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空间几何体的结构特征及三视图和直观图 教案




空间几何体的结构特征及三视图和直观图
适用学科 适用区域 知识点
数学 新课标

适用年级 课时时长(分钟)

高二 60

柱、锥、台、球的结构特征 简单祝贺体的结构特征 三视图 直观图 1、通过本课训练,进一步理解和掌握简单几何体与三视图和直观图的有关 概念、常见题型 及

解法; 2、培养和训练学生识别、选择、作图、运用及空间想象的能力。

教学目标

教学重点 教学难点

柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征及性质 柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征及性质

教学过程
一、复习预习
教师引导学生复习上节内容,并引入本节课程内容

二、知识讲解
考点/易错点 1 多面体 棱柱 棱锥 棱台 考点/易错点 2 多面体的结构特征 结构特征 有两个面互相平行, 其余各面都是四边形, 并且每相邻两个面的交 线都平行且相等 有一个面是多边形,而其余各面都是有一个公共顶点的三角形 棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分 旋转体的形成 几何体 圆柱 圆锥 圆台 旋转图形 矩形 旋转轴 任一边所在的直线

直角三角形 一条直角边所在的直线 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直 线
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半圆

直径所在的直线

考点/易错点 3 简单组合体 简单组合体的构成有两种基本形式:一种是由简单几何体拼接而成;一种是 由简单几何体截去或挖去一部分而成,有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋 转体与旋转体的组合体. 考点/易错点 4 平行投影与直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是: (1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为 45° (或 135° ),z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变, 平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原 来的一半. 考点/易错点 5 三视图 几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、 正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.

三、例题精析
【例题 1】
【题干】如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧

棱称为它的腰,以下 4 个命题中,假命题是( A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

)

B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
【答案】B 【解析】如图,等腰四棱锥的侧棱均相等,其侧棱在底面的射影也相等,则

其腰与底面所成角相等,即 A 正确;底面四边形必有一个外接圆,即 C 正确; 在高线上可以找到一个点 O,使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等,这个点即 为外接球的球心, 即 D 正确; 但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若 为正四棱锥则成立).故仅命题 B 为假命题.

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【例题 2】
【题干】(1)如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图,

那么该四棱锥的直观图是下列各图中的(

)

(2) 如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长均为 2,其正视图如图所示,则此三 棱柱侧视图的面积为( A.2 2 C. 3 ) B.4 D.2 3

【答案】D.D 【解析】(1)由俯视图排除 B、C;由正视图、侧视图可排除 A

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(2)依题意,得此三棱柱的左视图是边长分别为 2, 3的矩形,故其面积是 2 3 【例题 3】
【题干】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45° ,腰和上

底均为 1 的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( A.2+ 2 C. 2+ 2 2 B. 1+ 2 2

)

D.1+ 2

【答案】A 【解析】恢复后的原图形为一直角梯形

1 S=2(1+ 2+1)×2=2+ 2 【例题 4】
【题干】 已知△ABC 的直观图 A′B′C′是边长为 a 的正三角形, 求原△ABC

的面积.
【解析】建立如图所示的坐标系 xOy′,

△A′B′C′的顶点 C′在 y′轴上,A′B′边在 x 轴上,OC 为△ABC 的 高. 把 y′轴绕原点逆时针旋转 45° 得 y 轴, 则点 C′变为点 C,且 OC=2OC′,A,B 点即为 A′,B′点,长度不变. 已知 A′B′=A′C′=a,在△OA′C′中, 由正弦定理得 OC′ A′C′ = sin 45°, sin∠OA′C′

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sin 120° 6 所以 OC′= sin 45° a= 2 a, 所以原三角形 ABC 的高 OC= 6a. 1 6 所以 S△ABC=2×a× 6a= 2 a2.

四、课堂运用
【基础】 1.如图,在下列四个几何体中,其三视图 (正视图、侧视图、俯视图)中有 且仅有两个相同的是( )

A.②③④ C.①③④

B.①②③ D.①②④

解析:选 A ①的三个视图都是边长为 1 的正方形;②的俯视图是圆,正视 图、侧视图都是边长为 1 的正方形;③的俯视图是一个圆及其圆心,正视图、侧 视图是相同的等腰三角形;④的俯视图是边长为 1 的正方形,正视图、侧视图是 相同的矩形. 2.一个锥体的正视图和侧视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的 俯视图的是( )

解析:选 C

C 选项不符合三视图中“宽相等”的要求,故选 C.

5.如图△A′B′C′是△ABC 的直观图,那么△ABC 是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形
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C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 解析:选 B 由斜二测画法知 B 正确. 1 3.一个几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为2,则这 个几何体的俯视图可能是下列图形中的________.(填入所有可能的图形前的编 号) ①锐角三角形;②直角三角形;③四边形;④扇形;⑤圆. 解析:如图 1 所示,直三棱柱 ABE-A1B1E1 符合题设要求,此时俯视图△ ABE 是锐角三角形;如图 2 所示,直三棱柱 ABC-A1B1C1 符合题设要求,此时 俯视图△ABC 是直角三角形;如图 3 所示,当直四棱柱的八个顶点分别是正方 体上、下各边的中点时,所得直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 符合题设要求,此时俯 视图(四边形 ABCD)是正方形;若俯视图是扇形或圆,体积中会含有 π,故排除 ④⑤.

答案:①②③ 4. 正四棱锥的底面边长为 2, 侧棱长均为 3, 其正视图(主视图)和侧视图(左 视图)是全等的等腰三角形,则正视图的周长为________. 解析:由题意知,正视图就是如图所示的截面 PEF, 其中 E、 F 分别是 AD、 BC 的中点, 连接 AO, 易得 AO= 2, 而 PA= 3,于是解得 PO=1,所以 PE= 2,故其正视图的周长为 2+2 2. 答案:2+2 2 【巩固】 1. 底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为 2, 当其正视图有最大面积时, 其侧视图的面积为( A.2 3 C. 3 ) B.3 D.4
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解析:选 A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积, 可以按如图所示位置放置,此时侧视图的面积为 2 3. 2.已知:图 1 是截去一个角的长方体,试按图示的方向画出其三视图;图 2 是某几何体的三视图,试说明该几何体的构成.

解:图 1 几何体的三视图为:

图 2 所示的几何体是上面为正六棱柱,下面为倒立的正六棱锥的组合体. 3.已知正三棱锥 V-ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示.

(1)画出该三棱锥的直观图; (2)求出侧视图的面积. 解:(1)三棱锥的直观图如图所示. (2)根据三视图间的关系可得 BC=2 3, ∴侧视图中 VA= ?2 ? 3 42-? × ×2 3?2 ?3 2 ?

= 12=2 3,

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1 ∴S△VBC=2×2 3×2 3=6. 【拔高】 1.有一个棱长为 1 的正方体,按任意方向正投影,其投影面积的最大值是 ( ) A.1 C. 2 3 2 B. 2 D. 3

解析:选 D 如图所示是棱长为 1 的正方体. 当投影线与平面 A1BC1 垂直时, ∵面 ACD1∥面 A1BC1, ∴此时正方体的正投影为一个正六边形. 设其边长为 a, 则 3a= 2, 6 ∴a= 3 . ∴投影面的面积为 6× 3 ? 6?2 ×? ? = 3. 4 ?3?

此时投影面积最大,故 D 正确. 2.已知正三棱柱 ABC-A′B′C′的正视图和 侧视图如图所示,设△ABC,△A′B′C′的中心分 别是 O,O′,现将此三棱柱绕直线 OO′旋转,射 线 OA 旋转所成的角为 x 弧度(x 可以取到任意一个实数),对应的俯视图的面积 为 S(x),则函数 S(x)的最大值为________;最小正周期为________. (说明: “三棱柱绕直线 OO′旋转”包括逆时针方向和顺时针方向, 逆时针 方向旋转时,OA 旋转所成的角为正角,顺时针方向旋转时,OA 旋转所成的角 为负角.) 解析:由题意可知,当三棱柱的一个侧面在水平面内时,该 三棱柱的俯视图的面积最大. 此时俯视图为一个矩形, 其宽为 3 ×tan 30° ×2=2, 长为 4, 故 S(x)的最大值为 8.当三棱柱绕 OO′ 旋转时,当 A 点旋转到 B 点,B 点旋转到 C 点,C 点旋转到 A 点时,所得三角
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2π 形与原三角形重合,故 S(x)的最小正周期为 3 . 答案:8 2π 3

课程小结
1.正棱柱与正棱锥 (1)底面是正多边形的直棱柱,叫正棱柱,注意正棱柱中“正”字包含两层 含义:①侧棱垂直于底面;②底面是正多边形. (2)底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正 棱锥, 注意正棱锥中“正”字包含两层含义:①顶点在底面上的射影必需是底面 正多边形的中心,②底面是正多边形,特别地,各棱均相等的正三棱锥叫正四面 体. 2.对三视图的认识及三视图画法 (1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影,并 不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形. (2)在画三视图时,重叠的线只画一条,能看见的轮廓线和棱用实线表示, 挡住的线要画成虚线. (3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、 正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线. 3.对斜二测画法的认识及直观图的画法 (1)在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段,“平行于 x 轴的线段平行 性不变,长度不变;平行于 y 轴的线段平行性不变,长度减半.” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以 下关系:

S 直观图=

2 S 原图形,S 原图形=2 2S 直观图. 4

课后作业
【基础】 1.有下列四个命题: ①底面是矩形的平行六面体是长方体; ②棱长相等的直四棱柱是正方体;
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③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体; ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

解析:选 A 命题①不是真命题,因为底面是矩形,但侧棱不垂直于底面的 平行六面体不是长方体;命题②不是真命题,因为底面是菱形(非正方形),底面 边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体;命题③也不是真命题,因为有两条侧 棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直; 命题④是真命题, 由对角线相等, 可知平行六面体的对角面是矩形,从而推得侧棱与底面垂直,故平行六面体是直 平行六面体. 2.如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图.在正视图右侧,按照画三 视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )

解析:选 B

由直观图和正视图、俯视图可知,该几何体的侧视图应为面

PAD,且 EC 投影在面 PAD 上,故 B 正确. 3.一个几何体的三视图如图所示,则侧视图的面积为( )

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A.2+ 3 C.2+2 3

B.1+ 3 D.4+ 3

1 解析:选 D 依题意得,该几何体的侧视图的面积等于 22+2×2× 3=4+ 3. 4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.

解析:结合三视图可知,该几何体为底面边长为 2、高为 2 的 正三棱柱除去上面的一个高为 1 的三棱锥后剩下的部分, 其直观图 1 1 1 如图所示, 故该几何体的体积为2×2×2sin 60° ×2-3×2×2×2sin 5 3 60° ×1= 3 . 5 3 答案: 3 【巩固】 1.如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是矩形,平面 ABCD⊥平面 ABE, 已知 AB=2,AE=BE= 3,且当规定正视方向垂直平面 ABCD 时,该几何体的 2 侧视图的面积为 2 .若 M,N 分别是线段 DE,CE 上的动点,则 AM+MN+NB 的最小值为________. 解析:依题意得,点 E 到直线 AB 的距离等于 ?2? ? 3?2-?2?2= 2,因为该 ? ?

1 2 几何体的左侧视图的面积为2· BC× 2= 2 ,所以 BC=1,DE=EC=DC=2.所 AD 3 以△DEC 是正三角形,∠DEC=60° ,tan ∠DEA= AE = 3 ,∠DEA=∠CEB= 30° .把△DAE,△DEC 与△CEB 展在同一平面上,此时连接 AB,AE=BE= 3, ∠AEB=∠DEA+∠DEC+∠CEB=120° , AB2=AE2+BE2-2AE· BEcos 120° =9,
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即 AB=3,即 AM+MN+NB 的最小值为 3. 答案:3 2. 正四棱锥的高为 3, 侧棱长为 7, 求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形的高). 解:如图所示,正四棱锥 S-ABCD 中, 高 OS= 3, 侧棱 SA=SB=SC=SD= 7, 在 Rt△SOA 中, OA= SA2-OS2=2,∴AC=4. ∴AB=BC=CD=DA=2 2. 作 OE⊥AB 于 E,则 E 为 AB 中点. 连接 SE,则 SE 即为斜高, 1 在 Rt△SOE 中,∵OE=2BC= 2,SO= 3, ∴SE= 5,即棱锥的斜高为 5. 【拔高】 1.如图,△ABC 与△ACD 都是等腰直角三角形,且 AD=DC=2,AC=BC.平面 ACD⊥平面 ABC,如果以平 面 ABC 为水平平面,正视图的观察方向与 AB 垂直,则三 棱锥 D-ABC 的三视图的面积和为________. 解析:由题意得 AC=BC=2 2,AB=4,△ACD 边 AC 上的高为 2,正视 1 图的面积是2×4× 2=2 2,侧视图的面积 1 1 是2×2× 2= 2,俯视图的面积是2×2 2×2 2=4,所以三视图的面积和 为 4+3 2. 答案:4+3 2 2.一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图 1 和 2 所示,其中正视图、 侧视图均为边长为 a 的正方形.

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(1)请在图 2 指定的框内画出多面体的俯视图; (2)若多面体底面对角线 AC,BD 交于点 O,E 为线段 AA1 的中点,求证: OE∥平面 A1C1C; (3)求该多面体的表面积. 解:(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图,得到俯视图如下:

(2)证明:如图,连接 AC,BD,交于 O 点,连接 ∵E 为 AA1 的中点,O 为 AC 的中点, ∴在△AA1C 中,OE 为△AA1C 的中位线. ∴OE∥A1C. ∵OE?平面 A1C1C,A1C?平面 A1C1C, ∴OE∥平面 A1C1C.
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OE.



(3)多面体表面共包括 10 个面,SABCD=a2, a2 SA1B1C1D1= 2 , a2 S△ABA1=S△B1BC=S△C1DC=S△ADD1= 2 , S△AA1D1=S△B1A1B=S△C1B1C=S△DC1D1 1 2a 3 2a 3a2 =2× 2 × 4 = 8 , a2 a2 3a2 ∴该多面体的表面积 S=a + 2 +4× 2 +4× 8 =5a2.
2

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