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人教版高二数学选修2-1试卷四套(答案)圆锥曲线方程 空间向量与立体几何


1 高二年级选修 2-1 理科数学试卷
一、选择题(每小题 4 分,共 8 小题,满分 32 分) 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题中,真命题的是 A.命题“若 ac ? bc ,则 a ? b ” B.命题“若 b ? 3 ,则 b 2 ? 9 ”的逆命题 C.命题“若 x ? ?3 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的否命

题 D.命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题 2. 抛物线 y 2 ? 4ax(a ? 0) 的焦点坐标是 A.( a , 0) B.(0, a )
1 ?1 的 a





( C. (- a , 0)



D.(0, - a ) ( )

3. 设 a ? R ,则 a ? 1 是 A.充分但不必要条件 C.充要条件

B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. 已知△ABC 的三个顶点为 A(3,3,2),B(4,-3,7),C(0,5,1), 则 BC 边上的中线长为 A.2 B.3 C.4 D.5
D1 A1 C1 B1





5. 如图:在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 为 A1C1 与

M

B1 D1 的交点。若 AB ? a , AD ? b , AA1 ? c 则下列向量中
与 BM 相等的向量是 ( )
A

D B

C

A. ? C. ?

1 1 a? b?c 2 2

B.

1 1 a? b?c 2 2

1 1 a? b?c 2 2

1 1 D. a ? b ? c 2 2

6. 已知△ABC 的周长为 20,且顶点 B (0,-4),C (0,4),则顶点 A 的轨迹方程是

第 1 页 共7 页

( A.
x2 y2 ? ? 1 (x≠0) 36 20



B.

y2 x2 ? ? 1 (x≠0) 20 6
x2 y2 ? ? 1 (x≠0) 20 6

C.

y2 x2 ? ? 1 (x≠0) 36 20

D.

7. 对于抛物线 C : y2 ? 4x ,我们称满足 y02 ? 4 x0 的点 M ( x0 , y0 ) ,在抛物线内部.若点

M ( x0 , y0 ) 在抛物线内部,则直线 y0 y ? 2( x ? x0 ) 与抛物线 C





A.恰有一个公共点 C.可能有一个公共点,也可能有两个公共点 8. 双曲线

B.恰有两个公共点 D.没有公共点

x2 y2 ? ? 1 左右焦点为 F1 , F2 , 若右支上存在点 P 满足 | PF 则双 1 |? 4 | PF 2 |, a2 b2

曲线的离心率的最大值为 A.
3 2


5 3

) D.4

B.

C. 2

二、填空题(每小题 4 分,共 6 小题,满分 24 分)
5 的双曲线方程是___________. 4 10. 已知 A(1,-2,11)、B(4,2,3)、C(x,y,15)三点共线,则 x y =___________.

9. 两个焦点坐标分别是 F1 (?5,0),F2 (5,0) ,离心率为

11. 如果椭圆 ____

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是 36 9
D1 A1 B1 C1

____ ___.

12.已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=AA1=1, ∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60?,则| AC1 |= .
A

D

C

B x2 y2 13. 已知点 F1、F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线 a b

与 椭 圆 交 于 A 、 B 两 点 , 若 △ ABF2 为 正 三 角 形 , 则 该 椭 圆 的 离 心 率 e 为 ___________. 14.下列四个命题中

第 2 页 共7 页

①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真;

?x ? 1 ?x ? y ? 3 ②? 是? 的充要条件; ? y ? 2 ? xy ? 2
③垂直于同一平面的所有向量一定共面;
3 1 1 ④对空间任意一点 O ,若满足 OP ? OA ? OB ? OC ,则 P, A, B, C 四点一定共面. 4 8 8

其中真命题的为

(将你认为是真命题的序号都填上)

三、解答题(共 5 小题,满分 44 分) 15.设 p :方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根,q :方程 4x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根, 若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围.

16.(本题满分 8 分) 已知椭圆 C 的两焦点分别为 F1 -2 2 , 0 、F2 2 2 , 0 ,长轴长为 6, (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知过点(0,2)且斜率为 1 的直线交椭圆 C 于 A 、B 两点,求线段 AB 的长度.

?

?

?

?

第 3 页 共7 页

17.如图,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是矩形,PA⊥平 面 ABCD,PA=AD=2,BD= 2 2 . (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)求二面角 P—CD—B 余弦值的大小; (3)求点 C 到平面 PBD 的距离.
B

P

A

D

C

18.已知直线 y ? x ? m 与抛物线 y 2 ? 2 x 相交于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两点,O 为坐标原点. (1)当 m ? 2 时,证明: OA ? OB ; (2)若 y1 y2 ? ?2m ,是否存在实数 m ,使得 OA ? OB ? ?1 ?若存在,求出 m 的值; 若不存在,请说明理由.

19.已知椭圆 C 经过点 A(1, (1) 求椭圆 C 的方程;

3 ),且两个焦点分别为(-1,0),(1,0). 2

(2)E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明 直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值.

第 4 页 共7 页

1 高二年级选修 2-1 理科数学试卷
一、选择题: DAABA CDB 二、填空题:9、
x2 y2 ? ?1 16 9

10、

2
3 3

11、

x ? 2y ? 8 ? 0

12、 6 三、解答题:

13、

14、① ③ ④

? ? ? m2 ? 4 ? 0 15、解:若方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根,则 ? ,???2 分 x ? x ? ? m ? 0 ? 1 2
所以 m ? 2 ,即 p : m ? 2 . ????????????????3 分

若方程 4x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,则 ? ? 16(m ? 2)2 ?16 ? 0 ,???4 分 即1 ? m ? 3 , 所以 p :1 ? m ? 3 . ?????????????5 分

因为 p ? q 为真,则 p, q 至少一个为真,又 p ? q 为假,则 p, q 至少一个为假. 所以 p, q 一真一假,即“ p 真 q 假”或“ p 假 q 真”.?????6 分

?m ? 2 ? m?2 所以 ? 或? ? m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3
所以 m ? 3 或 1 ? m ? 2 .

?????????????7 分

故实数 m 的取值范围为 (1, 2] [3, ??) .

???????????8 分

16、解:⑴由 F1 ? -2 2, 0 ?、F2 ? 2 2, 0 ? ,长轴长为 6 得: c ? 2 2, a ? 3 所以 b ? 1 ∴椭圆方程为 x ? y ? 1
9 1
2 2
2 2

⑵设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,由⑴可知椭圆方程为 x ? y ? 1 ①,
9 1

∵直线 AB 的方程为 y ? x ? 2 ② 把②代入①得化简并整理得 10 x2 ? 36 x ? 27 ? 0

第 5 页 共7 页

∴ x1 ? x2 ? ? 18 , x1 x2 ? 27
5 10

2 又 AB ? (1 ? 12 )(182 ? 4 ? 27 ) ? 6 3

5

10

5

17、解:方法一: 证:⑴在 Rt△BAD 中,AD=2,BD= 2 2 , ∴AB=2,ABCD 为正方形,因此 BD⊥AC. ∵PA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD,∴BD⊥PA . 又∵PA∩AC=A ∴BD⊥平面 PAC.

(2) 由 PA⊥面 ABCD,知 AD 为 PD 在平面 ABCD 的射影, (3) 又 CD⊥AD, ∴CD⊥PD, 知 ∠ PDA 为 二 面 角 P — CD — B 的 平 面 角 . 又 ∵ PA=AD , ∴ ∠ PDA=450 .

(3)∵PA=AB=AD=2,∴PB=PD=BD= 2 2 ,设 C 到面 PBD 的距离为 d,
1 1 由 VP?BCD ? VC ?PBD ,有 S?BCD PA ? S ?PBD d , 3 3 2 1 1 1 1 3 即 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? (2 2) 2 sin 600 ? d ,得 d ? 3 3 2 3 2

z P

方法二:证:(1)建立如图所示的直角坐标系, 则 A(0,0,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2).??????2 分 在 Rt△BAD 中,AD=2,BD= 2 2 , ∴AB=2.∴B(2,0,0)、C(2,2,0), ∴ AP ? (0,0,2), AC ? (2,2,0), BD ? (?2,2,0) ∵ BD AP ? 0, BD AC ? 0 , B
x C A Dy

B

即 BD ⊥ AP , BD ⊥ AC , 又 AP ∩ AC=A , ∴ BD ⊥ 平 面 PAC. ? ? ? ? 4 分

(2)由(1)得 PD ? (0,2,?2),CD ? (?2,0,0) . 设平面 PCD 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,则 n1 PD ? 0, n1 CD ? 0 ,

?x ? 0 ?0 ? 2 y ? 2 z ? 0 即 ? ,∴ ? ?y ? z ?? 2 x ? 0 ? 0 ? 0

故 平 面 PCD 的 法 向 量 可 取 为 n1 ? (0,1,1)

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∵PA⊥平面 ABCD,∴ AP ? (0,01) 为平面 ABCD 的法向量. 设二面角 P—CD—B 的大小为?,依题意可得 cos ? ?
n1 AP n1 AP

?????????6 分
2 2

?

?????7 分

所 以 , 二 面 角 P — CD — B 的 大 小 为

450 .

? ? ? ? ? 8 分

(3)由(Ⅰ)得 PB ? (2,0,?2), PD ? (0,2,?2) , 设平面 PBD 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) ,

?2 x ? 0 ? 2 z ? 0 则 n2 PB ? 0, n2 PD ? 0 ,即 ? , ?0 ? 2 y ? 2 z ? 0
∴x=y=z,故可取为 n2 ? (1,1,1) . ?????10 分
n2 PC n2 2 3 3

∵ PC ? (2,2,?2) ,∴C 到面 PBD 的距离为 d ?

?

???????12 分

? y ? x ? 2, 2 18.解:(1)当 m ? 2 时,由 ? 2 得 x ? 6x ? 4 ? 0 , y ? 2 x , ?
解得 x1 ? 3 ? 5, x2 ? 3 ? 5 ,??????????2 分 因此 y1 ? 1 ? 5, y2 ? 1 ? 5 . 于是 x1 x2 ? y1 y2 ? (3 ? 5)(3 ? 5) ? (1 ? 5)(1 ? 5) ? 0 ,?????????4 分 即 OA ? OB ? 0 .所以 OA ? OB . (2)假设存在实数 m 满足题意,由于 A, B 两点在抛物线上,故
2 ? 1 ? y1 ? 2 x1, 因此 x1 x2 ? ( y1 y2 ) 2 ? m 2 . ? 2 4 ? ? y2 ? 2 x2,

??????????5 分

所以 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? m2 ? 2m .??????????6 分 由 OA ? OB ? ?1 ,即 m2 ? 2m ? ?1 ,得 m ? 1 .??????????7 分

第 7 页 共7 页

又当 m ? 1 时,经验证直线与抛物线有两个交点, 所以存在实数 m ? 1 ,使得 OA ? OB ? ?1 .??????????8 分
x2 y2 ? ? 1。 19.解:(Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为 1 ? b 2 4b 2

因为 A 在椭圆上,所以

1 9 3 ? 2 ? 1 ,解得 b2 =3, b2 = ? (舍去)。 2 4 1? b 4b

所 以 椭 圆 方 程 为

x2 y 2 ? ?1 . — — — — — — — — 3 4 3



3 x2 y 2 ? 1得 (Ⅱ)设直线 AE 方程:得 y ? k ( x ? 1) ? ,代入 ? 2 4 3
3 (3+4k 2)x 2 +4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2

设 E( xE , yE ),F( xF , yF ).因为点 A(1,

3 )在椭圆上,所以 2

3 4( ? k )2 ? 12 , xE ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? kxE ? ? k 。 2 3 4( ? k )2 ? 12 , xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yF ? ? kxF ? ? k 。 2
所以直线 EF 的斜率 kEF ?

————————6 分

又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以 ? k 代 k ,可得 ————————7 分

yF ? yE ?k ( xF ? xE ) ? 2k 1 ? ? ———————8 分 xF ? xE xF ? xE 2
1 . 2

即直线 EF 的斜率为定值,其值为

第 8 页 共7 页

2 高中数学选修2-1圆锥曲线与方程单元测试
一、选择题 1、抛物线顶点是坐标原点,焦点是椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 1的一个焦点,则此抛物线的焦点到准 线的距离是( (A) 2 3 ) (B) 3 (C)

3 2

(D)

3 4


2、直线 y ? kx ? 1(k ? R) 与椭圆 (A)[1,5)∪(5,+∞) (C) ?1,???

x2 y 2 ? ? 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是( 5 m
(B)(0,5) (D) (1,5)

3、已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F( 7 ,0),直线 y ? x ? 1 与其相交于 M、N 两 点,MN 中点的横坐标为 ?
2 2 (A) x ? y ? 1 3 4 2 x y2 (C) ? ?1 5 2

2 ,则此双曲线的方程是( 3
(B)
x2 y2 ? ?1 4 3 x2 y2 (D) ? ?1 2 5



x2 y2 ? 2 ? 1 的一条准线与抛物线 y2=8x 的准线重合,则双曲线的离心率为 4、 若双曲线 8 b
( ) (A)

2

(B) 2 2

(C) 4

(D) 4 2 )

5、 过定点 P(0,2)作直线 l, 使 l 与曲线 y2=4(x-1)有且仅有 1 个公共点, 这样的直线 l 共有 ( (A) 1 条 (B) 2 条 (C) 3 条 (D) 4 条

第 9 页 共7 页

6. 已知 F1、F2 为双曲线

x2 y2 ? =1(a>0,b>0)的焦点,过 F2 作垂直于 x 轴的直线,它与 a2 b2


双曲线的一个交点为 P,且∠PF1F2=30°,则双曲线的渐近线方程为( (A) y=±

2 x 2
3 x 3

(B) y=± 3 x

(C)

y=±

(D) y=± 2 x

7、已知 A、B、C 三点在曲线 y ? 面积最大时,m 的值为( (A) 3 (B) )

x上,其横坐标依次为 1 ,m, 4(1 ? m ? 4),当?ABC 的

5 2

(C)

9 4

(D)

3 2

8、在椭圆 的点 P 有( (A) 2 个

x2 y2 ? ? 1有一点P, F1, F2 是椭圆的左右焦点 , ?F1 PF2 为直角三角形,则这样 45 20
) (B) 4 个 (C)6 个 ( D) 8 个

x2 y2 x2 y2 9、已知双曲线 2 ? 2 ? 1和椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? 0, m ? b ? 0) 的离心率互为倒数,那么 a b m b
以 a, b, m 为边长的三角形是( (A)锐角三角形 ) (C)钝角三角形 (D)锐或钝角三角形

(B)直角三角形

10、设点 P 为双曲线

x2 ? y 2 ? 1 右支上除顶点外的任意一点, F1,F2 为其两焦点,则 4
) (B)直线 x ? 1 上 (D)直线 y ? x 上

?F1 PF2的内心M 在(
(A)直线 x ? 2 上 (C) 直线 y ? 2 x 上 二.填空题 11、已知椭圆 a 2 x 2 ?

a 2 y ? 1的焦距为 4,则 a的值为 ____________ 2

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12、双曲线 y ?

1 的焦距为 ________. x

13.对任意实数 K,直线: y ? kx ? b 与椭圆: ? 共点,则 b 取值范围是_____________ 14、 设 F 是椭圆

? ? x ? 3 ? 2 cos ? (0 ? ? ? 2? ) 恰有一个公 y ? 1 ? 4sin ? ? ?

x2 y2 ? ? 1 的右焦点, 且椭圆上至少有 21 个不同的点 P( 2、 3、 …) , i i=1、 7 6
.

P1 F , P2 F , P3 F ,?组成公差为 d 的等差数列,则实数 d 的取值范围是
三、解答题

15、已知椭圆 C 的焦点分别为 F1(-2 2 ,0)和 F2(2 2 ,0),长轴长为 6,设直线 y=x+2 交椭 圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标。 16、如图,线段 AB 过 x 轴正半轴上一定点 M(m,0),端点 A、B 到 x 轴的距离之积为 2m, 以 x 轴为对称轴,过 A、O、B 三点作抛物线,求该抛物线的方程。

17、.直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C: 2 x 2 ? y 2 ? 1 的右支交于不同的两点 A、B。 (Ⅰ)求实数 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数 k ,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在, 求出 k 的值。若不存在,说明理由。

18、如图,P 为双曲线

x2 y2 ? ? 1(a、b 为正常数)上任一点,过 P 点作直线分别与双曲 a 2 b2

第 11 页 共 7 页

线的两渐近线相交于 A、B 两点.若



(1)求证:A、B 两点的横坐标之积为常数; (2)求△AOB 的面积(其中 O 为原点).

19、设 x 、y∈R,i、j 为直角坐标平面内 x 、 y 轴正方向上的单位向量,向量 a=xi+(y+ 2)j,b=xi+(y-2)j ,且| a |+| b |=8. (1)求点 M (x,y)的轨迹 C 的方程; (2)过点(0,3)作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,设 OP ? OA ? OB ,是否存在这样的直线

l ,使得四边形 OAPB 是矩形?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,试说明理由.

20、在△ ABC 中,A 点的坐标为(0,3),BC 边的长为 2,且 BC 在 x 轴上的区间[-3, 3]上滑动. (1)求△ ABC 的外心 P 的轨迹方程; (2)设直线 l:y=

1 | EF | x+b 与 P 的轨迹交于 E、F 点,原点 O 到直线 l 的距离为 d,求 3 d

的最大值,并求此时 b 的值.

第 12 页 共 7 页

2 参考答案
一、选择题 BADAC DCDBA

二、填空题 11.

1? 5 4

12. 4

13. b=1或3

14. [ ?

1 1 , 0] ? (0, ] 10 10

三、解答题

x2 y2 15. .解 设椭圆 C 的方程为 2 + 2 =1, a b
由题意知 a=3,c=2 2 ,于是 b=1。 ∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1。 9

?y ? x ? 2 ? 由 ? x2 2 ? ? y ?1 9 ?

得 10x2+36x+27=0

因为该二次方程的判别式△>0,所以直线与椭圆有两个不同交点。 设 A(x1,y1),B(x2,y2) 则 x1+x2= -

18 , 5
9 1 , )。 5 5
① ②

故线段 AB 的中点坐标为(-

16. 解 设所求抛物线方程为 y2=2px(p>0)。

若 AB 不垂直于 x 轴,设直线 AB 的方程为:y=k(x-m)(k≠0), 由①,②消去 x,得 y2-

2p y-2pm=0 k



设 A、B 的坐标分别为 A(

a2 b2 ,a),B( ,b)。 2p 2p

则 a,b 是方程③的两个根。 ∴ab= -2pm,

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又|a|· |b|=2m,即 ab=-2m, ∴由-2pm= -2m(m>0)得 p=1, 则所求抛物线方程为 y2=2x。 若 AB 垂直于 x 轴,直线 AB 的方程为 x=m,A、B 两点关于 x 轴对称,
2 故 yA =2pm,2m=2pm,

又 m≠0,∴p=1, 则所求抛物线方程为 y2=2x。 综上,所求抛物线方程为 y2=2x。 17. 解:(Ⅰ)将直线 l 的方程 y ? kx ? 1 代入双曲线 C 的方程 2 x 2 ? y 2 ? 1 后,整理得

(k 2 ? 2) x 2 ? 2kx ? 2 ? 0 。…………①
? k2 ? 2 ? 0 ? 2 2 ?? ? (2k ) ? 8(k ? 2) ? 0 ? 2k 依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点,则 ? ? 2 ?0 k ?2 ? ? 2 ?0 ? 2 k ?2 ?
解得 k 的取值范围为 ? 2 ? k ? ? 2 。 (Ⅱ)设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) ,则由①得

2k ? x1 ? x2 ? ? ? 2 ? k2 ? ? x ?x ? 2 ? 1 2 k2 ? 2 ?



假设存在实数 k ,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F(c,0),则由 FA ⊥FB 得

( x1 ? c)(x2 ? c) ? y1 y2 ? 0 。
既 ( x1 ? c)(x2 ? c) ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? 0 。 整理得 (k 2 ? 1) x1 x2 ? (k ? c)(x1 ? x2 ) ? c 2 ? 1 ? 0 。?? ③

第 14 页 共 7 页

把②式及 c ?

6 代入③式化简得 5k 2 ? 2 6k ? 6 ? 0 。 2

解得 k ? ?

6? 6 6? 6 或k ? ? (?2,? 2 ) (舍去)。 5 5 6? 6 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点。 5

可知 k ? ?

18. 解:(1)设 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 )、P( x0 , y0 ).

AP x ? 2 x2 y ? 2 y2 b ?b ? 2 ,所以 1 ? x0 , 1 ? y0 .又 y1 ? x1 , y 2 ? x2 . PB a 3 3 a b b ( x1 ? 2 x2 ) . 所以 y1 ? 2 y2 ? ( x1 ? 2 x2 ) .从而 y0 ? a 3a
因为 又因为 P 点在双曲线上.所以
2 2 x0 y0 ? ?1, a 2 b2

( x1 ? 2 x2 ) 2 ( x1 ? 2 x2 ) 2 9 ? 1 ? x1 x2 ? a 2 为常数. ? 2 2 8 9a 9a
(2)又∠ AOX ? ? ,则 tan? ?

b , | OA |? x1 , | OB |? x2 a cos? cos?

S?AOB ?

x 1 1 x | OA | ? | OB | ?sin 2? ? ? 1 ? 2 ? sin 2? 2 2 cos ? cos ?
9 2 b 9 a ? ? ab 8 a 8

? x1 x2 tan ? ?

19. 解:(1)∵a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j ,且| a |+| b |=8 ∴点 M(x,y)到两个定点 F1(0,-2),F2(0,2)的距离之和为 8 ∴轨迹 C 为以 F1,F2 为焦点的椭圆,方程为
x2 y2 ? ?1 12 16

(2) l 过 y 轴上的点(0,3),若直线 l 是 y 轴,则 A、B 两点是椭圆的顶点 ∴ OP ? OA ? OB ? 0,∴P 与 O 重合,与四边形 OAPB 是矩形矛盾. ∴直线 l 的斜率存在,设 l 方程为 y=kx+3,A(x1,y1),B (x2,y2)

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? y ? kx ? 3 ? 由 ? x2 得: (4 ? 3k 2 ) x2 ? 18kx ? 21 ? 0 y2 ? ?1 ? ? 12 16
此时, ? ? (18k ) 2 ? 4(4 ? 3k 2 )(?21) ? 0 恒成立, 且 x1 ? x2 ? ?

18k 21 , x1x2 ? ? 2 4 ? 3k 4 ? 3k 2

∵ OP ? OA ? OB ,∴四边形 OAPB 是平行四边 若存在直线 l ,使得四边形 OAPB 是矩形,则 OA⊥OB,即 OA ? OB ? 0 ∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 即 (1 ? k 2 ) x1x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 9 ? 0 解得: k ? ?
5 4 5 x ? 3 ,使得四边形 OAPB 是矩形. 4

?

(1 ? k 2 )(?

21 18k ) ? 3k (? )?9?0 2 4 ? 3k 4 ? 3k 2

∴存在直线 l: y ? ?

20. 解:(1)设 B,C 的坐标分别为 B(t,0),C(t-2,0)(-1≤t≤3), 则线段 BC 的中垂线方程为 x=t-1, ①

t 3 3 , ),AB 斜率为 (t≠0), 2 2 ?t 3 t t 所以线段 AB 的中垂线方程为 y- = (x- ) ② 2 3 2
AB 中点( 由①②得:x2=6y-8(-2≤x≤2 且 x≠-1) ③ 当 x=-1 时,t=0 时,三角形外心 P 为(-1, 所以 P 点的轨迹为 x2=6y-8(-2≤x≤2)

3 ),适合③; 2

1 ? ?y ? x ? b (2)由 ? 得 x2-2x-6b+8=0(-2≤x≤2) ④ 3 ?x 2 ? 6 y ? 8 ?
x1x2=8-6b,x1+x2=2
2 所以|EF|= 1 ? ( )

1 3

( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 =

2 10 6b ? 7 3

第 16 页 共 7 页

2 10 6b ? 7 | EF | ? 3 又因为 d= | EF | ,所以 3|b| 10 d 10
=

20 ? 7 6 20 ? = 9 b2 b 9

1 3 9 ? 7( ? ) 2 ? b 7 7

因方程④有两个不相同的实数根,设 f(x)=x2-2x-6b+8

?? ? 0 7 4 3 1 6 ? ? f ( 2) ? 0 ,∴ <b≤ , ≤ < . 6 3 4 b 7 ? f ( ?2 ) ? 0 ?
| EF | 1 3 5 = 时,( )max= . b 4 3 d | EF | 4 5 所以 的最大值是 ,此时 b= . 3 3 d


3 选修 2-1 第三章《空间向量与立体几何》基础训练题
一、选择题 1 下列各组向量中不平行的是(
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) B
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A C 2
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? ? a ? (1,2,?2),b ? (?2,?4,4) ? ? e ? (2,3,0), f ? (0,0,0)

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? ? c ? (1,0,0), d ? (?3,0,0)
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D

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? ? g ? (?2,3,5), h ? (16,24,40)


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已知点 A(?3,1, ?4) ,则点 A 关于 x 轴对称的点的坐标为(
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A 3
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(?3,?1,4)

B

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(?3,?1,?4) C

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(3,1,4)
?

D

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(3,?1,?4)
8 ,则 ? 等于( 9


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若向量 a ? (1, ?,2),b ? (2,?1,2) ,且 a 与 b 的夹角余弦为
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?

?

?

A

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2

B

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?2或

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D

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2 或?

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若 A (1,?2,1) ,B (4,2,3) ,C (6,?1,4) ,则△ABC 的形状是(
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) D
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A 5
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不等边锐角三角形

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? 若 A ( x,5 ? x,2 x ? 1) ,B (1, x ? 2,2 ? x) ,当 AB 取最小值时, x 的值等于(
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B

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直角三角形 C

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钝角三角形

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等边三角形 )

A 6
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B

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?

8 7

C

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8 7

D

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19 14

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空间四边形 OABC 中, OB ? OC , ?AOB ? ?AOC ?

?
3

,则 cos < OA, BC >的值是(



A

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1 2

B

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2 2

C

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1 2

D

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0


7. 设 a,b,c 表示三条直线, ?, ? 表示两个平面,下列命题中不正确的是(

a ? ?? A. ??a?? ? // ? ?
? ? C. b在?内 ? ? c // ? c不在?内? ? b // c
8
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? ? B. b在?内 ??b?c c是a在?内的射影? ?
D.

a?b

a // ? ? ??b ?? b ? a?

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已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长是 1 ,则直线 DA 1 与 AC 间的距离为

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A

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1 2

B

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2 2

C

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1 2

D

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3 3

19 5 5 ? ) , B (1, ?1, ) , C ( ?2,1, ) 是平面 ? 内的三点,设平面 ? 的法向量 a ? ( x, y, z ) , 8 8 8 则 x : y : z ? ________________ 1 A 2 : 3 :?( 4 ) B 1:1:1 C - :1:1 D 3:2:4 2
9
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若 A(0, 2,

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10. 如图: 在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 若 AB M 为 A1C1 与 B1 D1 的交点。

? a ,AD ? b ,

AA1 ? c ,则下列向量中与 BM 相等的向量是(


D1 A1 M B1 C1

D A B

C

第 18 页 共 7 页

( A) ? (C ) ?
二、填空题 11 12 13 14 15
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1 1 a? b ?c 2 2 1 1 a? b ?c 2 2
? ?

( B)

1 1 a? b ?c 2 2
1 1 a? b?c 2 2

(D)

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若向量 a ? (4,2,?4),b ? (6,?3,2) ,则 (2a ? 3b ) (a ? 2b ) ? __________________

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若向量 a ? 2i ? j ? k , b ? 4i ? 9 j ? k , ,则这两个向量的位置关系是___________

?

?

?

? ? ?

?

?

?

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已知向量 a ? (2,?1,3),b ? (?4,2, x) ,若 a ? b ,则 x ? ______;若 a // b 则 x ? ______ 已知向量 a ? mi ? 5 j ? k , b ? 3i ? j ? rk , 若 a // b 则实数 m ? ______, r ? _______ 若 (a ? 3b ) ? (7a ? 5b ) ,且 (a ? 4b ) ? (7a ? 5b ) ,则 a 与 b 的夹角为____________

?

?

?

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?

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?

? ?

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?

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?

?

?

?

?

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3 选修 2-1 第三章《空间向量与立体几何》基础训练题

参考答案
一、选择题

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1 2 3

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D

b ? ?2a ? a // b; d ? ?3c ? d // c; 而零向量与任何向量都平行
6??
2

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A 关于某轴对称,则某坐标不变,其余全部改变 C

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cos ? a, b ??

ab a b

?

8 2 ? , ? ? ?2, 或 55 3 ? ?5 9

4

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A

AB ? (3, 4, 2), AC ? (5,1,3), BC ? (2, ?3,1) , AB AC ? 0 ,得 A 为锐角;
CA CB ? 0 ,得 C 为锐角; BA BC ? 0 ,得 B 为锐角;所以为锐角三角形

5

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C

AB ? (1 ? x, 2 x ? 3, ?3x ? 3), AB ? (1 ? x)2 ? (2 x ? 3)2 ? (?3x ? 3)2

? 14x2 ? 32x ?19 ,当 x ?
OA BC OA BC

? 8 时, AB 取最小值 7

6

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D cos ? OA, BC ??

?

OA (OC ? OB) OA BC

?

OA OC cos

?

3 OA BC

? OA OB cos

?
3 ?0

7.D 8.D

A(0,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), A1(0,0,1), AC ? (1,1,0), DA1 ? (0, ?1,1)
设 MN ? ( x, y, z), MN ? AC, MN ? DA 1 , x ? y ? 0, ? y ? z ? 0, 令y ? t 则 MN ? (?t , t , t ) ,而另可设 M (m, m,0), N (0, a, b), MN ? (?m, a ? m, b)

? ? m ? ?t 1 1 1 1 1 1 1 3 ? ? ? ? ?a ? m ? t , N (0, 2t , t ), 2t ? t ? 1, t ? , MN ? (? , , ), MN ? 3 3 3 3 9 9 9 3 ?b ? t ?
9.A

7 7 AB ? (1, ?3, ? ), AC ? (?2, ?1, ? ), ? AB ? 0, ? AC ? 0, 4 4

2 ? x? y ? 2 4 ? 3 , x : y : z ? y : y : (? y ) ? 2 : 3 : ( ?4) ? 3 3 ?z ? ? 4 y ? 3 ?
10.A 二、填空题 1 2
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? 212
垂直

2a ? 3b ? (?10,13, ?14) , a ? 2b ? (16, ?4,0) a ? (2, ?1,1), b ? (4,9,1), a b ? 0 ? a ? b

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? ? 10 10 , ?6 若 a ? b ,则 ?8 ? 2 ? 3 x ? 0, x ? ;若 a // b ,则 2 : (?4) ? (?1) : 2 ? 3: x, x ? ?6 3 3 1 m 5 ?1 1 1 5? , a ? (m,5, ?1), b ? (3,1, r ), ? ? , m ? 15, r ? ? 5 3 1 r 5
0 7 a ? 16a b ? 15b ? 0, 7 a ? 33a b ? 20b ? 0, 得49a b ? 35b , 49a ? 35a b
2 2 2 2 2 2

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35 2 b 35 2 35 a b 49 35 b a b ? b , ? , cos ? a, b ?? ? ? ?1 49 49 a b 49 a b a b a

4 (数学选修 2-1)第三章 空间向量与立体几何解答题精选
1
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已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB // DC ,

1 ?DAB ? 90? , PA ? 底面 ABCD ,且 PA ? AD ? DC ? , 2 AB ? 1 , M 是 PB 的中点 (Ⅰ)证明:面 PAD ? 面 PCD ; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小
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如图,在四棱锥 V ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形, 平面 VAD ? 底面 ABCD (Ⅰ)证明: AB ? 平面 VAD ; (Ⅱ)求面 VAD 与面 DB 所成的二面角的大小
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V D A B
如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, 侧棱 PA ? 底面 ABCD , AB ? 3 , BC ? 1 , PA ? 2 ,

C

3

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E 为 PD 的中点

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(Ⅰ)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅱ)在侧面 PAB 内找一点 N ,使 NE ? 面 PAC ,

第 21 页 共 7 页

并求出点 N 到 AB 和 AP 的距离

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如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的,其中

AB ? 4, BC ? 2, CC1 ? 3, BE ? 1
(Ⅰ)求 BF 的长;

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(Ⅱ)求点 C 到平面 AEC1F 的距离

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AD 上移动 如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,中, AD ? AA 1 ? 1, AB ? 2 ,点 E 在棱

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(1)

证明: D1E ? A 1D ; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3) AE 等于何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为

? 4

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AB ? 侧面 BB1C1C , E 为棱 CC1 上异于 C , C1 的一点, 如图,在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,

EA ? EB1 ,已知 AB ? 2, BB1 ? 2, BC ? 1, ?BCC1 ?
(Ⅰ)异面直线 AB 与 EB1 的距离;

?
3

,求:

第 22 页 共 7 页

(Ⅱ)二面角 A ? EB1 ? A1 的平面角的正切值

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如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PD ? 底面 ABCD , E 是 AB 上 一点, PF ? EC
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已知 PD ?

2 , CD ? 2, AE ?

1 , 2

求(Ⅰ)异面直线 PD 与 EC 的距离; (Ⅱ)二面角 E ? PC ? D 的大小
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证明:以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为

1 A(0, 0, 0), B(0, 2, 0), C (1,1, 0), D(1, 0, 0), P(0, 0,1), M (0,1, ) 2

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(Ⅰ)证明:因 AP ? (0,0,1), DC ? (0,1,0),故AP ? DC ? 0, 所以AP ? DC. 由题设知 AD ? DC ,且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线,由此得 DC ? 面 PAD DC 在面 PCD 上,故面 PAD ⊥面 PCD
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(Ⅱ)解:因 AC ? (1,1,0), PB ? (0,2,?1),

故 | AC |? 2 , | PB |? 5 , AC ? PB ? 2, 所以 cos ? AC, PB ?? AC ? PB | AC | ? | PB | ? 10 . 5

(Ⅲ)解:在 MC 上取一点 N ( x, y, z ) ,则存在 ? ? R, 使 NC ? ? MC,

1 1 NC ? (1 ? x,1 ? y,? z ), MC ? (1,0,? ),? x ? 1 ? ? , y ? 1, z ? ?.. 2 2 1 4 要使 AN ? MC , 只需 AN MC ? 0即x ? z ? 0, 解得? ? . 2 5

第 23 页 共 7 页

4 1 2 可知当? ? 时, N点坐标为( ,1, ),能使 AN ? MC ? 0. 5 5 5 1 2 1 2 此时, AN ? ( ,1, ), BN ? ( ,?1, ), 有 BN ? MC ? 0 5 5 5 5

由AN ? MC ? 0, BN ? MC ? 0得AN ? MC, BN ? MC.所以?ANB 为
所求二面角的平面角
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30 30 4 ,| BN |? , AN BN ? ? . 5 5 5 AN BN 2 ? cos( AN , BN ) ? ?? . 3 | AN | ? | BN | 2 故所求的二面角为arccos(? ). 3 2 证明:以 D 为坐标原点,建立如图所示的坐标图系 | AN |?
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(Ⅰ)证明:不防设作 A(1, 0, 0) ,

则 B(1,1, 0) , V ( ,0,

1 2

3 ), 2

1 3 AB ? (0,1,0),VA ? ( ,0,? ) 2 2
B ? A D 由 AB ? VA ? 0, 得 AB ? VA , 又A
垂直
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, 因而 AB 与平面 VAD 内两条相交直线 VA ,AD 都

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∴ AB ? 平面 VAD

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(Ⅱ)解:设 E 为 DV 中点,则 E ( ,0,

1 4

3 ), 4

3 3 3 3 1 3 EA ? ( ,0,? ), EB ? ( ,1,? ), DV ? ( ,0, ). 4 4 4 4 2 2
由 EB ? DV ? 0, 得EB ? DV , 又EA ? DV. 因此, ?AEB 是所求二面角的平面角,

cos( EA, EB ) ?

EA ? EB | EA | ? | EB |

?

21 , 7

解得所求二面角的大小为 arccos 21 . 7 3
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如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,

第 24 页 共 7 页

侧棱 PA ? 底面 ABCD , AB ? 3 , BC ? 1 , PA ? 2 ,

E 为 PD 的中点

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解:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A, B, C, D, P, E 的坐标为 A(0, 0, 0) 、

B( 3,0,0) 、 C ( 3,1,0) 、 D(0,1, 0) 、
1 P(0, 0, 2) 、 E (0, ,1) , 2
从而 AC ? ( 3,1,0), PB ? ( 3,0,?2). 设 AC与PB 的夹角为 ? ,则

cos ? ?

AC ? PB | AC | ? | PB |

?

3 2 7

?

3 7 , 14

∴ AC 与 PB 所成角的余弦值为

3 7 14

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(Ⅱ)由于 N 点在侧面 PAB 内,故可设 N 点坐标为 ( x, 0, z ) ,则

1 NE ? (? x, ,1 ? z ) ,由 NE ? 面 PAC 可得, 2
? ? NE ? AP ? 0, ? ? ? NE ? AC ? 0. 1 ? (? x, ,1 ? z ) ? (0,0,2) ? 0, ? z ? 1 ? 0, ? ? ? 2 即? 化简得? 1 1 ? 3 x ? ? 0. ?(? x, ,1 ? z ) ? ( 3 ,1,0) ? 0. ? 2 ? ? 2 ?

? 3 ?x ? ∴? 6 ?z ? 1 ?

即 N 点的坐标为 (

3 3 ,0,1) ,从而 N 点到 AB 和 AP 的距离分别为 1, 6 6

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4 解:(I)建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0) , B(2, 4,0)
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A(2,0,0), C(0, 4,0), E(2, 4,1), C1 (0, 4,3) 设 F (0,0, z)
∵ AEC1F 为平行四边形,

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?由AEC1 F为平行四边形 , ?由AF ? EC1得, (?2,0, z ) ? (?2,0,2), ? z ? 2. ? F (0,0,2). ? EF ? (?2,?4,2). 于是 | BF |? 2 6 , 即BF的长为2 6 .
(II)设 n1 为平面 AEC1F 的法向量,

显然n1不垂直于平面 ADF, 故可设n1 ? ( x, y,1)
? ?n1 ? AE ? 0, ?0 ? x ? 4 ? y ? 1 ? 0 由? 得? ? 2? x ? 0? y ? 2 ? 0 ? ?n1 ? AF ? 0, ?
? x ? 1, ?4 y ? 1 ? 0, ? 即? ?? 1 ?? 2 x ? 2 ? 0, ? y ? ? . 4 ?

又CC1 ? (0,0,3),设CC1与n1 的夹角为 ? ,则
cos? ? CC1 ? n1 | CC1 | ? | n1 | ? 3 3? 1? 1 ?1 16 ? 4 33 . 33

∴ C 到平面 AEC1F 的距离为

d ?| CC1 | cos? ? 3 ?
5
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4 33 4 33 ? . 33 11

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解:以 D 为坐标原点,直线 DA, DC, DD1 分别为 x, y , z 轴,建立空间直角坐标系,设 AE ? x ,则

A1 (1,0,1), D1 (0,0,1), E(1, x,0), A(1,0,0), C(0, 2,0)
(1) 因为DA ,0,1), (1, x,?1) ? 0, 所以DA1 ? D1 E. 1, D 1 E ? (1

第 26 页 共 7 页

(2)因为 E 为 AB 的中点,则 E (1,1, 0) ,从而 D1 E ? (1,1,?1), AC ? (?1,2,0) ,

? ?n ? AC ? 0, AD1 ? (?1,0,1) ,设平面 ACD1 的法向量为 n ? (a, b, c) ,则 ? ? ?n ? AD1 ? 0,
也即 ?

?? a ? 2b ? 0 ?a ? 2b ,得 ? ,从而 n ? (2,1,2) ,所以点 E 到平面 ACD1 的距离为 ?? a ? c ? 0 ?a ? c
? 2 ?1? 2 1 ? . 3 3

h?

| D1 E ? n | |n|

(3)设平面 D1EC 的法向量 n ? (a, b, c) ,∴ CE ? (1, x ? 2,0), D1C ? (0,2,?1), DD1 ? (0,0,1), 由?

? ?n ? D1C ? 0,

?2b ? c ? 0 令 b ? 1,? c ? 2, a ? 2 ? x , ?? a ? b( x ? 2) ? 0. ? ? n ? CE ? 0 , ?

∴ n ? (2 ? x,1,2). 依题意 cos

?
4

?

| n ? DD1 | | n | ? | DD1 |

?

2 2 2 ? ? . 2 2 2 ( x ? 2) ? 5
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∴ x1 ? 2 ? 3 (不合,舍去), x2 ? 2 ? 3

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∴ AE ? 2 ? 3 时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为
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? 4

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6 解:(I)以 B 为原点, BB1 、 BA 分别为 y , z 轴建立空间直角坐标系
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由于, AB ?

2, BB1 ? 2, BC ? 1, ?BCC1 ?

?
3

在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中有

B(0,0,0), A(0,0, 2), B1 (0,2,0) , C (

3 1 3 3 ,? ,0), C1 ( , ,0) 2 2 2 2

设 E(

3 , a,0),由EA ? EB1 , 得EA ? EB1 ? 0,即 2 3 3 , ? a, 2 ) ? ( ? ,2 ? a,0) 2 2

0 ? (?
?

3 3 ? a(a ? 2) ? a 2 ? 2a ? , 4 4

第 27 页 共 7 页

1 3 1 3 3 1 得(a ? )(a ? ) ? 0,即a ? 或a ? (舍去),故E ( , ,0) 2 2 2 2 2 2 3 1 3 3 3 3 BE ? EB1 ? ( , ,0) ? (? ? ? 0) ? ? ? ? 0,即BE ? EB1 . 2 2 2 2 4 4
又 AB ? 侧面 BB1C1C ,故 AB ? BE 则 | BE |?
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因此 BE 是异面直线 AB, EB1 的公垂线,

3 1 ? ? 1 ,故异面直线 AB, EB1 的距离为1 4 4

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( II ) 由 已 知 有 EA ? EB1 , B1 A1 ? EB1 , 故 二 面 角 A ? EB1 ? A1 的 平 面 角 ? 的 大 小 为 向 量

B1 A1与EA 的夹角

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因B1 A1 ? BA ? (0,0, 2 ), EA ? (? 故 cos? ? 即 tan? ?
7
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3 1 ,? , 2 ), 2 2

EA ? B1 A1 | EA || B1 A1 | 2 . 2

?

2 3

,

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如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PD ? 底面 ABCD , E 是 AB 上 一点, PF ? EC
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已知 PD ?

2 , CD ? 2, AE ?

1 , 2

求(Ⅰ)异面直线 PD 与 EC 的距离; (Ⅱ)二面角 E ? PC ? D 的大小
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解:(Ⅰ)以 D 为原点, DA 、 DC 、 DP 分别为

x, y , z 轴建立空间直角坐标系

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由已知可得 D(0,0,0), P(0,0, 2), C(0, 2,0) 设 A( x,0,0)(x ? 0),则B( x,2,0),

1 1 3 E ( x, ,0), PE ? ( x, ,? 2 ), CE ? ( x,? ,0). 2 2 2
即x ?
2

由 PE ? CE得PE ? CE ? 0 ,

3 3 3 1 3 3 ? 0, 故x ? . 由 DE ? CE ? ( , ,0) ? ( ,? ,0) ? 0得DE ? CE , 4 2 2 2 2 2

又 PD ? DE ,故 DE 是异面直线 PD 与 CE 的公垂线,易得 | DE |? 1 ,故异面直线

PD , CE 的距离为 1

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(Ⅱ)作 DG ? PC ,可设 G(0, y, z ) 即z?

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由 DG ? PC ? 0 得 (0, y, z) ? (0,2,? 2 ) ? 0

2 y, 故可取DG ? (0,1, 2 ), 作 EF ? PC 于 F ,设 F (0, m, n) ,
3 1 , m ? , n). 2 2

则 EF ? (?

由 EF ? PC ? 0得(?

3 1 , m ? , n) ? (0, 2, ? 2) ? 0, 即2m ? 1 ? 2n ? 0 , 2 2 2 2 3 1 2 m ? 2, 故m ? 1, n ? , EF ? (? , , ). 2 2 2 2 2
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又由 F 在 PC 上得 n ? ?

因 EF ? PC, DG ? PC, 故 E ? PC ? D 的平面角 ? 的大小为向量 EF与DG 的夹角 故 cos ? ?

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DG ? EF 2 ? ? ,? ? , 4 | DG || EF | 2

即二面角 E ? PC ? D 的大小为

? . 4

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