∴此曲线为椭圆, a ? 4, a ? 2, c ? 4 ? 1 ? 3, c ?
2

3,

2 若删去 a2 ,则 a3 ? a1 ? a4 ,即 (a1 ? 2d ) ? a1 ? (a1 ? 3d ) 化简得 a1 ? 4d ? 0 ,得
2

a1 ? ?4 d

c 3 ∴此椭圆的离心率 e ? ? . a 2
(2)设点 A 的坐标为 ( x1 , b) ,点 B 的坐标为 ( x2 , b ) ,

若删去 a3 ,则 a2 ? a1 ? a4 ,即 (a1 ? d ) ? a1 ? (a1 ? 3d ) 化简得 a1 ? d ? 0 ,得
2

2

a1 ?1 d

综上,得

a a1 ? ?4 或 1 ? 1 。 d d

x2 ? y 2 ? 1 ,解得 x1,2 ? ?2 1 ? b2 由 , 4
所以 S ?

②当 n=5 时, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 中同样不可能删去 a1 , a2 , a4 , a5 ,否则出现连续三项。 若删去 a3 ,则 a1 ? a5 ? a2 ? a4 ,即 a1 (a1 ? 4d ) ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 3d ) 化简得 3d ? 0 ,因为 d ? 0 ,
2

1 b | x1 ? x2 |? 2b 1 ? b 2 ? b 2 ? 1 ? b 2 ? 1 2
2 时, S 取到最大值 1. 2

所以 a3 不能删去; 当 n≥6 时,不存在这样的等差数列。事实上,在数列 a1 , a2 , a3 ,?, an ?2 , an ?1 , an 中,由于不能删去 首项或末项, 若删去 a2 , 则必有 a1 ? an ? a3 ? an ? 2 , 这与 d ? 0 矛盾; 同样若删去 a n ?1 也有 a1 ? an ? a3 ? an ? 2 , 这与 d ? 0 矛盾;若删去 a3 ,? , an ? 2 中任意一个,则必有 a1 ? an ? a2 ? an ?1 ,这与 d ? 0 矛盾。(或者说:当 n≥6 时,无论删去哪一项,剩余的项中必有连续的三项) 综上所述, n ? 4 。 ① (2)假设对于某个正整数 n,存在一个公差为 d 的 n 项等差数列 b1 , b2 ,......bn , 其中 bx ?1 , by ?1 , bz ?1 ( 0 ? x ? y ? z ? n ? 1 )为任意三项成等比数列,则 b
2 y ?1

当且仅当 b ?

? y ? kx ? b ? 2 2 2 (3)由 ? x 2 得 (4k ? 1) x ? 8kbx ? 4b ? 4 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4

? ? 16(4k 2 ? b 2 ? 1)
|AB|= 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ? k
2 2

? bx ?1 ? bz ?1 ,
(*)

16(4k 2 ? b 2 ? 1) ?2 4k 2 ? 1
2S ? 1 ,所以 b2 ? k 2 ? 1 | AB |



即 (b1 ? yd ) ? (b1 ? xd ) ? (b1 ? zd ) ,化简得 ( y ? xz )d ? ( x ? z ? 2 y )b1d
2 2 2
2 由 b1d ? 0 知, y ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时为 0 或同时不为 0

又因为 O 到 AB 的距离 d ?

|b| 1? k
2

?



当 y ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时为 0 时,有 x ? y ? z 与题设矛盾。
2

4 2 ③代入②并整理,得 4k ? 4k ? 1 ? 0

解得, k 2 ?

1 2 3 , b ? ,代入①式检验,△>0 , 2 2

故 y ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时不为 0,所以由(*)得
2

b1 y 2 ? xz ? d x ? z ? 2y

故直线 AB 的方程是

因为 0 ? x ? y ? z ? n ? 1 ,且 x、y、z 为整数,所以上式右边为有理数,从而 于是,对于任意的正整数 n(n ? 4) ,只要

b1 为有理数。 d

b1 为无理数,相应的数列就是满足题意要求的数列。 d

例如n项数列1, 1 ? 2 , 1 ? 2 2 ,……, 1 ? (n ? 1) 2 满足要求。

21、分析 1:构造两个全等△。连结 ED、AC、AF。CF=DF←△ACF≌△ EDF←

← ←∠PAB=∠AEB=∠PFB 分析 2:利用圆中的等量关系。连结 OF、OP、OB。

←∠PFB=∠POB←

← 注:连结 OP、OA、OF,证明 A、O、F、P 四点共圆亦可。


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