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湖南省师大附中2014届高三上学期第一次月考数学(理)试题


湖南省师大附中 2014 届高三上学期第一次月考 数学(理)试题
(考试范围:高考全部内容) 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 6.页。时量 120 分钟。满分 50 分。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.设集合能 A={1,2,3,5,7},B= ( x ? Z |1

? x ? 6) ,全集 U=A ? B,则 A ? (CU B ) 等于 A.{1,4,6,7) C. (1,7) 2.若函数 f ( x) ? x ?
2

B.{2,3,7) D.{1)

a (a ? R) ,则下列结论正确的是 x

A. ?a ? R, f ( x) 偶函数 B. ?a ? R, f ( x) 是奇函数 C. ?a ? R, f ( x) 在(o,+∞)上是增函数 D. ?a ? R, f ( x) 在(0,+∞)上是减函数 3.已知在等差数列 {an } 中,已知 a7 ? a9 ? 16, S11 ? 99, 则a7 的值是 A.9 B.8.5 C.8 D.7.5

4.如右图,设 OABC 是图中边长分别为 l 和 2’的建形区域:则矩形 OABC 内位于函数 y ? 图象下方的阴影部分区域面积为

1 ( x ? 0) x

A.In 2 C.2 一 In 2

B.1 一 ln 2 D.1+ln 2
2 2 2

5.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 a ? b ? 2c , 则 cos C 的最小值为

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.1

6. 若实数 a, 满足 a ? 0, b ? 0 , ab=0, b 且 则称 a 与 b 互补, ? (a, b) ? 记
·1·

a 2 ? b 2 ? a ? b, 那? (a, b) =0

是 a 是 b 互补的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分案件 D.既不充分也不必要条件

7.已知方程 x 2 ? (1 ? a) x ? 1 ? a ? b ? 0的两根为x1 , x2 , 并且0 ? x1 ? 1 ? x2 , 则 A. (?1, ? ]

b 的取值范围是 a

1 2

B. (?1, ? )

1 2

C. (?2, ?1)

D. (?2, ? )

1 2

8.已知点 F 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 F 且垂直于 a 2 b2

x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,若△ ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 P 的取值范 围是 A. (1,+∞) B. (1,2) C. (1,l+ 2 ) D. (2,1+ 2 )

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 9.化简: Cn ? 3Cn ? 3 Cn ? 3 Cn ? ? ? (?3) Cn ?
0 1 2 2 3 3 n n

。 。

10.一个几何体的三视图如下图所示,则该几何体的表面积为

11.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会,若这 4 人中必须既有男生又有女生,则不同 的选法共有 种. 12.若函数 y ? e ? 3x, x ? R 有大于零的极值点,则实数 a 的取值范围是
ax



13.设 m,n ? (1,+∞) ,若直线(m+1)x+(n+1)y 一 2=0 与圆(x—1)2+(y 一 1)2=1 相切, 则 m+n 的最小值为 . 14.定义在 R 上的函数 f(x)可导,且 f(x)图象连续,当 x≠0 时

f ?( x) ? x ?1 f ( x) ? 0, 则函数g ( x) ? f ( x) ? x ?1 的零点的个数为



① f (m,1) ? 1; ② 若n ? m, f (m, n) ? 0;

·2·

③ f (m ? 1, n) ? n[ f (m, n) ? f (m, n ? 1)] ,则 (1) f (2, 2) ? ;

(2)

? f (i, 2) ?
i ?1

n



三、解答曩:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 已知 cos A= (1)求 tan C 的值, (2)若 a ?

2 ,sinB= 5 cos C. 3

2, 求? ABC 的面积.

17. (本小题满分 12 分) 在一个圆锥体的培养房内培养了 40 只蜜蜂,准备进行某种实验,过圆锥高的中点有一个不计厚 度且平行于圆椎底面的平面把培养房分成两个实验区,其中小锥体叫第一实验区,圆台体叫第二实 验区,且两个实验区是互通的,假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的,且蜜蜂落入哪个位置 相互之间是不受影响的。 (1)求蜜蜂落人第二实验区的概率; (2)若其中有 10 只蟹蜂被染上了红色,求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率; (3)记 X 为落入第一实验区的蜜蜂数,求随机变量 X 的数学期望 EX。

18. (本小题满分 12 分) 如图是一个直三棱柱(以 A1B1C1 为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为 ABC。已知 A1B1=B1C1=1,∠A1B1C1=90° ,AA1=4,BB1=2,CC1=3. (1)设点 O 是 AB 的中点,证明:OC∥平面 A1B1C1; (2)求二面角 B—AC—A1 的大小。

·3·

19. (本小题满分 13 分) 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价 a,最高销售限价 b(b>a)以及实数 x(0<x<1)确定实际销售价格 c=a+x(b-a)。这里,x 被称为乐观系数,经验表明,最 佳乐观系数 x 恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项,某省为规范汽油市场,维护筇一产者的合 法权益和消费者的长远利益, 发改委发出通知, 决定自 8 月 25 日零时起, 号柴油每升限价在[7.40,7.90] 0 内(单位:元) (1)试求出最佳乐观系数 z 的值以及由此确定的 0 号柴油的销售价格(价格精确到..0 01, . 参考数值: 5 ≈2.24) ; (2)某加油站老板做了一个市场调查后发现:若按最高销售限价出售 0 号柴油销售价格,当天 销售 1 500 升,以后每天销售量将比前一天减少 100 升;若根据“乐观系数准则”确定紫漶销售价 格,每天的销售量稳定在 1 500 升左右.若 0 号柴油的成本为每升 7.01 元.自 8 月 25 日起, 未来 10 天内加油站采用哪种销售价格出售 0 号柴油将获利更多?

20. (本小题满分 13 分) 如图,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1,F2,短轴两个端点分别为 A,B, a 2 b2

且四边形 F。AF2B 是边长为 2 的正方形. (1)求椭圆的方程; (2)若 C,D 分别为椭圆长轴的左右端点,动点 M 满足 MD⊥CD,连接 CM,交椭圆于点 P, 判断 OM ? OP 是否为定值.若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

???? ??? ? ?

21. (本小题满分 13 分)
·4·

已知函数 f ( x) ? ax ? x ln x, (a ? R)
2

(1)当 a ? ?

1 时,判断函数 f(x)在定义域内的单调性并给予证明; 2
f ( p ? 1) ? f (q ? 1) >1 恒成立,求 p?q

(2)在区间(1,2)内任取两个实数 p,q,且 p≠q,若不等式 实数 a 的取值范围; (3)求证:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? (其中n>1且n ? N n ,e=2,71828? ) 3 2 3 4 n e

·5·

·6·

·7·

·8·

·9·


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