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《课堂新坐标》2014届高考物理一轮复习配套word版文档:第四章 第4讲 万有引力与航天


第4讲

万有引力与航天

(对应学生用书第 64 页)

万有引力定律 1.内容 自然界中任何两个物体都相互吸引, 引力的方向在它们的连线上, 引力的大小与物体的 质量 m1 和 m2 的乘积成正比,与它们之间距离 r 的二次方成反比. 2.公式 m1m2 - F=G 2 ,其中 G=6.67×10 11 N· 2/k

g2,叫引力常量. m r 3.适用条件 公式适用于质点间的相互作用. 当两物体间的距离远大于物体本身的大小时, 物体可视 为质点;均匀的球体可视为质点,r 是两球心间的距离;一个均匀球体与球外一个质点的万 有引力也适用,其中 r 为球心到质点间的距离. 【针对训练】 1.(2013 届佛山检测)在讨论地球潮汐成因时,地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行 轨道可视为圆轨道. 已知太阳质量约为月球质量的 2.7×107 倍, 地球绕太阳运行的轨道半径 约为月球绕地球运行的轨道半径的 400 倍.关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力, 以下说法正确的是( ) A.太阳引力远大于月球引力 B.太阳引力与月球引力相差不大 C.月球对不同区域海水的吸引力大小相等 D.月球对不同区域海水的吸引力大小有差异 【解析】 设太阳质量为 M,月球质量为 m,海水质量为 m′,太阳到地球距离为 r1, M r1 月球到地球距离为 r2,由题意 =2.7×107, =400,由万有引力公式,太阳对海水的引力 m r2 7 2 GMm′ Gmm′ F1 Mr2 2.7×10 2 700 F1= ,月球对海水的引力 F2= ,则 = 2 = = ,故 A 选项正 2 2 r1 r2 F2 mr1 16 ?400?2 确,B 选项错误;月球到地球上不同区域的海水距离不同,所以引力大小有差异,C 选项错 误,D 选项正确. 【答案】 AD 万有引力定律应用及三种宇宙速度 1.万有引力定律基本应用 (1)基本方法:把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动,其所需向心力由万有引 力提供. (2)基本公式:

? ?mrω Mm G =mg =ma=? r 2π mr? ? ?mvωT ?
2 2 r

v2 m r

2

其中 gr 为距天体中心 r 处的重力加速度. 2.三种宇宙速度 宇宙速度 数值(km/s) 意义 第一宇 宙速度 这是卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度,若 7.9 7.9 (环绕速度) km/s≤v<11.2 km/s,物体绕地球运行 第二宇 宙速度 是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度,若 11.2 11.2 (逃逸速度) km/s≤v<16.7 km/s,物体绕太阳运行 第三宇 宙速度 这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度, v≥16.7 若 16.7 km/s,物体将脱离太阳系在宇宙空间运行

错误!

【针对训练】 2.(2012· 浙江高考)如图 4-4-1 所示,在火星与木星轨道之间有一小行星带.假设该 带中的小行星只受到太阳的引力,并绕太阳做匀速圆周运动.下列说法正确的是( )

图 4-4-1 A.太阳对各小行星的引力相同 B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年 C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值 D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值 Mm 【解析】 根据 F=G 2 ,小行星带中各小行星的轨道半径 r、质量 m 均不确定,因此 r Mm 2π r3 无法比较太阳对各小行星引力的大小,选项 A 错误;根据 G 2 =m( )2r 得,T=2π , r T GM 因小行星绕太阳运动的轨道半径大于地球绕太阳运动的轨道半径, 故小行星的运动周期大于 Mm GM 地球的公转周期,即大于一年,选项 B 错误;根据 G 2 =ma 得 a= 2 ,所以内侧小行星 r r 2 Mm mv 的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值,选项 C 正确;根据 G 2 = ,得 v= r r GM ,所以小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值小于地球公转的线速度值,选项 D r

错误. 【答案】 C 同步卫星的运行特点 1.轨道平面一定:轨道平面与赤道平面共面. 2.周期一定:与地球自转周期相同,即 T=24 h. 3.角速度一定:与地球自转的角速度相同. 3 GMT2 Mm 4π2 4.高度一定:由 G =m 2 (R+h)得同步卫星离地面的高度 h= -R. T 4π2 ?R+h?2 GM 5.速率一定:v= . R+h 【针对训练】 3.我国数据中继卫星“天链一号 02 星”在西昌卫星发射中心,于 2011 年 7 月 11 日 23 时 41 分发射升空,之后经过变轨控制后,成功定点在赤道上空的同步轨道.关于成功定 点后的“天链一号 02 星”,下列说法正确的是( ) A.运行速度大于 7.9 km/s B.离地面高度一定,相对地面静止 C.绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大 D.向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等 【解析】 7.9 km/s 是第一宇宙速度,是所有地球卫星的最大运转速度,故 A 错误;因 “天链一号 02 星”是同步卫星,其轨道半径大于地球半径,而小于月球的轨道半径,B、C 均正确;因该星与赤道上物体的角速度相同,但到地心距离不同(r>R),由 a 向=rω2 得 a 星 >a 物,故 D 错误. 【答案】 BC 经典时空观和相对论时空观 1.经典时空观 (1)在经典力学中,物体的质量是不随运动状态而改变的. (2)在经典力学中,同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中 是相同的. 2.相对论时空观 (1)在狭义相对论中,物体的质量是随物体运动速度的增大而增大的,用公式表示为 m m0 = . v2 1- 2 c (2)在狭义相对论中,同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系 中是不同的.

(对应学生用书第 65 页)

万有引力定律在天体运动中的应用 1.基本方法 把天体的运动看成匀速圆周运动,所需向心力由万有引力提供. v2 Mm 2π G 2 =m =mω2r=m( )2r=m(2πf)2r r r T

2.中心天体的质量 M、密度 ρ 的估算 (1)利用卫星的轨道半径 r 和周期 T Mm 2π 测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径 r 和周期 T,由 G 2 =m( )2r, r T 4π2r3 可得天体质量为:M= 2 . GT M M 3πr3 该中心天体密度为:ρ= = = 2 3(R 为中心天体的半径). V 4 3 GT R πR 3 3π 当卫星沿中心天体表面运行时,r=R,则 ρ= 2. GT (2)利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R Mm gR2 由于 G 2 =mg,故天体质量 M= , R G M M 3g 天体密度 ρ= = = . V 4 3 4πGR πR 3 (2011· 安徽高考)(1)开普勒行星运动第三定律指出, 行星绕太阳运动的椭圆轨道 a3 的半长轴 a 的三次方与它的公转周期 T 的二次方成正比,即 2=k,k 是一个对所有行星都 T 相同的常量.将行星绕太阳的运动按圆周运动处理,请你推导出太阳系中该常量 k 的表达 式.已知引力常量为 G,太阳的质量为 M 太; (2)开普勒定律不仅适用于太阳系, 它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成 8 立.经测定月地距离为 3.84×10 m,月球绕地球运动的周期为 2.36×106 s,试计算地球的 - 质量 M 地.(G=6.67×10 11 N· 2/kg2,结果保留一位有效数字) m 【审题视点】 (1)已知引力常量 G,太阳质量 M,导出太阳系中常量 k. a3 (2) 2=k 也适用地月系统,但不同天体系统 k 值不同. T 【解析】 (1)因行星绕太阳做圆周运动,于是轨道的半长轴 a 即为轨道半径 r.根据万 有引力定律和牛顿第二定律有 m行M太 2π G 2 =m 行( )2r① r T r3 G 于是有 2= 2M 太② T 4π G 即 k= 2M 太.③ 4π R3 G (2)在地月系统中,设月球绕地球运动的轨道半径为 R,周期为 T,由②式可得 2 = 2M T 4π 地④ 解得 M 地=6×1024 kg(5×1024 kg 也算对).⑤ G 【答案】 (1)k= 2M 太 (2)6×1024 kg 4π

求中心天体质量的途径 依据万有引力等于向心力,可得以下四种求中心天体质量的途径 gr2 (1)M= ,若已知卫星在某一高度的加速度 g 和环绕的半径 r; G rv2 (2)M= ,若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的线速度 v 和半径 r; G 4π2r3 (3)M= 2 ,若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的周期 T 和半径 r; GT

v3T (4)M= ,若已知卫星运行的线速度 v 和周期 T. 2πG 【即学即用】 1.(2013 届山东威海一中检测)如图 4-4-2 所示,是美国的“卡西尼”号探测器经过 长达 7 年的“艰苦”旅行,进入绕土星飞行的轨道.若“卡西尼”号探测器在半径为 R 的 土星上空离土星表面高 h 的圆形轨道上绕土星飞行,环绕 n 周飞行时间为 t,已知万有引力 常量为 G,则下列关于土星质量 M 和平均密度 ρ 的表达式正确的是( )

图 4-4-2 4π2?R+h?3 3π?R+h?3 A.M= ,ρ= Gt2 Gt2R3 2 2 4π ?R+h? 3π?R+h?2 B.M= ,ρ= Gt2 Gt2R3 2 2 3 4π t ?R+h? 3πt2?R+h?3 C.M= ,ρ= 2 Gn Gn2R3 4π2n2?R+h?3 3πn2?R+h?3 D.M= ,ρ= 2 Gt Gt2R3 【解析】 设“卡西尼”号的质量为 m, “卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动, 4π2n2?R+h?3 Mm 2π 2 t 其向心力由万有引力提供,G ) ,其中 T= ,解得 M= .又 2=m(R+h)( T n Gt2 ?R+h? 2 3 4 M 3πn ?R+h? 土星体积 V= πR3,所以 ρ= = . 2 3 3 V Gt R 【答案】 D 卫星的发射和运行 1.卫星的轨道 (1)赤道轨道:卫星的轨道在赤道平面内.同步卫星就是其中的一种. (2)极地轨道:卫星的轨道过南北两极,即在垂直于赤道的平面内.如极地气象卫星. (3)其他轨道:除以上两种轨道外的卫星轨道. 2.卫星的稳定运行与变轨运行分析 (1)卫星在圆轨道上的稳定运行 v2 Mm 2π G 2 =m =mrω2=mr( )2, r r T

? ? 由此可推出?ω= ?T=2π ?
v= (2)变轨运行分析

GM r GM r3 r3 GM

v2 ①当 v 增大时,所需向心力 m 增大,即万有引力不足以提供向心力,卫星将做离心运 r GM 动,脱离原来的圆轨道,轨道半径变大,但卫星一旦进入新的轨道运行,由 v= 知 r 其运行速度要减小,但重力势能、机械能均增加. mv2 ②当卫星的速度减小时,向心力 减小,即万有引力大于卫星所需的向心力,因此卫 r

GM r 知运行速度将增大,但重力势能、机械能均减少.(卫星的发射和回收就是利用了这一原理) 星将做向心运动, 同样会脱离原来的圆轨道, 轨道半径变小, 进入新轨道运行时由 v=

图 4-4-3 (2013 届汉中质检)2012 年 6 月 18 日早上 5 点 43 分“神舟九号”飞船完成了最后一次 变轨, 在与“天宫一号”对接之前“神舟九号”共完成了 4 次变轨, “神舟九号”某次变轨 的示意图如图 4-4-3 所示, A 点从椭圆轨道Ⅱ进入圆形轨道Ⅰ, 为轨道Ⅱ上的一点. 在 B 关 于飞船的运动,下列说法中正确的有( ) A.在轨道Ⅱ上经过 A 的速度小于经过 B 的速度 B.在轨道Ⅱ上经过 A 的动能小于在轨道Ⅰ上经过 A 的动能 C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D.在轨道Ⅱ上经过 A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过 A 的加速度 【审题视点】 (1)轨道Ⅱ为椭圆轨道,需要利用开普勒定律解决速度、周期问题. (2)明确变轨前后速度的变化. 【解析】 轨道Ⅱ为椭圆轨道,根据开普勒第二定律,飞船与地球的连线在相等的时间 内扫过的面积相等,可知近地点的速度大于远地点的速度,故 A 正确.根据开普勒第三定 a3 R3 律,飞船在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ满足: 2 = 2 ,又 R>a,可知 TⅠ>TⅡ,故 C 正确.飞船在 A TⅡ TⅠ 1 点变轨时,从轨道Ⅱ进入轨道Ⅰ需加速,又 Ek= mv2,故 B 正确.无论在轨道Ⅰ上还是在 2 轨道Ⅱ上,A 点到地球的距离不变,飞船受到的万有引力一样,由牛顿第二定律可知向心加 速度相同,故 D 错误. 【答案】 ABC 【即学即用】 2.(2012· 四川高考)今年 4 月 30 日,西昌卫星发射中心发射的中圆轨道卫星,其轨道半 径为 2.8×107 m.它与另一颗同质量的同步轨道卫星(轨道半径为 4.2×107 m)相比( ) A.向心力较小 B.动能较大 C.发射速度都是第一宇宙速度 D.角速度较小 【解析】 由题意知,中圆轨道卫星的轨道半径 r1 小于同步卫星轨道半径 r2,卫星运 Mm 行时的向心力由万有引力提供,根据 F 向=G 2 知,两卫星的向心力 F1>F2,选项 A 错误; r 2 Mm mv 根据 G 2 = =mω2r, 得环绕速度 v1>v2, 角速度 ω1>ω2, 两卫星质量相等, 则动能 Ek1>Ek2, r r 故选项 B 正确,选项 D 错误;根据能量守恒,卫星发射得越高,发射速度越大,第一宇宙 速度是发射卫星的最小速度,因此两卫星的发射速度都大于第一宇宙速度,且 v01<v02,选 项 C 错误. 【答案】 B 近地卫星、同步卫星的区别 近地卫星、 同步卫星和地球赤道上的物体做圆周运动的区别: 同步卫星与地球赤道上的 物体的周期都等于地球自转的周期, 而不等于近地卫星的周期; 近地卫星与地球赤道上的物 体的运动半径都等于地球半径,而不等于同步卫星运动半径;三者的线速度各不相同. 求解此类题的关键有三点: 1.在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的向心加速度的比例关系时应依据二者角

GM 速度相同的特点,运用公式 a=ω2r 而不能运用公式 a= 2 . r 2.在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的线速度比例关系时,仍要依据二者角速 度相同的特点,运用公式 v=ωr 而不能运用公式 v= GM/r. 3.在求解“同步卫星”运行速度与第一宇宙速度的比例关系时,因都是由万有引力提 供的向心力,故要运用公式 v= GM/r,而不能运用公式 v=ωr 或 v= gr. 某地球同步卫星离地心的距离为 r,运行速度为 v1,加速度为 a1,地球赤道上 的物体随地球自转的向心加速度为 a2,第一宇宙速度为 v2,地球的半径为 R,则下列比例式 中正确的是( ) a1 r a1 R A. = B. =( )2 a2 R a2 r v1 r v1 R 1/2 C. = D. =( ) v2 R v2 r 【解析】 由于同步卫星与赤道上的物体具有相同的角速度, 对同步卫星, 1=ω2r; 则: a a1 r 对赤道上的物体,a2=ω2R,由以上二式可得 = ,故选项 A 正确,B 错误.同步卫星需 a2 R 2 GMm mv1 要的向心力完全由万有引力提供,则 2 = ,所以,v1= GM/r.对于第一宇宙速度,由 r r 2 v1 GMm mv2 R ,得 v2= GM/R.以上两速度相比得: = .故选项 C 错误,D 正确. 2 = R R v2 r 【答案】 AD 【即学即用】 3.(2013 届汉中模拟)北京时间 2012 年 10 月 25 日 23 时 33 分,中国在西昌卫星发射中 心用“长征三号丙”运载火箭, 将第十六颗“北斗”导航卫星成功发射升空并送入太空预定 转移轨道,这是一颗地球静止轨道卫星.“北斗”导航卫星定位系统由静止轨道卫星(同步 卫星)、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成,中轨道卫星轨道半径约为 27 900 公里,静止轨道 279 卫星的半径约为 42 400 公里.(已知 ? ?3)≈0.53)下列说法正确的是( ) 424 A.静止轨道卫星和中轨道卫星的线速度均大于地球的第一宇宙速度 B.静止轨道卫星的角速度比中轨道卫星角速度小 C.中轨道卫星的周期约为 12.7 h D.地球赤道上随地球自转物体的向心加速度比静止轨道卫星向心加速度大 GM 【解析】 根据万有引力提供向心力得人造卫星线速度公式 v= ,可判断静止 r GMm 轨道卫星和中轨道卫星的线速度均小于地球的第一宇宙速度,A 错;由 2 =mrω2 得 ω= r GM GMm 4π2 3 ,则可知静止轨道卫星的角速度比中轨道卫星角速度小,B 对;由 2 =m 2 r 得 T r r T 3 r =2π ,静止轨道卫星的周期为 T=24 h,故中轨道卫星的周期 T′与静止轨道卫星的 GM T′ r′3 4π2 周期 T 之比 = 3 ,解得 T′=12.7 h,C 对;根据向心加速度公式 a= 2 r,可知地 T r T 球赤道上随地球自转物体的向心加速度比静止轨道卫星向心加速度小,D 错. 【答案】 BC

(对应学生用书第 67 页)

“双星”模型 1.双星系统 宇宙中往往会有相距较近,质量相差不多的两颗星球,它们离其他星球都较远,因此其 他星球对他们的万有引力可以忽略不计. 在这种情况下, 它们将围绕它们连线上的某一固定 点做同周期的匀速圆周运动,这种结构叫做双星系统. 2.双星系统的特点 (1)两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动,故两星的角速度、周期相等; (2)两星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力,所以它们的向心力大小相等; (3)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离,即 r1+r2=L.

图 4-4-4 天文学家观测河外星系大麦哲伦云时, 发现了 LMCX-3 双星系统, 它由可见星 A 和不 可见的暗星 B 构成.两星视为质点,不考虑其他天体的影响,A、B 围绕两者连线上的 O 点 做匀速圆周运动,它们之间的距离保持不变,如图 4-4-4 所示.引力常量为 G,由观测能 够得到可见星 A 的速率 v 和运行周期 T. (1)可见星 A 所受暗星 B 的引力 FA 可等效为位于 O 点处质量为 m′的星体(视为质点)对 它的引力,设 A 和 B 的质量分别为 m1、m2,试求 m′(用 m1、m2 表示); (2)求暗星 B 的质量 m2 与可见星 A 的速率 v、运行周期 T 和质量 m1 之间的关系式. 【规范解答】 (1)设 A、B 的圆轨道半径分别为 r1、r2,角速度均为 ω 由双星所受向心力大小相同,可得 m1ω2r1=m2ω2r2 设 A、B 之间的距离为 L,又 L=r1+r2 m1+m2 由上述各式得 L= r① m2 1 m1m2 由万有引力定律得,双星间的引力 F=G 2 L m1m3 2 将①式代入上式得 F=G ② ?m1+m2?2r2 1 m1m′ 由题意,将此引力视为 O 点处质量为 m′的星体对可见星 A 的引力,则有 F=G 2 r1 ③ m3 2 .④ ?m1+m2?2 m1m′ v2 (2)对可见星 A,有 G 2 =m1 ⑤ r1 r1 vT 可见星 A 的轨道半径 r1= ⑥ 2π v3T m3 2 由④⑤⑥式解得 . 2= ?m1+m2? 2πG v3T m3 m3 2 2 【答案】 (1)m′= (2) 2 2= ?m1+m2? ?m1+m2? 2πG 【即学即用】 4. (2012· 重庆高考)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统, 质量比约为 7∶1, 同时绕它们连线上某点 O 做匀速圆周运动.由此可知,冥王星绕 O 点运动的( ) 比较②③可得 m′=

1 A.轨道半径约为卡戎的 7 1 B.角速度大小约为卡戎的 7 C.线速度大小约为卡戎的 7 倍 D.向心力大小约为卡戎的 7 倍 【解析】 本题是双星问题,设冥王星的质量、轨道半径、线速度分别为 m1、r1、v1, 卡戎的质量、轨道半径、线速度分别为 m2、r2、v2,由双星问题的规律可得,两星间的万有 m1m2 引力分别给两星提供做圆周运动的向心力,且两星的角速度相等,故 B、D 均错;由 G 2 L r1 m2 1 v1 ωr1 m2 1 =m1ω2r1=m2ω2r2(L 为两星间的距离),因此 = = , = = = ,故 A 对,C 错. r2 m1 7 v2 ωr2 m1 7 【答案】 A

(对应学生用书第 68 页)

●中心天体质量的估算 1.(2012· 福建高考)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动,其线速度大小为 v.假 设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为 m 的物体重力,物体静止时,弹簧测 力计的示数为 N.已知引力常量为 G,则这颗行星的质量为( ) mv2 mv4 Nv2 Nv4 A. B. C. D. GN GN Gm Gm 【解析】 设卫星的质量为 m′ Mm′ v2 由万有引力提供向心力,得 G 2 =m′ ① R R v2 m′ =m′g② R 由已知条件:m 的重力为 N 得 N=mg③ mv2 N 由③得 g= ,代入②得:R= m N mv4 代入①得 M= ,故 A、C、D 三项均错误,B 项正确. GN 【答案】 B ●卫星运行比较 2.(2012· 北京高考)关于环绕地球运动的卫星,下列说法正确的是( ) A.分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星,不可能具有相同的周期 B.沿椭圆轨道运行的一颗卫星,在轨道不同位置可能具有相同的速率 C.在赤道上空运行的两颗地球同步卫星,它们的轨道半径有可能不同 D.沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星,它们的轨道平面一定会重合 a3 【解析】 根据开普勒第三定律, 2=恒量,当圆轨道的半径 R 与椭圆轨道的半长轴 a T 相等时,两卫星的周期相等,故选项 A 错误;卫星沿椭圆轨道运行且从近地点向远地点运 行时,万有引力做负功,根据动能定理,知动能减小,速率减小;从远地点向近地点移动时

动能增加,速率增大,且两者具有对称性,故选项 B 正确;所有同步卫星的运行周期相等, Mm 2π 根据 G 2 =m( )2r 知,同步卫星轨道的半径 r 一定,故选项 C 错误;根据卫星做圆周运动 r T 的向心力由万有引力提供,可知卫星运行的轨道平面过某一地点,轨道平面必过地心,但轨 道不一定重合,故北京上空的两颗卫星的轨道可以不重合,选项 D 错误. 【答案】 B ●行星“相遇”问题 3.(2011· 重庆高考)某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆.每过 N 年,该行星会 运行到日地连线的延长线上,如图 4-4-5 所示,该行星与地球的公转半径之比为( )

图 4-4-5 N+1?2 ? N ?2 A.? ? N ?3 B.?N-1?3 N 3 N+1?3 C.? D.?N-1? ? N ?2 ? ?2 2?N-1?π r星 ?ω地? θ 2Nπ GMm 【解析】 根据 ω= 可知, 地= ω , 星= ω , 再由 2 =mω2r 可得, =? ? t t t r r地 ?ω星? 2 ? N ?2 = ,答案为 B 选项. 3 ?N-1?3 【答案】 B ●重力加速度的比较 4.(2012· 新课标全国高考)假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体.一矿井深度 为 d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零. 矿井底部和地面处的重力加速度大小 之比为( ) d d A.1- B.1+ R R R R-d?2 C.? D.?R-d?2 ? R ? ? ? 【解析】 设地球的密度为 ρ,地球的质量为 M,根据万有引力定律可知,地球表面的 GM 4 重力加速度 g= 2 .地球质量可表示为 M= πR3ρ,因质量分布均匀的球壳对球壳内物体的 R 3 R-d? 4 引力为零, 所以矿井下以(R-d)为半径的地球的质量为 M′= π(R-d)3ρ, 解得 M′=? 3 ? R ? GM′ 3 M,则矿井底部处的重力加速度 g′= , 则矿井底部处的重力加速度和地球表面的 ?R-d?2 g′ d 重力加速度之比为 =1- ,选项 A 正确;选项 B、C、D 错误. g R 【答案】 A ●同步卫星通信问题 5.

图 4-4-6

(2013 届西安铁路一中检测)如图 4-4-6 所示,设 A、B 为地球赤道圆的一条直径的两 端,利用同步卫星将一电磁波信号由 A 点传到 B 点,已知地球半径为 R,地球表面处的重 力加速度为 g,地球自转周期为 T,不考虑大气对电磁波的折射.设电磁波在空气中的传播 速度为 c.求: (1)至少要用几颗同步卫星? (2)这几颗卫星间的最近距离是多少? (3)用这几颗卫星把电磁波信号由 A 点传到 B 点需要经历多长时间? 【解析】

(1)至少要用两颗同步卫星,这两颗卫星分别位于如图所示的 P1 和 P2 两点. (2)这两颗卫星间的最近距离是 d=2R. Mm 4π2 (3)设同步卫星的轨道半径为 r=OP1,由万有引力定律和牛顿第二定律:G 2 =mr 2 , r T Mm0 对地面上的物体有:m0g=G 2 R 解得 r= 3 gR2T2 4π2

2R+2P1B 用这两颗卫星把电磁波信号由 A 点传到 B 点需要经历的时间为 t= ,又 P1B= c 3 g2R4T4 2 -R2 16π4 2R 2 2 r -R ,解得:t= + . c c 【答案】 (1)至少两颗 (2)2R 2R (3) + c 2 3 g2R4T4 -R2 16π4 c


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