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2013惠州三模理数试题及答案(2013惠州三调)


惠州市 2013 届高三第三次调研考试

数学试题(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净

后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.复数

1 ? 3i 的共轭复数是( .... i3

) C. 3 ? i ) D. 13 D. 3 ? i

A. ?3 ? i

B. ?3 ? i

? 6 2.已知向量 p ? ? 2 , 3? , q ? ? x , ? ,且 p // q ,则 p ? q 的值为(
A. 5 B. 13 C. 5

1? 3.已知集合 A ? ??1 , , B ? x ax ? 1 ? 0 ,若 B ? A ,则实数 a 的所有可能取值的集
合为( A. ??1? ) B. ?1?

?

?

1? C. ??1,

0 1? D. ??1, ,
4.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 ( ,

1 2

2 ) ,则 log 4 f (2) 的值为( 2
C.2



A.

1 4

B. -
2

1 4
2

D.-2 )

5.“ m ? n ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的(

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不 必要条件 6.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 11 场比赛,他们每场比赛得分的情况用如图所 示的茎叶图表示,则甲、乙两名运动员的中位数分别为( A.19、13 B.13、19 C.20、18 D.18、20 )

?x ? y ? 5 ? 0 ? ,则z ? 2 x ? 4 y 的最小值为( 7.已知 x , 满足约束条件 ? x ? y ? 0 y ?y ? 0 ?
A. ?14 B. ?15
1 / 12



C. ?16

D. ?17

8.数列{ a n } 中, an ?1 ? (?1) an ? 2n ? 1 ,则数列{ a n }前 12 项和等于(
n

) D.82 开始 输入 n

A.76

B.78

C. 80

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题(第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答) 9.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 2 ,若 ?an ? 前 n 项和 Sn ? 127 , 则 n 的值为 .

10.阅读右图程序框图. 若输入 n ? 5 ,则输出 k 的值为________.

k ?0
=3 k=k+1 . 否

x2 y2 2 11.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛线线 y ? 4 10 x 的焦点 a b
重合,且双曲线的离心率等于

n ? 3n ? 1

10 ,则该双曲线的方程为 3

12.已知 m, n 是两条不同直线, ? , , 是三个不同平面,下列命题 ? ? 中正确的有 . n 则 ? 则 ① 若m‖? ,‖? , m‖ n ;② 若? ? ? , ? ? , ?‖ ? ;

n ? 150?
是 输出 k ,n

m 则 n 则 ③ 若m‖ ? , ‖ ? , ?‖ ? ;④ 若m ? ? , ? ? , m‖ n .
? 2 1 x ? x ? a ? 2 , ≤1, ? 13.已知函数 f ? x ? ? ? .若 f ? x ? 在 ? 0 , ? ? 2 x ?a ? a ,x ? 1 ?
上单调递增,则实数 a 的取值范围为 . (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. 几何证明选讲选做题) ( 如图, 切 ? O 于点 A , 割线 PBC 经过圆心 O , ? PB ? 1 , OB PA 结束

OA 绕点 O 逆时针旋转 60? 到 OD ,则 PD 的长为



15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,已知两点 A 、 B 的极坐标分别为 (3 , ) ,

?

(4 , ) ,则△ AOB (其中 O 为极点)的面积为 6

?

3



三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? sin x cos ? ? cos x sin ?(其中 x ?R , ? ? ? ? ) , 0

?? ? ? 且函数 y ? f ? 2 x ? ? 的图像关于直线 x ? 对称. 4? 6 ?
(1)求 ? 的值; (2)若 f (? ?

2? 2 )? ,求 sin 2? 的值。 3 4

17.(本小题满分12分)某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生,将他们的期中考试数
2 / 12

50 60 学成绩(满分100分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段: ? 40 , ? , ? 50 , ? ,?, 100 ?90 , ? 后得到如下图的频率分布直方图.
(1)求图中实数 a 的值; (2) 若该校高一年级共有学生 640 人, 试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60 分 的人数;

50 100 (3)若从数学成绩在 ? 40 , ? 与 ?90 , ? 两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求
这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率。 a
0.025 0.020

频率 组距

0.010 0.005 0 40 50 60 70 80 90 100(分数)

18.(本小题满分14分)如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AD ? AA1 ? 1 , AB ? 2 , 点 E 在棱 AB 上移动. (1)证明: D1 E ? A1 D ; (2)当 E 点为 AB 的中点时,求点 E 到平面 ACD1 的距离; (3) AE 等于何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为

? ? 4
D1 C1

A1

B1

D A E B

C

19.(本小题满分 14 分)已知点(1,

1 x )是函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且 a ? 1)的图象上一 3

点,等比数列 {a n } 的前 n 项和为 f (n) ? c , 数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 S n 满足:

3 / 12

S n - Sn?1 = S n + S n ?1 ( n ? 2 ).
(1)求数列 {a n } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列 {cn } 的通项 cn ? bn ? ( ) n ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Rn ; (3)若数列{

1 3

1 1000 的最小正整数 n 是多少? } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn ? bnbn?1 2009

20. 本小题满分14分) ( 设椭圆 M :

x2 y 2 直线 l : x ? ? ? 1 a ? 2 的右焦点为 F1 , a2 2

?

?

a2 a2 ? 2

与 x 轴交于点 A ,若 OF1 ? 2 F1 A (其中 O 为坐标原点). (1)求椭圆 M 的方程; (2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点, EF 为圆 N : x ? ? y ? 2? ? 1 的任意一条直径( E 、
2 2

????

????

F 为直径的两个端点),求 PE ? PF 的最大值.

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln ? 2ax ? 1? ? (1)若 x ? 2 为 f (x) 的极值点,求实数 a 的值;

x3 ? x 2 ? 2ax ? a ? R ? . 3

? (2)若 y ? f (x) 在 ?3 , ? ? 上为增函数,求实数 a 的取值范围;

?1 ? x ? + b 1 (3)当 a ? ? 时,方程 f ?1 ? x ? ? 有实根,求实数 b 的最大值。 3 x 2
3

惠州市 2013 届高三第三次调研考试 数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分. 1 2 3 4 5 6 7 8 题号 D B C A C A B B 答案

1 ? 3i ? ?1 ? 3i ? i = 3 + i .故选 D. i3 ? 6) 3) 2.【解析】 2 ? 6 ? 3 x ? 0 ? x ? ?4 ? p ? q ? (2 , 3) ? (?4 , ? (?2 , ? 13 .故
1.【解析】 选 B. 3.【解析】 a ? 0或1或 ?1 .故选D.
4 / 12

4.【解析】由设 f ( x) ? x ,图象过点 ( ,

?

1 2

2 1 2 1 1 1 ) 得 ( )? ? ? ( )2 ? ? ? , 2 2 2 2 2

1 .故选 A. 4 x2 y 2 1 1 2 2 5. 【解析】 mx ? ny ? 1 ? ? ? 1 ,m ? n ? 0 ? 0 ? ? ,即 p ? q .故选 C. 1 1 m n m n log 4 f (2) ? log 4 2 2 ?
6.【解析】甲中位数为 19,甲中位数为 13.故选 A. ? 7.【解析】最优解为 (?2.5 , 2.5) ? zmin ? ?15 .故选 B. 8.【解析】 an ? 2 ? an ? (?1) (2n ? 1) ? (2n ? 1) ,
n

1

取 n ? 1, 9 及 n ? 2 , , , 5, 6 10 结果相加可得 S12 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a11 ? a12 ? 78 .故选 B. 二、填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题, 每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题.

x2 2 ? y2 ? 1 12.④ 13.?1 , ? 14. 7 15.3 9 1 ? 2n ? 2n ? 1 ? n ? 7 .答案: 7 . 9.【解析】 Sn ? 127 ? 1? 2 10.【解析】 n ? 5 , ? 1 ? n ? 16 , ? 1 ? n ? 49, ? 2 ? n ? 148 , ? 3 .答案:3. k k k k
9.7 10.3 11.
2 2 0 11.【解析】抛线线 y ? 4 10 x 的焦点 ( 10 , ) ? a ? b ? 10 .

2

x2 10 10 ? ? a ? 3 ? b ? 1 .答案: ? y 2 ? 1 . a 3 9 12. 【解析】 m , 均为直线,其中 m , 平行 ? ,m , 可以相交也可以异面,故①不正确; n n n m ? ? ,n⊥α 则同垂直于一个平面的两条直线平行;④正确 .答案④. 1 x 2 13.【解析】 1 ? a ? 2 ? 0 ? a ? 2 , a ? a 是增函数,所以 a ? 1 2 ? 1 ? a ? 2 .答案: 1 ? a ? 2 .
e?
(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.【解析】∵PA 切 ? O 于点 A,B 为 PO 中点,∴AB=OB=OA, ∴ ?AOB ? 60 ,∴ ?POD ? 120 ,在△POD 中由余弦定理,
? ?

得: PD ? PO ? DO ? 2PO ? DO cos ?POD
2 2 2

= 4 ? 1 ? 4 ? (? ) ? 7 . 解析 2:过点 D 作 DE⊥PC 垂足为 E,∵ ?POD ? 120 ,
?

1 2
?

∴ ?DOB ? 60 ,

3 1 , DE ? ,在 Rt ?PED 中, 2 2 25 3 2 2 ? ? 7 .答案: 7 . ∴ PD ? PE ? DE ? 4 4
可得 OE ? 15.【解析】 A 、 B 的极坐标分别为 (3 , ) , (4 , ) ,则 S? ABC ?

?

?

1 ? ? 3 ? 4 ? sin ? 3 (其中 O 为极点).答案 3. 2 6
5 / 12

3

6

1 OA? OBsin?AOB ? 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分) (1)解:∵ f ( x) ? sin ? x ? ? ? ,??????????????2分 ∴函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? .??????????????3分 ∵函数 y ? f ? 2 x ?

? ?

??

? ? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ,??????????????5分 4? 4 ? ?

又 y ? sin x 的图像的对称轴为 x ? k? ? 令 2x ? 将x?

?

?
4

? ? ? k? ?

?
2

2

( k ?Z ),????????????6分



?

11? .??????????????7分 12 2? 2 2? 11? ? 2 (2)解: f (? ? )? ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? ) ? (sin ? ? cos ? ) ,?9 3 4 3 12 4 2
∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? ? 分

6

代入,得 ? ? k? ?

?
12

( k ?Z ).

sin ? ? cos ? ?

1 1 3 ? 1 ? sin 2? ? ? sin 2? ? ? ???12分 2 4 4

17.(本小题满分12分) (1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于 1, 所以 10 ? (0.005 ? 0.01 ? 0.02 ?a ? 0.025 ? 0.01) ? 1 .??????????1 分 解得 a ? 0.03 .???????????????????????????2 分 ( 2 ) 解 : 根 据 频 率 分 布 直 方 图 , 成 绩 不 低 于 60 分 的 频 率 为 1 ? 10 ? (0.005 ? 0.01) ? 0.85 .??3 分 由于该校高一年级共有学生 640 人, 利用样本估计总体的思想, 可估计该校高一年级数学成 绩不低于 60 分的人数约为 640 ? 0.85 ? 544 人.???????????????5 分

50 (3)解:成绩在 ? 40 , ? 分数段内的人数为 40 ? 0.05 ? 2 人,??????
成绩在 ?90,100? 分数段内的人数为 40 ? 0.1 ? 4 人, 分 若从这 6 名学生中随机抽取 2 人,则总的取法有 C6 ? 15
2

6分

??????????????7 ??????? 9



50 100 如果两名学生的数学成绩都在 ? 40 , ? 分数段内或都在 ?90 , ? 分数段内, 那么这两名学
50 生的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在 ? 40 , ? 分数段内, 另一个成绩

100 在 ?90 , ? 分 数 段 内 , 那 么 这 两 名 学 生 的 数 学 成 绩 之 差 的 绝 对 值 一 定 大 于
10.??????? 分 所以所求概率为 P ? M ? ? 10 分
2 2

则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 分的取法数为 C2 ? C4 ? 7

??11

7 .?????????????????????????? 15

13 分 18.(本小题满分14分) (1)证明:如图,连接 D1 B ,依题意有:在长方形 A1 ADD1 中, AD ? AA1 ? 1 ,

6 / 12

四边形A1 ADD1 ?

A1D ? AD1 ? ? ? A1D ? 平面AD1B ? 又AB ? 平面A1 ADD1 ? AB ? A1D ? ? ? A1D ? D1E .??? 4 分 D1 E ? 平面AD1B ? AD ? AB ? A? ?
AB 2 ? BC 2 ? 5 , AE ? AB / 2 ? 1 ,
A
1 1

(2)解: AC ?

D
1

EC ? BE 2 ? BC 2 ? 2 ,

C
1

1? 2 ? 5 2 cos ?AEC ? ?? , 2 2 ? 1? 2

B

2 . ? sin ?AEC ? 2 450 D 1 2 1 ∴ S?AEC ? ?1? 2 ? ? ,????? 6 分 F A 2 2 2 B E 1 1 1 VD1 ? AEC ? ?1? ? . AD1 ? AA12 ? DA2 ? 2 , D1C ? D1C12 ? CC12 ? 5 , 3 2 6 1 5? 1 3 10 3 2 ? 3 10 .∴ S ? 2? 5? ? . ? sin ?D1 AC ? ?A1DC ? 2 10 2 10 5 1 3 1 1 设点 E 到平面 ACD1 的距离为 d ,∴ VD1 ? AEC ? VE ? AD1C ? d ? ? ? d ? . 3 3 2 6 1 ∴点 E 到平面 ACD1 的距离为 . ??????????????????? 8 分 3 (3)解:过 D 作 DF ? EC 交 EC 于 F ,连接 D1 F .由三垂线定理可知, ?DFD1 为二面
角 D1 ? EC ? D 的平面角. , D1 D ? 1 ? DF ? 1 . ????????? 10 分 4 2 DF 1 ? ? sin ?DCF ? ? ? ?DCF ? ,∴ ?BCF ? .???????? 12 分 DC 2 6 3 ? BE ∴ tan ? ? BE ? 3 , AE ? AB ? BE ? 2 ? 3 . 3 BC ? 故 AE ? 2 ? 3 时,二面角 D1 ? EC ? D 的平面角为 .??????????? 14 分 4 ∴ ?DFD1 ? , ?D1 DF ? 19.(本小题满分14分)

C

?

?

1 ?1? 解:(1) Q f ?1? ? a ? ,? f ? x ? ? ? ? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3 ?3? 1 2 a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? f ?1? ? c ? ? ? , ? ? ? ? 9 3 2 . a3 ? ? f ? 3? ? c ? ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? ? ? ? ? 27 4 2 a2 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; a3 ? 2 3 3 27

x

7 / 12

又公比 q ?

2?1? a2 1 ? ,所以 an ? ? ? ? 3?3? a1 3

n ?1

Q S n ? S n ?1 ?

?

S n ? S n ?1

??

?1? ? ?2 ? ? ?3?

n

n ? N*

;????????2 分

S n ? S n ?1 ? S n ? S n ?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , S n ? 0 , ? S n ? S n ?1 ? 1 ; 数列
n

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
2 2

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2

当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;又其满足 b1 ? c ? 1 ,

? bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );

n n

???????????? 5

?1? ?1? (2)? cn ? bn ? ? ? (2n ? 1) ? ? ,所以 Rn ? c1 ? c2 ? c3 ? L ? cn ?3? ? 3? ?1? ?1? ?1? ?1? Rn ? 1? ? ? ? 3 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? L ? (2n ? 1) ? ? ? ?3? ? 3? ? 3? ? 3?
2 3 4 1 2 3 3


n n ?1

1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? Rn ? 1? ? ? ? 3 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? L ? (2n ? 3) ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 3 ?3? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
①式减②式得:



n n ?1 ?? 1 ? 2 ? 1 ?3 ? 1 ? 4 2 1 ?1? ? ?1? Rn ? ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? ?? 7 分 3 3 ?3? ? ?3? ?? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? ?

化简:

2 1 Rn ? ? 2 ? 3 3

?1? ? ? ?3?

2

? ? 1 ? n ?1 ? ?1 ? ? ? ? n ?1 n ? ? 3? ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? 1 ? ? 2 ? 2( n ? 1) ? ? 1 ? ?? ? ? ? ? 1 3 3 ?3? ?3? 1? 3

9



n ?1 ???????????????? 10 分 3n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? (3) Tn ? (2n ? 1) ? ? 2n ? 1? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn ?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7
所以所求 Rn ? 1 ?

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? 2? 3? 2? 3 5? 2? 5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
1? 1 ? n ? ?1 ? ;w.w.w.k.s.5. ?? 13 分 ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1
u.c.o.m 由 Tn ?

?? 12 分

n 1000 1000 1000 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. ???? 14 ? 2n ? 1 2009 9 2009

分 20.(本小题满分14分) 解:(1)由题设知, A(

a2 a ?2
2

, , F1 0)

?

a 2 ? 2 , ,????????????1 分 0

?

8 / 12

由 OF1 ? 2 AF1 ? 0 ,得 a ? 2 ? 2?
2

????

????

? a2 ? ? a 2 ? 2 ? ,??????????3 分 ? ? 2 ? a ?2 ?

解得 a ? 6 . 所 以
2
2 2





M









x y ? ? 1 .??????????????????????4 分 6 2 2 2 (2)方法 1:设圆 N : x ? ? y ? 2? ? 1 的圆心为 N , M:
则 PE ? PF ? NE ? NP ? NF ? NP ??????????????????6 分

???? ??? ? ???? ??? ? ? ? NF ? NP ? NF ? NP ????????????????7 分 ??? 2 ???? 2 ??? 2 ? ? ? NP ? NF ? NP ? 1 .????????????????????????8 分

?

?

??

??

?

?

从而求 PE ? PF 的最大值转化为求 NP 的最大值.??????????????9 分
2 2

2

y 因为 P 是椭圆 M 上的任意一点,设 P ? x0 , 0 ? ,???????????????10 分

x y 2 2 所以 0 ? 0 ? 1,即 x 0 ? 6 ? 3 y 0 .??????????????????11 分 6 2
因为点 N ?0,2? ,所以 NP ? x 0 ? ? y 0 ? 2 ? ? ?2? y 0 ? 1? ? 12 .???????12 分
2 2 2 2

因为 y0 ? ? ? 2 , 2 ? ,所以当 y 0 ? ?1 时, NP 取得最大值 12.???????13 分

2

?

?

所以 PE ? PF 的最大值为 11.??????????????????????14 分

y F y y 方法 2:设点 E ( x1 ,1 ) , ( x2 , 2 ), P( x0 ,0 ) ,
因为 E , F 的中点坐标为 (0, 2) ,所以 ?

所以 PE ? PF ? ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 ) ?????????????7 分

??? ??? ? ?

? x2 ? ? x1 , ???????????????6 分 ? y2 ? 4 ? y1.

? ( x1 ? x0 )(? x1 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )(4 ? y1 ? y0 )
2 2 ? x0 ? x12 ? y0 ? y12 ? 4 y1 ? 4 y0 2 2 ? x0 ? y0 ? 4 y0 ? ( x12 ? y12 ? 4 y1 ) .???????????????9 分

因为点 E 在圆 N 上,所以 x1 ? ( y1 ? 2) ? 1 ,即 x1 ? y1 ? 4 y1 ? ?3 .??????10 分
2 2 2 2

2 2 x0 y0 2 2 ? ? 1 ,即 x0 ? 6 ? 3 y0 .??????????11 分 6 2 ??? ??? ? ? 2 2 所以 PE ? PF ? ?2 y0 ? 4 y0 ? 9 ? ?2( y0 ? 1) ? 11 .??????????????12 分 ??? ??? ? ? 因为 y0 ? [? 2 , 2] ,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF ? 11.?????????14 分

因为点 P 在椭圆 M 上,所以

?

?

方法 3:①若直线 EF 的斜率存在,设 EF 的方程为 y ? kx ? 2 ,?????????6 分 由?

min

?y ? kx? 2
2 2

k 2 ?1 ? x ? ( y ? 2) ? 1 y 因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 P ? x0 , 0 ? ,
2 2

,解得 x ? ?

1

.?????????????????7 分

x y 2 2 所以 0 ? 0 ? 1,即 x 0 ? 6 ? 3 y 0 .?????????????????8 分 6 2

9 / 12

所以 PE ? ?

??? ?

?

1

2 ? k ?1

? x0 ,

? ? ??? ? ? 1 k ? 2 ? y0 ? , PF ? ? ? ? x0 , ? ? 2 ? y0 ? k 2 ?1 k 2 ?1 k 2 ?1 ? ? ?
k
?????????????9 分 以



PE ? PF ? x0 ?
2

1 k 2 ? (2 ? y 0 ) 2 ? 2 ? x0 ? (2 ? y 0 ) 2 ? 1 ? ?2( y 0 ? 1) 2 ? 11 . k ?1 k ?1
2

2

??????????????10 分 因为 y0 ? ? ? 2, 2 ? ,所以当 y 0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值 11.?????11 分

?

?

②若直线 EF 的斜率不存在,此时 EF 的方程为 x ? 0 ,由 ?

?x ? 0
2 2 ? x ? ( y ? 2) ? 1

,解得 y ? 1 或

y ? 3.
3 1 不妨设, E ? 0 , ? , F ? 0 ,? .
2 2

????????????????12 分

y 因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 P ? x0 , 0 ? ,

x0 y 2 2 ? 0 ? 1,即 x0 ? 6 ? 3 y 0 . 6 2 ??? ? ??? ? 3 1 所以 PE ? ? ? x0 , ? y0 ? , PF ? ? ? x0 ,? y0 ? . ??? ??? ? ? 2 2 2 所以 PE ? PF ? x0 ? y0 ? 4 y0 ? 3 ? ?2( y0 ? 1) ? 11 .
所以 因为 y0 ? ? ? 2 , 2 ? ,所以当 y 0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值 11.?????13 分

?

?

综上可知, PE ? PF 的最大值为 11.????????????????14 分 21.(本小题满分 14 分)

x ? 2ax 2 ? ?1 ? 4a ? x ? ? 4a 2 ? 2 ? ? 2a ? .??1 分 2 解:(1) f ?( x) ? ? x ? 2 x ? 2a ? ? 2ax ? 1 2ax ? 1 因为 x ? 2 为 f ? x ? 的极值点,所以 f ? ? 2 ? ? 0 .?????????????2 分
即 分 又当 a ? 0 时, f ?( x) ? x( x ? 2) ,从而 x ? 2为f ( x) 的极值点成立. 分 (2)因为 f ? x ? 在区间 ? 3, ?? ? 上为增函数, 所以 f ? ? x ? ? 分 ?????4

2a ? 2a ? 0 ,解得 a ? 0 . 4a ? 1

????????????????3

x ? 2ax 2 ? ?1 ? 4a ? x ? ? 4a 2 ? 2 ? ? ? ? 2ax ? 1

? 0 在区间 ? 3, ?? ? 上恒成立.???5

? ①当 a ? 0 时, f ?( x) ? x( x ? 2) ? 0 在 [3, ??) 上恒成立,所以 f ( x)在[3 , ?) 上为增
函数,故 a ? 0 符合题意.????????????????6 分 ②当 a ? 0 时,由函数 f ? x ? 的定义域可知,必须有 2ax ? 1 ? 0 对 x ? 3 恒成立,故只能

a ? 0, 2 2 ? 所以 2ax ? (1 ? 4a) x ? (4a ? 2) ? 0对x ? [3 , ?) 上恒成立.


????????7

10 / 12

令 g ( x) ? 2ax ? (1 ? 4a) x ? (4a ? 2) ,其对称轴为 x ? 1 ?
2 2

1 , 4a

????8



1 ? ? 1 ,从而 g ( x) ? 0在[3 , ?) 上恒成立,只要 g (3) ? 0 即可, 4a 2 因为 g ? 3 ? ? ?4a ? 6a ? 1 ? 0 ,解得
因为 a ? 0 所以 1 ?

3 ? 13 3 ? 13 ?a? . 4 4 3 ? 13 因为 a ? 0 ,所以 0 ? a ? . 4 ? 3 ? 13 ? ?. 综上所述, a 的取值范围为 ? 0 , 4 ? ?
分 (3)若 a ? ?

??????????????9 分

???????????10

(1 ? x)3 b b 1 + 可化为, ln x ? (1 ? x) 2 ? (1 ? x) ? . 时,方程 f (1 ? x) ? 3 x 2 x 2 2 3 ? 问题转化为 b ? x ln x ? x(1 ? x) ? x(1 ? x) ? x ln x ? x ? x 在 ? 0 , ? ? 上有解,
即求函数 g ( x) ? x ln x ? x ? x 的值域.
2 3

????????????11



以下给出两种求函数 g ? x ? 值域的方法: 方法 1:因为 g ? x ? ? x ln x ? x ? x 则 h?( x) ? 分

?

2

? ,令 h( x) ? ln x ? x ? x

2

( x ? 0) ,

1 (2 x ? 1)(1 ? x) , ? 1 ? 2x ? x x

????????????12

所以当 0 ? x ? 1时, h?( x) ? 0 ,从而 h( x)在(0 , 上为增函数, 1) 当 x ? 1时,?( x) ? 0 ,从而 h( x)在(1,??) 上为减函数, h 分 因此 h( x) ? h(1) ? 0 . 而 x ? 0 ,故 b ? x ? h( x) ? 0 , 因此当 x ? 1 时, b 取得最大值 0. 分 方法 2:因为 g ? x ? ? x ln x ? x ? x
2

??????13

???????????????14
2

?

2

? ,所以 g ?( x) ? ln x ? 1 ? 2x ? 3x



设 p( x) ? ln x ? 1 ? 2 x ? 3x ,则 p?( x) ?

1 6 x2 ? 2 x ?1 . ? 2 ? 6x ? ? x x 1? 7 1? 7 ) 上单调递增; 当0 ? x ? 时, p? ? x ? ? 0 ,所以 p ? x ? 在 (0 , 6 6 1? 7 1? 7 , ?) 上单调递减; ? 当x? 时, p? ? x ? ? 0 ,所以 p ? x ? 在 ( 6 6 ?1? 7 ? 2 3 3 ?1? p ?1? ? 0 ,故必有 p ? 因为 ? 6 ? ? 0 ,又 p ? 2 ? ? ?2 ? 1 ? 2 ? 4 ? ? 4 ? 0 , ? e e e ? ? ?e ?
因此必存在实数 x0 ?(

1 1? 7 , )使得 g '( x0 ) ? 0 , e2 6
11 / 12

? ) 0 x ?当0 ? x ? x时,g ( x ? ,所以 g ( x)在 ? 0 ,0 ? 上单调递减; 0 g 当 x0 ? x ? 1时, ?( x) ? 0 ,所以 g ( x)在 ? x0 ,1? 上单调递增;
当 x ? 1时, '( x) ? 0 , g 所以g ( x)在 ?1, ? ? 上单调递减; ? 又因为 g ( x) ? x ln x ? x 2 ? x 3 ? x(ln x ? x ? x 2 ) ? x(ln x ? ) , 当 x ? 0时, x ? ln

1 4

因此当 x ? 1 时, b 取得最大值 0. ????????????????14 分

1 ? 0 ,则 g ( x) ? 0 ,又 g (1) ? 0 . 4

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