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从平面到空间的类比思维


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算 l l锅  

高中文学童与学  

从平面到空间的类比思维 
张 巧 凤  
( 江苏省海门市包场中学, 2 2 6 1 5 1 )  

类比是数学发现的重要源泉. 随着数学 
课程改革的深 入 , 对学 生数 学类 比能力的考 

/ x B O C分别 与图 1中的 A B、 B C、 B D进 行类  比, 可得相应的面积关系 :  
s  腰 = Sz x a x  ̄?Sz x a m.  

查已悄然升温. 本文将对由平面到空间中的  有关类比作一些初浅的探讨.  


证明   如图 2 , 连接 D O并延长交B C于 
E, 连结 A E, 则E D_ l - B C.  
‘ .



射影定理的类比 

例1   如图1 , 在△A B C中, A B_ l - A C, 若  A D_ l - B C, 则A B   =B D? B C , 类似有命题: 三  棱锥 A—B C D中( 如图2 ) , A D_ l - 面A B C, 若  A在 / X B C D 内的射影 为 0, 则S A A t K "  =   S △   ? S △ 衄. 上述命题是(   ( A ) 真命题  ( B ) 增加 A B_ l - A C的条件才是真命题  ( C ) 假命题 
( D ) 增加三棱锥 A —B ( 1 D是正三棱锥的 

‘ A D_ l - 面A B C, A 0_ l - D E, A D_ l - A E,  
.  





AE = EO ?ED .  







s   艘= ( 告 B C .  )  

)  



( { B C ? E 0 ) ? ( { B C ? E D )  
S z x a x  ̄?S △  .  



选A .  

二、 勾股定理的类比  

例2 ( 2 0 0 3年全国高考题) 在平面几何  里, 有勾股定理: 设 △A B C的两边A B、 A C互  相垂直, 则有 A B   +A C   =B C   ; 拓展到空间,  

条件才是直命题 
A  

研究三棱锥的侧面积与底面积问的关系, 可  
曰   。  

以得到的正确结论是: “ 设三棱锥A—B C D的  3 个侧面 A B C、 A C D、 A D B两两互相垂直, 则 

C  
___________________-___一

●  

图l  

图2  

分析  由已知的垂直关系, 不妨可以进  行如下类比: 将图2中 / x A B C、 / x B C D、  

分析  由于 A —B C D的三个侧面A B C、  

A C D、 A D B两两互相垂直, 把这些直角面类比  

设线路 O A B C O, 0 B ( 1 A 0, O C A B O的路 
程分别为 S 1 , S 2 , S 3 , 则 
S1= z +C+a+ 2, S 2: y+a+ b+z,   S3= 2 + b+ C+ Y,  

=z , 在/ X O B C   中, 2一Y< b—c ) ,  
‘ . .

S1< S 2 .  





‘ S 1 一S 3 =( z+. c +a+2 ) 一( 2 +b +  

C+Y )= ( a—b ) +( z—Y ) >0 ,  
‘ .


S 1 一S 2 =( z+C +a+2 ) 一( Y+a+b   +z ) =( c —b ) +( 2一Y ) <0 , ( 延长 A B至 

S3< Sl '  

从而 S 3 <S 1 <S 2 , 所 以选择 O C A B O线 

C   , 使A C  =A C= b , 则B C  = b—C , 连 
O C   , 则 △A O C   / X A O C, 所以 O C   =O C  

路行车, 就使行车路程最短.  

?

2 3?  

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三角形的直角边, 底面类比三角形的斜边 , 故 
可以得到猜想 :  
s   +s  A c D+ s  脚 =s  B c D.  

2 O D 4年  

同 乘以A A } , 得 

D E   ? A A } =D F   ? A A } + E F   ? A A ; 一  
2 DF ?AA 1?E F ?AA1? c o s   0  

证 明 

’ . ’ 3  

即   s  c   c= s   A   +s  


B .一  


个侧面两 两 互相 

2S A B BA .?S c B a . c o s   0 .  


垂直,  


D  





三条侧棱 
C  

四、 角平分线定理的类比  

例4   如图5 , AA B C中  C的内角平分线 
图3  

也 两 两 互 相 垂  直. 如图3 , 利 用 

与A B 交于E , 则面 A E=   ; 把这个结果类比  
到空 间: 在三棱锥 A —日 ∞ 中( 如图6 ) , 平 面 

例1 中射影定理类比结论 , 得 
s  似 = Sam )。SZ X B C D,  

s  A   = SL X a ) D?SL x a  ̄,   s  A B D = SZ X B O O?S Z X B C D,  

D i f E平分二面角A一( 7 1 3 一B, 且与A B相交于  点 E, 则可得到的类似的结论是  .  
分析  A C、 B C 分别 类 比于 △A C D 和  △B C D, A E 和E B 分 别 类 比 于 △A E C 和 

相加即得结论.  
s  心 + s  A c D+ s  脚 =s  B c D.  

△B E C得到, 长度类比面积得 
垒   一  
S△麟

三、 余弦定理的类比   例3 ( 2 0 0 4 年上海春招2 0 题) 在 △D E F   中有余弦定理 :  
DE = DF + EF 一 2 DF ?EFc o   DF E.  

,  立  
S△肋

一  

、  

一 S △B c D  

一 S △B c D  ’  



拓展到空间, 类比三角形的余弦定理, 写 
出斜三棱柱 A B C —A1 B 1 C 1 的3 个侧面面积 
C  

念 
C  

与其中两个侧面所成二面角之间的关系式,  
并予以证 明.  

图6  

图7  

证明  考虑两种情形 : 如 图6 , 若 △A C D  

分析  根据类 比猜想得 出  
s   c c   . s   A . +s  


和 △B C D 的底边C D上的高相交于G, 则E G  
:  ̄ - : f J " LA G B,   =   =   S Z X A C D  

B. 一  


2 S A B B I A I   S acB I c o s   0.  


显然成立 .   如图 7 , 若 △A C D和△B C D的底边 C D上 

其中  为侧面为A B B 1 A1 与B C  ̄1 B 1 所成 
的二面角的平面角 .  
c  

的高分别为 A M 和B N, 平移 B N至P M, 连接 
B P、 A P, 则四边形 B N MP为平行 四边形 .   C D∥面 A B P, 设面 D C E   I " 1 面A B P=   E F, 故C D/ /E F.  






从而有 E F/ /P B . 在 △A P M 中,  
/A MP的平分线 , 于是 
图4   图5  

为  

AM M P 






 



 

量 . 鱼  

一鱼  
Sam )’  

F P 

BE ’ ‘ ’S z x e e c  

证明 

如图 4 , 作 斜 三棱柱 A B C—  

开普勒对类比情有独钟: “ 我珍视类比胜  过任何别 的东西, 它是我最可信赖的老师 
… …

A1 B 1 C 1 的直截面 D E F,则  D F E 为 面  A B B 1 A1 与面 B C  ̄1 B 1 所成角 , 在/ k D E F中有 

” 正因为如此 , 以上这些有趣而富有启 迪 

余弦定理:  
DE = DF + EF 一 2 DF .EFc o s   0.  
?

的类比越来越多地受到了命题专家的关注,   逐渐成为高考命题的新视角.  

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