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3-4第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用


名师一号

高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学

第四节

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数 模型的简单应用
时间:45 分钟 分值:75 分

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) π? ? π 1.把函数 y=sin?2x+4?的图象向右平

移8个单位,再把所得图象
? ?

上各点的横坐标缩短到原来的一半, 则所得图象对应的函数解析式是 ( ) 3π? ? A.y=sin?4x+ 8 ?
? ?

π? ? B.y=sin?4x+8?
? ?

C.y=sin4x
? ?

D.y=sinx

π? ? π 解析 把函数 y=sin?2x+4?的图象向右平移8个单位,得到函数 π? π? ? ? y=sin?2?x-8?+4?=sin2x, 再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来
? ? ? ?

的一半,则所得图象对应的函数解析式是 y=sin2(2x)=sin4x. 答案 C

2.如右图是函数 y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象,此函数 的解析式可为(
?

)
?

π? ? A.y=2sin?2x+3?

1

名师一号 2π? ? B.y=2sin?2x+ 3 ?
? ? ? x π? C.y=2sin?2-3? ? ?

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π? ? D.y=2sin?2x-3?
? ? ? ?

T 5π ? π ? π 解析 由题图可知 A=2,2=12-?-12?=2, ∴T=π,ω=2,∴f(x)=2sin(2x+φ).
? π? ? π ? 又 f?-12?=2,即 2sin?-6+φ?=2, ? ? ? ?

2π ∴φ= 3 +2kπ(k∈Z),结合选项知选 B. 答案 B

3.(2014· 泉州模拟)要得到函数 y=cos2x 的图象,只需把函数 y =sinx 的图象( )

π A.沿 x 轴向左平移2个单位,再把横坐标伸长为原来的 2 倍, 纵坐标不变 π B.沿 x 轴向右平移2个单位,再把横坐标伸长为原来的 2 倍,纵 坐标不变 1 π C.横坐标缩短为原来的2,纵坐标不变,再沿 x 轴向右平移4个 单位 1 π D.横坐标缩短为原来的2,纵坐标不变,再沿 x 轴向左平移4个 单位 π 解析 ∵y=cos2x=sin(2x+2)
2

名师一号 π =sin[2(x+4)],

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1 ∴函数 y=sinx 的图象横坐标缩短为原来的2,纵坐标不变, 再沿 π x 轴向左平移4个单位即可得到 y=cos2x 的图象. 答案 D

4.(2013· 银川模拟)

π 函数 f(x)=sin(ωx+φ)(其中|φ|<2,x∈R)的部分图象如图所示,则 错误的是( )

11π A.一条对称轴方程为 x=- 12 5π B.一个对称中心坐标为( 6 ,0) 2π π C.在区间[- 3 ,12]上单调递增 13π π π D.f(- 12 )=f(4)(f(x)=sin(2x+3)) T 7 π 解析 ∵4=12π-3,∴T=π,∴ω=2. ∴函数 f(x)=sin(2x+φ). π π 当 x=3时 f(x)=0,所以 2×3+φ=π+2kπ; π φ=3+2kπ.
3

名师一号 π π 又∵|φ|<2,∴φ=3, π ∴f(x)=sin(2x+3).

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π π π kπ ∴函数的对称轴是 2x+3=2+kπ,x=12+ 2 . π π 1 当 k=-2 时,A 正确,令 2x+3=kπ,x=-6+2kπ, π 1 ∴函数的对称中心为(-6+2kπ,0).B 正确. 答案 C

5.(2013· 湖北卷)将函数 y= 3cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值 是( ) π A.12 π C.3 解析
?

π B.6 5π D. 6 π? ? y= 3cosx+sinx=2sin?x+3?,图象向左平移 m(m>0)个单
? ? ?

π ? ? 位得 y=2sin?x+3+m?.又平移后的函数图象关于 y 轴对称,则函数 y π ? ? π π =2sin?x+3+m?为偶函数.由三角函数的奇偶性,得3+m=kπ+2(k
? ?

π π ∈Z),解得 m=kπ+6(k∈Z).又 m>0,故当 k=0 时,k 取得最小值6. 答案 B

π π 6.已知函数 f(x)=Asin6x+φA>0,0<φ<2的部分图象如下图所示, P,Q 分别为该图象的最高点和最低点,点 P 的坐标为(2,A),点 R

4

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2π 的坐标为(2,0).若∠PRQ= 3 ,则 y=f(x)的最大值及 φ 的值分别是 ( )

π A.2 3,6 π C. 3,6

π B. 3,3 π D.2 3,3

解析 由题意,x=2,y=f(x)的最大值为 A,
?π ? π π ∴sin?3+φ?=1,又 0<φ<2,∴φ=6. ? ?

2π π 若∠PRQ= 3 ,则∠xRQ=6, 2π 而周期为 π =12,故 Q(8,-A), 6 A π ∴ 6 =tan6,则 A=2 3,y=f(x)的最大值及 φ 的值分别是 2 3, π 6. 答案 A

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分)

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7.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ 为常数,A>0,ω>0)的部分 图象如右图所示,则 f(0)的值是________. 解析 由题图知 A= 2, T 7π π π 4=12-3=4,T=π, ∴ω=2. ∴f(x)= 2sin(2x+φ).
?7 ? 7 3π 将?12π,- 2?代入得12π×2+φ= 2 , ? ?

π? ? π ∴φ=3.∴f(x)= 2sin?2x+3?.
? ?

π 6 ∴f(0)= 2sin3= 2 . 答案 6 2

8. 某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三
?π ? 角函数 y=a+Acos?6?x-6??(x=1,2,3,…,12)来表示,已知 6 月份的 ? ?

月平均气温最高,为 28 ℃,12 月份的月平均气温最低,为 18 ℃, 则 10 月份的平均气温值为________℃. 解析 依题意知,a= 28+18 28-18 = 23 , A = 2 2 =5,
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?π ? ∴y=23+5cos?6?x-6??. ? ?

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?π ? 当 x=10 时,y=23+5cos?6×4?=20.5. ? ?

答案 20.5 9.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)函数 y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象 π π 向右平移 2 个单位后,与函数 y = sin(2x + 3 ) 的图象重合,则 φ = ________. π 解析 函数 y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移2个单位后 π? π? ? ? ? ? 得到 y=cos?2?x-2?+φ?=cos(-2x-φ+π)=sin?2x+φ-2?,又与函
? ? ? ? ? ?

π? ? π π 5π 数 y=sin?2x+3?的图象重合, 故 φ-2=3+2kπ, k∈Z, ∴φ= 6 +2kπ,
? ?

k∈Z, 5π ∵-π≤φ<π,∴φ= 6 . 答案 5π 6

三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分) π? ? 10.(2013· 安徽卷)设函数 f(x)=sinx+sin?x+3?.
? ?

(Ⅰ)求 f(x)的最小值,并求使 f(x)取得最小值的 x 的集合; (Ⅱ)不画图,说明函数 y=f(x)的图象可由 y=sinx 的图象经过怎 样的变化得到. 解 1 3 (Ⅰ)因为 f(x)=sinx+2sinx+ 2 cosx

π? ? 3 3 =2sinx+ 2 cosx= 3sin?x+6?, ? ?
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π π 2π 所以当 x+6=2kπ-2, 即 x=2kπ- 3 (k∈Z)时, f(x)取最小值- 3. 2π 此时 x 的取值集合为{x|x=2kπ- 3 ,k∈Z}. (Ⅱ)先将 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3倍(横 坐标不变),得 y= 3sinx 的图象;再将 y= 3sinx 的图象上所有的点 π 向左平移6个单位,得 y=f(x)的图象. 3 11. (2013· 山东卷)设函数 f(x)= 2 - 3sin2ωx-sinωxcosωx(ω>0), π 且 y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4. (Ⅰ)求 ω 的值; 3π? ? (Ⅱ)求 f(x)在区间?π, 2 ?上的最大值和最小值.
? ?



3 (Ⅰ)f(x)= 2 - 3sin2ωx-sinωxcosωx

1-cos2ωx 1 3 = 2 - 3· 2 -2sin2ωx π? ? 3 1 = 2 cos2ωx-2sin2ωx=-sin?2ωx-3?. ? ? π 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4. 2π π 又 ω>0,所以2ω=4×4.因此 ω=1. π? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)=-sin?2x-3?.
? ?

3π 5π π 8π 当 π≤x≤ 2 时, 3 ≤2x-3≤ 3 .

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名师一号 π? ? 3 所以- 2 ≤sin?2x-3?≤1. ? ? 3 因此-1≤f(x)≤ 2 .

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3π? ? 3 故 f(x)在区间?π, 2 ?上的最大值和最小值分别为 2 ,-1. ? ? 3 3 12.(2014· 厦门一模)已知函数 f(x)= 2 sinωx+2cosωx(ω>0)的周 期为 4.

(1)求 f(x)的解析式; 2 (2)将 f(x)的图象沿 x 轴向右平移3个单位得到函数 g(x)的图象, P, Q 分别为函数 g(x)图象的最高点和最低点(如图),求∠OQP 的大小. 解 3 3 (1)f(x)= 2 sinωx+2cosωx

?1 ? 3 = 3? sinωx+ cosωx? 2 ?2 ?

π π? ? = 3?sinωxcos3+cosωxsin3?
? ?

π? ? = 3sin?ωx+3?.
? ?

2π π ∵T=4,ω>0,∴ω= 4 =2. π? ?π ∴f(x)= 3sin?2x+3?. ? ?
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2 (2) 将 f(x) 的图象沿 x 轴向右平移 3 个单位得到函数 g(x) = 3
?π ? sin?2x?. ? ?

∵P,Q 分别为该图象的最高点和最低点, ∴P(1, 3),Q(3,- 3). ∴OP=2,PQ=4,OQ= 12. OQ2+PQ2-OP2 3 ∴cos∠OQP= = 2OQ· QP 2. π ∴∠OQP=6.

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