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射影定理(1)


已知直角三角形ABC,CD垂直AB 问:1.图中有几个Rt△? 2.有几对△相似?
C
2

DB 3.CD =? AD· AB AC =? AD· A BC =? BD· BA
2 2

D

B

1.射影
点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂 线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影。
A A B

M

A?

A

N

M

A?

B?

N

一条线段在直线上的正射影 线段的两个端 点在这条直线上的正射影间的线段。
点和线段的正射影简称射影

1.各种线段在直线上的射影的情况: A B A o B’ A’ l

A A’
B B’ l

A’

B’ l

B

如图,CD是 Rt?ABC 的斜边AB的高线 这里:AC、BC为直角边,AB为斜边, CD是斜边上的高 AD是直角边AC在斜边AB上的射影,
A

C

D

B

BD是直角边BC在斜边AB上的射影。

直角三角形中的成比例线段

由前面得:

BC ? BD ? AB 2 AC ? AD ? AB 2 CD ? AD ? DB
2

C

A

D

B

用文字如何叙述?

C

1.直角三角形中,斜边 2 上的高线是两条直角 CD ? AD ? DB 边在斜边上的射影的 2 AC ? AD ? AB 比例中项; 2.每一条直角边是这 2 BC ? BD ? AB 条直角边在斜边上的 射影和斜边的比例中 项;

A

D

B

C

利用射影定理证明勾股定理: A
2 2

D
2

B

AC ? BC ? AD ? AB ? BD ? AB ? AB

射影定理只能用在直角三角形中,且必须

有斜边上的高

这里犯迷糊, 可不行!

例1 如图,若AD=2cm,DB=6cm,求CD,AC,BC的长。
C

分析:利用射影定理和勾股定理

? CD 2 ? AD ? DB ? 2 ? 6 ? 12, ? CD ? 12 ? 2 3 ?cm?;
? AC ? 16 ? 4?cm?;

解:

A

D

B

? AC 2 ? AD ? AB ? 2 ? ?2 ? 6? ? 16,

? BC 2 ? BD ? AB ? 6 ? ?2 ? 6? ? 48,
答:CD,AC,BC的边长分别为 2 3cm,4cm,4 3cm

? BC ? 48 ? 4 3 ?cm?.

C

利用射影定理证明勾股定理:
2 2

A

D

B

AC ? BC ? AD ? AB ? BD ? AB ? AB

2

射影定理只能用在直角三角形中,且必须

有斜边上的高

这里犯 迷糊, 可不行!

例1 如图,若AD=2cm,DB=6cm,求CD,AC,BC的长。
C

分析:利用射影定理和勾股定理

? CD 2 ? AD ? DB ? 2 ? 6 ? 12, ? CD ? 12 ? 2 3 ?cm?;
? AC ? 16 ? 4?cm?;

解:

A

D

B

? AC 2 ? AD ? AB ? 2 ? ?2 ? 6? ? 16,

? BC 2 ? BD ? AB ? 6 ? ?2 ? 6? ? 48, ? BC ? 48 ? 4 3 ?cm?.
答:CD,AC,BC的边长分别为 2 3cm,4cm,4 3cm

例2. 如图,在 ?ABC 中, CD?AB于D, DE?AC于E,
DF?BC于F ,求证 : ?CEF ∽

?CBA.

C
F

E
分析:欲证 ?CEF ?CBA. ∽ A D

B

已具备条件 要么找角,

? ?ACB ? ?ECF?公共角
要么找 边.

?

?CEF ? ?B或 ?CFE ? ?A

?

?

CE CF ? CB CA

?

例2. 如图,在 ?ABC 中, CD?AB于D, DE?AC于E,
DF?BC于F ,求证 : ?CEF ∽

?CBA.

C
F

CD?AB? E 2 ? ?CD ? CE ? CA D DE?AC? A CD?AB? 2 ? ?CD ? CF ? CB DF?BC? CE CF

证法一:

?

? CB CA ? ?ECF ? ?BCA ?
?

? ?CEF



?CBA.

?

B

BC ? FC ? AC ? EC ?

例2. 如图,在 ?ABC 中, CD?AB于D, DE?AC于E,
DF?BC于F ,求证 : ?CEF ∽

?CBA.

C
F

证法二:
Rt?CDF中,CD为外接圆的直径 Rt?CDE中,CD为外接圆的直径

1

?

E
A

2

D

? 四边形CEDF为圆内接四边形? ?1 ? ?2
Rt?CDB DF?CB

? ? ? 2 ? ?B

?

B

? ? ?CEF ∽ ?ECF ? ?BCA
? ?1 ? ?B

?CBA

1、直角三角形两锐角互余 2、勾股定理 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

4、直角三角形中,30度角所对的直角边等于斜边的一半 及其逆定理。

5、直角三角形斜边上的高线分成的两直角三角 形与原三角形相似(母子相似定理)

6、 射影定理


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