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2011年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题


2011 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题

一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1、已知 f ( x) ? x 4 ? 4 x 3 ? 10 x 2 ? 27, g ( x) ?
1 3 x ? 6 x 2 ? 20 x ? 2 , A ? {x | g ' ( x) ? 0} , 3
) D. 不存在

B ? {x | f ( x) ? 0, x ? A} ,则 B 中的元素个数为(
A. 有 3 个 B. 有 2 个 C. 有且仅有 1 个

2、已知集合 A ? {( x, y) || x | ? | y |? a, a ? 0} , B ? {( x, y) || xy | ?1 ?| x | ? | y |}. 若 A ? B 是平面 上正八边形的顶点所构成的集合,则 a 的值为(
A. 2 ? 2 B. 2 ? 2 或 ). D. 3 ? 3 或 3

2

C. 3 ? 3

?0 ? x ? 2 ? 3、 已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ? 2 给定, 若 M ( x, y) 为 D 上 ? ?x ? 2 y
的动点,点 A 的坐标为 ( 2,1) ,则 z ? OM ? OA 的最大值为(
A. 4 2 B. 3 2 C.4 D.3

).

x 3 4、记 F ( x, y) ? ( x ? y )2 ? ( ? ) 2 ( y ? 0) ,则 F ( x, y) 的最小值是( 3 y
A.

).

12 5

B.

16 5

C.4

D.

18 5
) .

5、 在 1~2000 中随机地取一个数, 取到的整数能被 6 整除但不能被 4 整除的概率是 ( 1 83 167 3 A. B. C. D. 4 2000 4 1000

?m 1 ? x 2 , x ? (?1,1] ? 6、已知以 T ? 4 为周期的函数 f ( x) ? ? ,其中 m ? 0 。若方程 3 f ( x) ? x 恰有 4 1 ? x ? 2 , x ? (1,3] ? ?
个实数解,则 m 的值为( A. )

15 3

B.

7

C.

4 3

D.

8 3
1

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 1、不等式 log6 (1? x ) ? log25 x 的整数解的个数为 .

2、 在数列 {a n } 中, 若令 a1 ? 2, a2 ? ?1 , 则 a2011 a n? 2 ?| a n?1 ? a n | , a1 , a 2 是给定的非零整数, 的值为_________. 3、已知抛物线 y ? x2 上有一个正方形的 3 个顶点 A、B 、C,则这种正方形的面积的最小 值是________. 4、设复数 z 满足 | z |? 2 ,且 ( z ? a)2 ? a ,则实数 a 的值为__________. 5、如图,在三棱锥 A ? BCD 中, AC ? BC , AC ? DC , BD ? DC , BD ? DC , AC ? a ,
?ABC ? 30 ,则点 C 到平面 ABD 的距离是___________.

6、设椭圆的中心是坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 点最远距离是 7 ,则此椭圆方程为______________.

3 3 ,若点 P(0, ) 到该椭圆上的 2 2

三、解答题(每小题 20 分,共 60 分)
c?R, a ? 100 , b、 1、 设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c , 问最多有几个不同的整数 x , 使| f( ) a、 |x5 0?

成立?

2

2、如图,?ABC 中 ?ABC 和 ?ACB 均是锐角,D 是 BC 边上的内点,且 AD 平分 ?BAC . 过 点 D 分别向两条直线 AB、AC 作垂线 DP、DQ,其垂足是 P、Q,两条直线 CP 与 BQ 相交于 点 K. 求证: (1) AK ? BC ; (2) AK ? AP ? AQ ?
2S ABC ,其中 S BC
ABC

表示 ?ABC 的面积. A

P K B D

Q C

3、已知一个 2012 ? 2012 方格表,试求最小的正整数 M 满足:可以在方格表中画出 M 个矩形(其
边在网格线上) ,使得方格表中的每一个小方格的边都包含在上述 M 个矩形之一的边上(例如:对

2 ? 3 方格表, M ? 3 ).

3


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