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辽宁省大连市2007年高三双基测试数学试题


中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉

辽宁省大连市 2007 年高三双基测试数学试题 2007.3
本试卷分第 I 卷(选择题)和 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 参考公式:如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B)

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 Pn (k)= C n P (1 ? P)
k k n?k

球的体积公式: V ?

4 3 ?R (其中 R 表示球的半径) 3

球的表面积公式 S=4π R2(其中 R 表示球的半径)

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)下列四个选项中,只有一个是符合题目要求的。. 1.已知全集 U ? {a, b, c, d , e}, 集合A ? {b, c}, B ? {a, b, e} ,则( A.{ a, e } B. {b, c, d }
2

)∩B= D. {c}





C. {a, c, e}
2

2.过点 P(-2,4)作圆 C : ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 25 的切线 l,直线 m : ax ? 3 y ? 0 与直线 l 平行,则 a 的值是 A.2
2

( B.



8 5

C.

12 5

D.4 )

3.若关于 x 的不等式 x ? 4 x ? a ? 0 ,对任意 x ? (0,1] 恒成立,则 a 的取值范围是( A. a ? ?4 B. a ? ?3 C. ? 3 ? a ? 0 D. a ? ?3

4.已知向量 a=(λ ,-2),b=(-3,5),且 a 与 b 的夹角为钝角,则λ 的取值范围是(



10 6 6 , ) ? ( ,??) 3 5 5 10 C. (??,? ) 3
A. (? 5.如图,都不是正四面体的表面展开图的是

10 ? ?) 3 10 D. (??,? ] 3
B. ( ? ( )

A.①⑥

B.④⑤
2

C.②③

D.④⑥ ( )

6.已知 a>b>c>0,t 是方程 ax ? bx ? c ? 0 的实根,则 t 的取值范围是

A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,+∞) 7.正方体的八个顶点中,有四个顶点恰好是正四面体的顶点,则这个正方体的表面积与正四面体的表面 积之比是 ( )

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A. 3 : 2 B. 2 : 1 C. 3 : 1 D. 2 : 3 ( D.向右平移 )

8.要得到函数 y ? cos( ? A.向左平移

? 2

x 2

?
4

) 的图象,只需将 y=sin

B.向右平移

? 2

x 的图象 2 ? C.向左平移 4

? 4

9.已知点 P 在曲线 y ? x 3 ? x ?

2 上移动,若经过点 P 的曲线的切线的倾斜角为α ,则 a 的取值范围是 3
( ) B. [0,

3? A. [0, ) ? [ ,? ) 2 4 3? C. [ ,? ) 4

?

?

2 3? D. [0, ] 4


) ?[

5? ,? ) 6

10.数列 1,(1+2),(1+2+22),?,(1+2+?+2n 1),?的前 n 项和等于 A.2n B.2n -n C.2n+1 -n-2 D.n·2n





11.(理科答)甲、乙两名篮球队员轮流投篮至某人投中为止。设每次投篮甲投中的概率为 0.4,乙投中 的概率为 0.6,而且不受其他投篮结果的影响。设甲投篮次数为ξ ,且甲先投,则 P(ξ =k)= ( A. 0.6
k ?1


k ?1

? 0.4

B. 0.24

k ?1

? 0.76 C. 0.4 k ?1 ? 0.6

D. 0.76

? 0.24

(文科答)要从 10 名女生与 5 名男生中选出 6 名学生组成课外学习小组,如果按性别分层随机抽样, 则组成此课外学习小组的概率为 ( )
4 C10C52 A. 6 C15 3 3 C10C 5 B. 6 C15 6 C16 C. 6 A15 4 A10 A52 D. 6 C15

12.已 知 P 是 以 F1 、F2 为焦点 的双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上的一点, 若 PF1 ? PF2 ? 0 , a2 b2
( D. 5 )

tan ?PF1 F2 ? 2 ,则此双曲线的离心率为 A. 2 5 B.3 C.5

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)把答案直接写在横线上.

?1 ? 2 x ? 1( x ? 0) ? , 若f (a) ? a ,则实数 a 的取值范围是 13.设函数 f ( x) ? ? 1 ? ( x ? 0) ?x ?
14.若 (1 ? x) (1 ? 2 x) ? a0 ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a n x , 则a1 ? a 2 ? ? ? a n ?
6 5 2 n

.

.

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15. 0, 2, 4, 6, 8, 中取出 3 个数, 从 1, 3, 5, 7, 9 使其和为不小于 10 的偶数, 不同的取法共有 (用数字作答).
x



16.已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且是周期为 2 的周期函数,当 x ? [0,1) 时, f ( x) ? 2 ? 1 ,则

f (log 1 6) 的值为
2

.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题 12 分)已知点 A(2,0)、B(0,2)、C(cosα ,sinα ),O 为坐标原点,且 0 ? ? ? ? . (1)若 | OA ? OC |?

7 ,求 OB 与 OC 的夹角;

(2)若 AC ? BC ,求 tanα 的值.

2

0

0

7

0

3

2

0

18.(本小题 12 分)已知 {a n } 是等比数列,Sn 是其前 n 项的和,a1,a7,a4 成等差数列,求证:2S3,S6, S12-S6,成等比数列.

19.(本小题 12 分) 如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D、E 分别是 BC、CC1 的中点,AB=AA1. (1)求二面角 B—AD—B1 的正切值; (2)证明:BE⊥平面 AB1D; (3)求异面直线 DE 与 A1B1 所成角的大小.

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20.(本小题 12 分) (理科答)A、B 两队进行篮球决赛,共五局比赛,先胜三局者夺冠,且比赛结束。根据以往成绩, 每场中 A 队胜的概率为

2 ,设各场比赛的胜负相互独立. 3

(1)求 A 队夺冠的概率; (2)设随机变量ξ 表示比赛结束时的场数,求 Eξ . (文科答)甲、乙在罚球线投球命中的概率分别为

1 2 与 . 2 5

(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求恰好命中一次的概率; (2)甲、乙两人在罚球线各投球两次,求这四次投球中至少一次命中的概率.

21.(本题 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x.
3 2

(1)若 f ( x)在x ? [1,??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x=3 是 f (x) 的极值点,求 f (x) 在 x ? [1, a] 上的最小值和最大值.

22.(本小题 14 分) 已知 A、B、D 三点不在一条直线上,且 A(-2,0),B(2,0), | AD |? 2, AE ? (1)求 E 点的轨迹方程; (2)过 A 作直线交以 A、B 为焦点的随圆于 M、N 两点,线段 MN 的中点到 y 轴的距离为 MN 与 E 点的轨迹相切,求椭圆的方程.

1 ( AB ? AD). 2 4 ,且直线 5

参考答案
一、选择题 1.A 2.D 3.D (文)A 12.D 4.A 5.B 6.B 7.C 8.A 9.A 10.C 11.(理)B

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二、填空题 13. (??,?1) 14.-65 15.51 16. ?

1 2

三、解答题 17.(本小题 12 分) 解:(1)? OA ? OC |? |

7 ,? (2 ? cos? ) 2 ? sin 2 ? ? 7, 解得 cos? ?

?? ? (0, ? ),?? ? ?AOC ? 又 ? ?AOB ?

?
3

1 , ??(2 分) 2

,

?

,? OB与OC的夹角为 . ??????????????(4 分) 2 6

?

(2) AC ? (cos? ? 2, sin ? ), BC ? (cos? , sin ? ? 2)

? AC ? BC,? AC ? BC ? 0.

? cos? ? sin ? ?

1 2



? (cos? ? sin ? ) 2 ?

1 3 ,即2 sin ? cos? ? ? , ????????????(8 分) 4 4

? ? ? (0, ? ),?? ? ( , ? ). 2 7 又(cos? ? sin ? ) 2 ? 1 ? 2 sin ? cos? ? . 4
且 cos? ? sin ? ? 0,? cos? ? sin ? ? ? 7 2
②????????(10 分)

?

由①②,得 cos? ?

1? 7 1? 7 , sin ? ? 4 4

? tan? ? ?

4? 7 . ????????????????????????(12 分) 3

18.(本小题 12 分) [解法 1]由已知 a1 ? a 4 ? 2a7 , a1 ? a1 q ? 2a1 q ,?1 ? q ? 2q . ??????(2 分)
3 6 3 6
6



? (1 ? q 3 ) S 3 S 6 ? (1 ? q 8 ) ?

当 q ? 1时, S 3 ? 3a1 , S 6 ? 6a1 , S12 ? S 6 ? 6a1 ,同样有2S 3 ( S12 ? S 6 ) ? S 6 , ??(10 分)
2

所以, 2S 3 , S 6 , S12 ? S 6 成等比数列.??????????????????(12 分)

q 6 S 3 S2 ? ) 6 q 6a ? ? 6 q 2 a ? 6 q1a( 4 S2 ? ) 21a ? ? ? 3a ? 7a( 3 S2 ? ) 4 S ? 21S ( 3 S2,时1 ? q

????(4 分)

a1 (1 ? q 3 ) a (1 ? q 6 ) 2 ? S6 ? 1 ? S 6 ? S 6 . ??????(8 分) 1? q 1? q

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[解法 2]由已知 a1 ? a 4 ? 2a7 , a1 ? a1 q ? 2a1 q ,?1 ? q ? 2q ,?????(2 分)
3 6 3 6

当 q ? 1时,2S 2 ( S12 ? S 4 ) ? 2 ? 3a1 (12 a3 ? a1 ) ? 36 a3 ,
2 2 2 2 S 6 ? (6a1 ) 2 ? 36 a3 . ? 2S 2 ( S12 ? S 6 ) ? S 6 . ? 2S 3 , S 6 , S12 ? S 6 成等比数列.?(6 分)

当 q ? 1时,

S6 1 1? q6 1 1 ? ? ? (1 ? q 3 ) ? ? 2q 6 , ??????????(8 分) 3 2S 3 2 1 ? q 2 2

∴ 2S 3 , S 6 , S12 ? S 6 成等比数列.????????????????????(11 分) 综上, 2S 3 , S 6 , S12 ? S 6 成等比数列.??????????????????(12 分) 19.(本小题 12 分) 解:(1)在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∵BD=DC,∴AD⊥BC, 又 B1B⊥底面 ABC,由三垂线定理,知 AD⊥DB1 ∴∠B1DB 就是二面角 B—AD—B1 的平面角, 在 Rt△B1BD 中,tan∠B1DB=

BB1 =2, BD

即二面角 B—AD—B1 的正切值为 2.??????(4 分) (2)∵侧面 BCC1B1 为正方形,CE=EC1,BD=DE, ∴BE⊥DB1.????????????(6 分) 又 AD⊥侧面 BCC1B1,∴AD⊥BE, ∴BE⊥平面 AB1D.??????????(8 分) (3)取 AC 中点 F,连 FD,EF,∵A1B1∥AB∥DF, ∴∠EDF 就是 DE 与 A1B1 所成的角. 设正三棱柱的各棱长均为 2 a ,则 DE= 2a, DF ? a, EF ?

2a ,

1 DF 2 ? cos ?EDF ? 2 ? . DE 4
即 DE 与 A1B1 所成的角为 arccos 20.(本小题 12 分) (理科答)解:(1)A 队连胜 3 场的概率为 P ? ( ) ,????????(1 分) 1
3

2 . ??????????????(12 分) 4

2 3

2 3 1 2 2 ? ? ( ) 3 ,????????(2 分) 3 3 3 3 2 3 1 2 2 2 4 2 打 5 场胜 3 场的概率为 P3 ? C 4 ? ( ) ? ( ) ? ? ( ) . ????????(4 分) 3 3 3 3
打 4 场胜 3 场的概率为 P2 ? C3 ? ( ) ?
2

又以上事件是互斥的, ∴A 队获胜的概率为 P=P1+P2+P3=

64 ??????????????(6 分) 81

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(2) P(? ? 3) ? ( ) 3 ? ( ) 3 ?

1 1 ,(A 队连胜 3 场或 B 队连胜 3 场),??(7 分) 3 3 2 1 10 1 2 ;????????????(8 分) P(? ? 4) ? ( ) 3 ? C3 ? ? ( ) 3 ? 3 3 3 27 1 2 8 2 ;????????????(10 分) P(? ? 5) ? C 4 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 3 3 27 1 10 8 107 ? E? ? 3 ? ? 4 ? ? 5? ? . .????????????(12 分) 3 27 27 27
(文科答)解:(1)依题意,记“甲投一次命中”为事件 A,“乙投一次命中”为事件 B, 则 P( A) ?

2 3

1 2 1 3 , P( B) ? , P( A) ? , P( B) ? , ??????????(2 分) 2 5 2 5

∵“甲、乙两人各投球一次,恰好命中一次”的事件为 A ? B ? A ? B ,且为互斥事件,

? P( A ? B ? A ? B) ? P( A ? B) ? P( A ? B) ?

1 3 1 2 1 ? ? ? ? .??????(5 分) 2 5 2 5 2 1 故甲、乙两人在罚球线各投球一次,恰好命中一次的概率为 . ??????(6 分) 2
1 1 3 3 9 ? ? ? ? , 2 2 5 5 100
??????????(8 分) 因此甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一个命的概率为 P ? 1 ?

(2)由于事件“甲、乙两人在罚球线各投球两次均不命中”的概率为

9 91 ? . (12 分) 100 100

21.(本题 12 分) 解:(1) f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 3 ? 0.
2

? x ? 1,? a ?

3 1 ( x ? ). ????????????????????(2 分) 2 x 3 1 设 g ( x) ? ( x ? )在[1,??) 上是增函数, 2 x

?[ g ( x)] min ? g (1) ? 0,? a ? 0. ????????????????(6 分)
(2)由已知 f ?(3) ? 0,即27 ? 6a ? 3 ? 0,? a ? 4. ????????(8 分) 易知 f ( x) ? x ? 4 x ? 3x 有极大值点 x ? ? ,极小值点 x=3,
3 2

1 3

此时, f (x) 在[ ?

1 ,3]上是减函数,在[3,+∞ ) 上是增函数.??????(10 分) 3

∴ f (x) 在[1,a]上的最小值是 f (3) ? ?18 ,最大值是 f (1) ? ?6. ????(12 分) 22.(本小题 14 分) 解:(1)设 E 点的坐标为( x, y ),

? AE ?

1 ( AB ? AD) ,????????(2 分) 2

∴E 为 BD 的中点,OE 为△ABD 的中位线,

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? OE |? | 1 | AD |? 1 ,??????????(4 分) 2
2 2

即点 E 的轨迹方程是 x ? y ? 1( x ? ?1). ????????????(6 分) (2)设 l MN : y ? k ( x ? 2),由已知

| 2k | k ?1
2

? 1, 解得k ?

3 ,??????(6 分) 3

即 l MN : y ? ?

3 ( x ? 2). 3

又椭圆方程为

x2 y2 ? 2 ? 1, a2 a ? 4

? 3 ( x ? 2) ?y ? ? 由方程组 ? 3 ?(a 2 ? 4) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? 4) ?
得 4(a ? 3) x ? 4a x ? 16 a ? 3a ? 0. ??????(8 分)
2 2 2 2 4

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ), MN的中点P( x0 , y 0 ), 则 x0 ?

a2 . 2(3 ? a 2 )

a2 4 ? ? , 解得a 2 ? 8, 由已知 2 5 2(3 ? a )
故所求的椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. ????????????(14 分) 8 4

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