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江苏省2014届一轮复习数学试题选编7:两角和与差的三角函数及二倍角公式(学生版)


江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编 7:两角和与差的三角函数及二倍角公式

填空题 1 . (2012 年江苏理)设 ? 为锐角,若 cos ? ? ?

? ?

? ?? 4 ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的值为____. 6? 5 12

π ?? 2 ) ? ,则 cos? =________. 2 3 3 . (江苏省南京市四校 2013 届高三上学期期中联考数学试题)在锐角△ABC 中, tan A = t ? 1, tan B = t ? 1, 则 t 的取值范围是_______. 4 . ( 江 苏 省 连 云 港 市 2013 届 高 三 上 学 期 摸 底 考 试 ( 数 学 ) (选修物理) ) 在 △ABC 中 , 若
2 . (江苏省徐州市 2013 届高三上学期模底考试数学试题)已知 cos(

sin B ? 2 cos( A ? B), 则 tan B 的最大值为_____________. sin A
5 . (江苏省姜堰市 2012—2013 学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ) 已知 cos? ? ,cos(? ? ? ) ?

1 7

13 , 14

且0 ? ? ?? ?

?
2

,则 cos ? ? _________.

6 . ( 江 苏 省 淮 安 市 2013 届 高 三 上 学 期 第 一 次 调 研 测 试 数 学 试 题 ) 已 知 ? , ? ? ?

? ? 5? ? , ? ,若 ?3 6 ?

?? 4 5? ? 5 ? ? sin ? ? ? ? ? , cos ? ? ? ? ? ,则 sin ?? ? ? ? 的值 6? 5 6 ? 13 ? ?
为_________.
7 . (江苏省南通市、 泰州市、 扬州市、 宿迁市 2013 届高三第二次调研 (3 月) 测试数学试题) 设 ?,? ? ? ?,?? ,

且 sin(? ? ? ) ? 5 , tan ? ? 1 .则 cos ? 的值为 ▲ . 2 2 13
8 . (江苏省徐州市 2013 届高三考前模拟数学试题)已知 cos(

3? ? ? 2 ) ? ? ,则 cos 2? ? ________. 2 3
0

9 . (江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题) 已知 cos(75 ? ? ) ?

1 0 ,则 cos(30 ? 2? ) 3
?

的值为__________.
10 . (苏州市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷) 已知 ? 为锐角 , sin(? ? 15 ) ?

4 ,则 5

cos(2? ? 15? ) ? _________.
11. (徐州、 宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷) 在 △ ABC 中,已知 cos A ?

4 1 , tan( A ? B) ? ? , 5 2

则 tan C 的值是____.
12 . ( 扬 州 、 南 通 、 泰 州 、 宿 迁 四 市 2013 届 高 三 第 二 次 调 研 测 试 数 学 试 卷 ) 设 ?,? ? ? ?,?? , 且

sin(? ? ? ) ? 5 , tan ? ? 1 .则 cos ? 的值为____. 2 2 13
第 1 页,共 7 页

tan x 的值为__________ tan 2 x 4 1 ? 14 . (苏州市第一中学 2013 届高三 “ 三模 ” 数学试卷及解答) 已知 sin ? ? ? cos ? , 且 ? ? (0, ) , 则 2 2 cos2?
13. (2011 年高考(江苏卷) )已知 tan( x ?

?

) ? 2, 则

sin(? ? ) 4

?

的值为________.

? ? ? 10 sin(2? ? ) ? ? (0, ) cos(? ? ) ? 4 2 ,则 4 10 , 15( .江苏省盐城市 2013 届高三 10 月摸底考试数学试题) 已知
的值为________.
16 . (江苏省南京市四校 2013 届高三上学期期中联考数学试题) 已知 ? 是第二象限角 , 且 sin ? ?

4 ,则 5

tan( ? ) 的值为________. 2 4
17 . ( 江 苏 省 海 门 市 四 校 2013 届 高 三 11 月 联 考 数 学 试 卷 ) 已 知

?

?

1 ? 2? 1 ? 2? 3? 1 c o s ? , c o sc o s ? , c o sc o s c o s ? , , 根 据 这 些 结 果 , 猜 想 出 的 一 般 结 论 是 3 2 5 5 4 7 7 7 8
______________________________________________.

?

x x sin cos 1 2 2 则f ( ? ) 的 18. (江苏省海门市四校 2013 届高三 11 月联考数学试卷 ) 已知函数 f ( x) ? ? x 2 tan x 8 2 cos2 ? 1 2
值为________.
解答题 19. (江苏省苏州市五市三区 2013 届高三期中考试数学试题 ) 如图,在直角坐标系 xOy 中,锐角 ?ABC 内接于

圆 x 2 ? y 2 ? 1. 已知 BC 平行于 x 轴,

AB 所在直线方程为 y ? kx ? m(k ? 0) ,记角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c .
(1)若 3k ?

2ac A?C , 求 cos 2 ? sin 2 B 的值; 2 2 2 a ?c ?b
2

(2)若 k ? 2, 记 ?xOA ? ? (0 ? ? ?
y A

?
2

), ?xOB ? ? (? ? ? ?

3? ), 求 sin(? ? ? ) 的值. 2

O B C

x

第 2 页,共 7 页

20. (常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题)已知 ? , ? 均为锐角,且 sin ? ?

3 1 , tan(? ? ? ) ? ? . 5 3

(1)求 sin(? ? ? ) 的值;

(2)求 cos ? 的值.

21. (南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷)已知 α ,β ∈(0,π ),且 tanα =2,cosβ =-

7 2 . 10

(1)求 cos2α 的值;

(2)求 2α -β 的值.

22. (苏北老四所县中 2013 届高三新学期调研考试)在平面直角坐标系 xoy 中,点 P( , cos

1 2

2

? ) 在角 ? 的终

边上,点 Q(sin

2

? , ?1) 在角 ? 的终边上,且 OP ? OQ ? ?

1 2

⑴求 cos 2? 的值;⑵求 sin(? ? ? ) 的值。

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江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编 7:两角和与差的三角函数及二倍角公式参考答案 填空题 1.

∵ ? 为锐角,即 0 < ? <

?
2

,∴

?
6

<? ?

?
6

<

?
2

?

?
6

=

2? . 3

?? 4 ?? 3 ?? ?? ?? 3 4 24 ? ? ? ? ? ∵ cos ? ? ? ? ? ,∴ sin ? ? ? ? ? .∴ sin ? 2? ? ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? =2? ? = . 6 5 6 5 3 6 6 5 5 25 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 7 ? ∴ cos ? 2? ? ? ? . 3 ? 25 ?
∴ sin(2a ?

?
12

)=sin(2a ?

?

? ?? ? ?? ? ? ? ? )=sin ? 2a ? ? cos ? cos ? 2a ? ? sin 3 4 3? 4 3? 4 ? ?

=
2. 3.

24 2 7 2 17 ? ? ? = 2. 25 2 25 2 50

?

1 9

2 ,?? ;
3 3

?

4.

5. 6. 7. 8. 9.

1 2 16 65
【答案】 ? 16 65

?

79 81

7 9

10.

17 2 50
11 ; 2
? 16 65

11. 12.

13. 【命题立意】本题主要考查同角三角函数关系式,熟悉三角函数关系式是解决本题的关键.

? 1 ? tan x 1 2 tan x 3 4 ? 2,? tan x ? ? 【 解 析 】 ? tan( x ? ) ? , ? tan 2 x ? . 因 此 2 9 4 1 ? tan x 3 1 ? tan x 4 t a xn 1 4 4 ? ? ? t a n x 2 3 3 9

第 4 页,共 7 页

14.

?

14 2

2 15. 10
16. 17. 18. 解答题 19.解:(1)

1 ; 3
cos π 2π nπ 1 cos ?cos ? n 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2
.

2
sin B 2ac 1 ? 2 解得 sin B ? , 2 2 cos B a ? c ? b 3

变式得: 3

原式 ? sin 2

B 1 ? cos B 9?2 2 ; ? sin 2 B ? ? 2 sin B cos B ? 2 2 18

(2)方法一: ?AOB ? ? ? ? ,作 OD ? AB 于 D ,

? ?xOD ? ? ?

? ??
2

?

? ??
2

,? tan(

? ??
2

) ? kOD ? ?

1 1 ?? k 2

? sin(? ? ? ) ?

2 tan(

? ??
2

) )

1 ? tan2 (
方法二: ?

? ??
2

??

4 5

?x 2 ? y 2 ? 1 ? 5 x 2 ? 4mx ? m 2 ? 1 ? 0 , ? y ? 2x ? m
4m m2 ?1 , x1 x2 ? , 5 5

设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), x1 ? x2 ? ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? y1 x 2 ? x1 y 2 ? (2 x1 ? m) x 2 ? x1 (2 x 2 ? m)
? 4 x1 x 2 ? m( x 1 ? x 2 ) ? ? 4 5

π π π 20.解:(1)∵ ? , ? ? (0, ) ,从而 ? ? ? ? ? ? . 2 2 2 1 π 又∵ tan(? ? ? ) ? ? ? 0 ,∴ ? ? ? ? ? ? 0 3 2

∴ sin(? ? ? ) ? ?

10 10

3 10 . 10 3 4 ∵ ? 为锐角, sin ? ? ,∴ cos ? ? 5 5

(2)由(1)可得, cos(? ? ? ) ?

第 5 页,共 7 页

∴ cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos ? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? )
4 3 10 3 10 9 10 ? ? ? ? (? )? 5 10 5 10 50
21.解(1)方法一:

sinα 因为 tanα =2,所以 =2,即 sinα =2cosα cosα 4 1 2 2 2 2 又 sin α +cos α =1,解得 sin α = ,cos α = 5 5 所以 cos2α =cos α -sin α =方法二: 因为 cos2α =cos α -sin α cos α -sin α 1-tan α = 2 = 2 , 2 sin α +cos α tan α +1 又 tanα =2,所以 cos2α = (2)方法一: π 因为 α ∈(0,π ),且 tanα =2,所以 α ∈(0, ). 2 3 π 4 又 cos2α =- <0,故 2α ∈( ,π ) ,sin2α = 5 2 5 7 2 2 π 由 cosβ =,β ∈(0,π ),得 sinβ = ,β ∈( ,π ) 10 10 2 4 7 2 3 2 2 所以 sin(2α -β )=sin2α cosβ -cos2α sinβ = ×()-(- )× =5 10 5 10 2 π π π 又 2α -β ∈(- , ),所以 2α -β =2 2 4 方法二: π 2tanα 4 因为 α ∈(0,π ),且 tanα =2,所以 α ∈(0, ),tan2α = =- . 2 2 1-tan α 3 从而 2α ∈( π ,π ) 2 1-2 3 =2 2 +1 5
2 2 2 2 2 2 2 2

3 5

7 2 2 π 由 cosβ =,β ∈(0,π ),得 sinβ = ,β ∈( ,π ), 10 10 2 1 因此 tanβ =7 4 1 - + 3 7 tan2α -tanβ 所以 tan(2α -β )= = =-1 1+tan2α tanβ 4 1 1+(- )×(- ) 3 7 π π π 又 2α -β ∈(- , ),所以 2α -β =2 2 4

第 6 页,共 7 页

22.解: (1) cos 2? ?

1 , 3 1 1 2 2 2 (2)由 cos 2? ? 得 sin ? ? , cos ? ? , 3 3 3

3 1 3 1 2 1 4 ,s in? ? ? ? P( , ), Q( , ?1),? sin ? ? , cos ? ? ,cos ? ? 5 10 10 2 3 3 5 ? s in(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? ? 1 10

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