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【湖北省安陆一中2012届高三数学第六次综合试题(文科))


2012 届高三数学第六次综合试题(文科)
考试时间 120 分钟.禁止使用计算器.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸 上. 参考公式: 球的表面积公式 柱体的体积公式

S ? 4? R

2

V ? Sh
其中 R 表示球的半径 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式 1 V ? h(S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) 3 其中 S1 , S2 分别表示台体的上、下底面积,

球的体积公式

4 V ? ? R3 3 V ?

锥体的体积公式

1 Sh 3 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高

h 表示台体的高 如果事件 A, B 互斥,那么

P ? A ? B? ? P ? A? ? P ? B ?

第 Ⅰ卷
一、选择题:本题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
2 (1)设集合 A ? ? x | y ? log 2 ( x ? 2)? , B ? x | x ? 5 x ? 4 ? 0 ,则 A

?

?

B?
(D) ? 4, ???

(A) ?

(B) ? 2, 4 ?

(C) ? ?2,1?

(2)“ x ? 2 且 y ? 2 ”是“ x ? y ? 4 ”的 (A)充分不必要条件 (C) 充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(3)已知 a, b, c 是三条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,下列命题中正确的是 (A) a ? c, b ? c ? a // b (C) ? ? ?, ? ? ? ? ? // ? (B) a // ? , b // ? ? a // b (D) ? // ? , ? // ? ? ? // ?

(4)由点 P(2,4) 向直线 ax ? y ? 5 ? 0 引垂线,垂足为 Q ? 4,3? ,则 z ? a ? 4i 的模为 (A) 29 (B) 2 5

(C)

101 2

(D)

485 2

(5)已知向量 a ? ?1, 0 ? ,向量 b 与 a 的夹角为 60 ,且 | b |? 2 .则 b ? (A) (1 ,

3)

(B) ( 3 , 1)

(C) (1 , ? 3)

(D) ( 3 , ? 1)

(6)如右图,此程序框图的输出结果为 (A)

4 9

(B)

8 9

(C)

5 11

(D)

10 11

(7)以双曲线的焦点为圆心,实轴长为半径的圆与双曲线的渐近 线相切,则双曲线的离心率为 (A) 5 (B) 5 (C) 2 (D) 2

(8)已知 a ? 0, b ? 0 且 ab ? 1 ,则函数 f ( x) ? a 与函数
x

(第 6 题图)

g ( x) ? ? logb x 的图象可能是

(A) (9)若 x, y 满足不等式组 ?

(B)

(C) 则 2 x ? y 的取值范围是

(D)

? x ? y ? 0,
2 2 ? x ? y ? 1,

(A) ? ? 5, 5 ?

?

?

(B) ?

? 2 ? , 5? ? 2 ?

(C)

? 2 2? , ?? ? ? 2 2 ?

(D) ??

? ?

? 2 , 5? 2 ?

2 (10)已知 a ? 0, b ? 0, 函数 f ( x) ? x ? (ab ? a ? 4b) x ? ab 是偶函数,则 f ( x) 的图象与

y 轴交点纵坐标的最小值为
(A) 16 (B) 8 (C) 4 (D) 2 2

第Ⅱ卷
二、填空题: 本题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. 把答案填在答题卡的相应位置. (11)学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出 了一个容量为 n 的样本,其频率分布


直方图如图所示,其中支出在 ? 40,50? 元的同学有 36 人,则 n 的
.

值为



(12)已知等差数列 ?an ? 中, a1 ? a 5 ? a 9 ?

? ,则 4

sin(a4 ? a6 ) ?



(13) 一个空间几何体的三视图如右图所示,其中主视图和侧 视图都是半径为 1 的圆,且这个几何体是球体的一部分, 则这个几何体的表面积为 .

x2 y 2 ? ? 1 外 ,则过 P0 作椭圆的两条切线 (14)若 P 在椭圆 ( x , y ) 0 0 0 a 2 b2
的切点为 P 1, P 2 , 则切点弦 P 1P 2 所在直线方程是

(第 11 题图)

x0 x y0 y ? 2 ?1. a2 b

那么对于双曲线则有如下命题: 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 外 ,则过 P0 作双曲线的两条切线的 a 2 b2
切点为 P 1, P 2 , 则切点弦 P 1P 2 的所在直线方程是 .

(第 13 题图)

(15)已知向量 a ? ? m, n? , b ? ?1, ?1? ,其中 m, n ??1, 2,3, 4,5 ? ,则 a与b 的夹角能成为直角三 角形内角的概率是 . (16) 若 定 义 在 区 间 D 上 的 函 数 f ?x ? 对 D 上 的 任 意 n 个 值 x1 , x2 , ? , xn , 总 满 足

1 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? n?

? x1 ? x2 ? ? f ? xn ? ? ?≤ f ? n ?

? xn ? ? ,则称 f ?x ? 为 D 上的凸函数. ?

已知函数 y ? sin x 在区间 ?0, ? ? 上是 “凸函数” , 则在 ?ABC 中,sin A ? sin B ? sin C 的 最大值是_____________. (17)已知函数 f ( x) ? x | x ? a | ? x ? 2 在 R 上恒为增函数,则 a 的取值范围是 三、 解答题: 本大题共 5 小题.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. .

(18)(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x ? cos(
2

?
2

? ? x)(? ? 0) ,且函数

? .(Ⅰ)求 ? 的值及 f ? x ? 的单调递增 2 3 a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, 区间; (Ⅱ) 在 ?ABC 中, 若 a ? 3, b ? 2, f ( A) ? , 2
y ? f ( x) 的图象相邻两条对称轴之间的距离为
求角 C. (19)(本题满分 13 分)已知 ABCD 为平行四边形, AB ? 2 , BC ? 2 2 , ?ABC ? 45? ,

BEFC 是长方形, S 是 EF 的中点, BE ? 5, 平面 BEFC ? 平面 ABCD ,
(Ⅰ)求证: SA ? BC ; (Ⅱ)求直线 SD 与平面 BEFC 所 成角的正切值. (20)(本题满分 13 分)对于给定数列 ?an ? ,如果 存在实常数 p, q , 使得 an?1 ? pan ? q 对于任 意 n ? N 都成立, 我们称数列 ?an ? 是 “ M
*

类数列”. (Ⅰ)已知数列 ?bn ? 是 “ M 类数列”且

bn ? 2n , 求它对应的实常数 p, q 的
值;
n * (Ⅱ)若数列 ?cn ? 满足 c1 ? 1 , cn ?1 ? cn ? 2 n ? N ,求数列 ?cn ? 的通项公式.并判

?

?

断 ?cn ? 是否为“ M 类数列”,说明理由. (21) (本题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? 9x 在 x ? 3 处取得极大值 0 . (Ⅰ) 求 f ? x?
3 2

在区间 ?0,1? 上的最大值; (Ⅱ) 若过点 P ? ?1, m? 可作曲线 y ? f ? x ? 的切线有三条, 求实数 m 的取值范围.

(22)(本题满分 14 分)已知抛物线 C 的方程为 x 2 ? 4 y ,直线 y ? 2 与抛物线 C 相交于 M , N 两点,点 A, B 在抛物线 C 上.(Ⅰ)若 ?BMN ? ?AMN, 求证:直线 AB 的斜率为定值; (Ⅱ) 若直线 AB 的斜率为 2, 且点 N 到直线 MA, MB 的距离的和为 8 ,试判断 ?MAB 的形状,并 证明你的结论. 一. 选择题 BADBC 二.填空题 11.100

CABDA

12.

1 2

13. 4 ? 17. ??1,1?

14.

x0 x y0 y ? 2 ?1 a2 b

15.

3 5

16.

3 3 2

三.解答题

(19)解: (Ⅰ)做 SM ? BC 于 M 点,连结 MA, 因为 S 是 EF 的中点,? MB ?

2,

AB ? 2, ?ABC ? 45? ,? AM ? BC,
? BC ? 面SMA,? SA ? BC
???7 分

(Ⅱ)作 DN ? BC于N点,连结SN , 平面 BEFC ? 平面 ABCD ,

? DN ? 面BEFC, ??DSN是SD与面BEFC所成的角,

? DN ? 2 , SN ? 13 ? tan?DSN ?

DN 2 26 ? ? , SN 13 13
26 . ???????14 分 13

所以直线 SD 与平面 BEFC 所成角的正切值为

(21)解: (Ⅰ)

f ' ? x ? ? 3ax2 ? 2bx ? 9

' ? ?a ? ?1 ? f ? 3? ? 27a ? 6b ? 9 ? 0 ?? ?? ? ? f ? 3? ? 27a ? 9b ? 27 ? 0 ?b ? 6

? f ' ? x ? ? ?3x2 ?12x ? 9 ? ?3? x ?1?? x ? 3?
当 x ??0,1?时, f
'

? x? ? 0,? f ? x? 在?0,1?上单调递减.
????????????????6 分

? fmax ? x ? ? f ? 0? ? 0.

故满足条件的 m 的取值范围 ?11 ? m ? 16.

??????????15 分

(22)解: (Ⅰ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 直线 AM 的斜率为 k ,

? ?BMN ? ?AMN, 所以直线 BM 的斜率为 ? k ,
可求得 M (?2 2,2), N (2 2,2), 则直线 AM 的方程为 y ? k ( x ? 2 2 ) ? 2 ,
2 代入 x ? 4 y 得 x ? 4kx ? 8 2k ? 8 ? 0 ,
2

xA x1 ? ?8 2k ? 8? x1 ? 4k ? 2 2,

同理 x2 ? ?4k ? 2 2 , k AB

2 x12 x 2 ? y ? y2 4 ? x1 ? x 2 ? 2 .????7 分 ? 1 ? 4 x1 ? x 2 x1 ? x 2 4

(Ⅱ)若直线 AB 的斜率为 2, 由(1)可得:

x1 ? 4kAM ? 2 2, x2 ? 4kBM ? 2 2,
2 x12 x2 ? 4 ? k AM ? k BM ? ? 4 2 y ?y x ?x ? 1 2 ? 4 4 ? 1 2 ? ? 2, x1 ? x2 x1 ? x2 4 4

? k AB

? k AM ? k BM ? 0,? ?BMN ? ?AMN, 又点 N 到直线 MA, MB 的距离的和为 8 ,
所以点 N 到直线 MA, MB 的距离均为 4,

? MN ? 4 2 , ??BMN ? ?AMN ? 45? ,
所以 ?MAB 是直角三角形. ???????????????????15 分


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