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北京市海淀区高二年级第一学期期末练习数学(文科)2013.1


海淀区高二年级第一学期期末练习


学校___________ 班级
本试卷共 100 分.考试时间 90 分钟.

学(文科)
姓名 成绩 ___

2013.1

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合

题 目要求的. 1. 如果 a ? b , 则( ) A. a ? b ? 0 B. a ? b ? 0 C. ac ? bc D. a 2 ? b 2 )

2. 已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 ? a n ? d (其中 d 为常数) ,若 a1 ? 1, a 3 ? 1 1 , 则 d =( A. 4 B.5
? x ? y ? 1, ?x ? y ? 0

C.6

D.7 )

3. 下列四个点中,在不等式组 ? A. ( 2 , 0 )

所表示的平面区域内的点是( C. ( 0 , 2 ) ) D. ( 0 , ? 2 )

B. ( ? 2 , 0 )
2n

4. 已知数列 ? a n ? 满足 a n ? 2

,则(

A. 数列 { a n } 是公差为 4 的等差数列 C. 数列 { a n } 是公比为 4 的等比数列
x a
2 2

B. 数列 { a n } 是公差为 2 的等差数列 D. 数列 { a n } 是公比为 2 的等比数列

5.“ a 2 ? 1 ” 是“方程

? y ? 1 表示椭圆”的(
2

)

A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 )

6. 已知点 A (4, y 0 ) 为抛物线 y 2 ? 8 x 上的一点, F 为该抛物线的焦点,则 | AF |? ( A. 4
x

B. 6
2

C. 4 3
2

D. 8

7. 已知点 P 为椭圆 C : 为( A. 2 )

?

y

4

3

则 ? 1 上动点,F1 , F2 分别是椭圆 C 的焦点, PF 1 ? PF 2 的最大值

B. 3

C. 2 3

D. 4

8. 设 F1 , F2 分别是椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

若椭圆 C 上存在点 P , 使线段 P F1 的垂 ? 1( a ? b ? 0) 的焦点, ) D. [ , )
3 3 1 2

直平分线过点 F2 ,则椭圆 C 的离心率的取值范围是( A. (0, ]
3 1

B. ( , )
2 3

1 2

C. [ ,1)
3

1

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上. 9.双曲线
x
2

? y ? 1 的渐近线方程为_____________.
2

4

10.命题 p : ? a , b ? R , a ? b ? 2 ab ,则命题 ? p 是
2 2

.

11.满足不等式 x 2 ? 2 x ? 0 的 x 的取值范围为_________________.
x
2

12.已知 F1 , F2 分别为椭圆 C :

?

y b

2 2

? 1 ( b ? 0) 的左、 右焦点,A 为椭圆 C 的短轴的一个端点,

4

若 ? AF1 F2 为正三角形,则 b ? _____________. 13.设 x ? R ,且 x ? 0 . 给出下面 4 个式子: ① x 2 ? 1 ;② x 2 ? 2 x ? 2 ;③ x ? 其中恒大于 1 的是
1 x

;④ x 2 ?

1 x
2

.

.(写出所有满足条件的式子的序号)

? a n ? 1, n 为 奇 数 , 14.已知数列 { a n } 满足 a n ?1 ? ? 且 a1 ? 1 ,则 a 3 ? a1 ? ____________; ? ? 2 a n , n为 偶 数 ,

若设 bn ? a 2 n ? 2 ? a 2 n ,则数列 {b n } 的通项公式为__________________. 三、解答题:本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 10 分) 已知 A (2, 0) , B (0,1) 为椭圆 C : 为坐标原点. (I)求椭圆 C 的方程; (II)将 | O P | 表示为 x 的函数,并求 | O P | 的取值范围.
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1? a ? b ? 0 ? 上的两点,P ( x , y ) 为椭圆 C 上的动点,O

16.(本小题满分 12 分) 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ? 10 n ? n ( n ? N ) .
2 *

(I)求数列 { a n } 的通项公式; (II)求 S n 的最大值; (III)设 b n ? a n ,求数列 ?b n ? 的前 10 项和 T10 .

17.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x ) ? ( x ? 2 a )( x ? a ? 1) . (I)当 a ? 1 时,解关于 x 的不等式 f ( x ) ? 0 ; (II)若 ? x ? (5, 7) ,不等式 f ( x ) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 ( ? 1, 0) ,离心率为

2 2

.直线 y ? k ( x ? 1) 与

椭圆 C 交于不同的两点 P , Q . (I)求椭圆 C 的方程; (II)若 O P ? O Q (其中 O 为原点) ,求 k 的值.

海淀区高二年级第一学期期末练习

数 学(文科)
参考答案及评分标准
2013.1 一. 选择题:本大题共 8 小题, 每小题 4 分,共 32 分. 题号 答案 1 B 2 B 3 D 4 C 5 A 6 B 7 D 8 C

二.填空题:本大题共 6 小题, 每小题 4 分,共 24 分. 9. y ? ? 12. 3
1 2 x

10. ? a , b ? R , a ? b ? 2 ab
2 2

11. x ? ? 2 或 x ? 0
n ?1

13. ①④

14. ? 5 ; bn ? ? 5 ? ? 2 ?

(第一空 2 分,第二空 2 分)

三.解答题:本大题共 4 小题,共 44 分. 15. (本小题满分 10 分) 解: (I)由题意可知 a ? 2 , b ? 1 ,
x
2

---------2 分

所以,椭圆的方程为

? y ?1 .
2

4 x
2

---------4 分

(II)由点 P ( x , y ) 在椭圆 C 上,可得

? y ? 1 ,且 0 ? x ? 4 .
2

2

4

---------6 分

| O P |?

x ? y ?
2 2

x ?1?
2

x

2

?

1?

3x 4

2

,

4

--------8 分

因为 0 ?

3x 4

2

? 3 ,可得 1 ? 1 ?

3x 4

2

? 4 ,所以 1 ? OP ? 2 ,

故 OP 的取值范围为 [1, 2] . 16. (本小题满分 12 分) 解: (I)当 n ? 1 时, a 1 ? S 1 ? 10 ? 1 ? 9 .
2

---------10 分

-------------1 分

当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 10 n ? n 2 ? [10 ? n ? 1 ? ? ? n ? 1 ? ] ? ? 2 n ? 11 .--3 分 综上,数列 { a n } 的通项公式为 a n ? ? 2 n ? 11 . -------------4 分

(II)解法 1: S n ? 10 n ? n 2 ? ? ? n ? 5 ? ? 25
2

-------------6 分 -------------7 分

所以,当 n ? 5 时, S n 取得最大值 25 . 解法 2:令 a n ? ? 2 n ? 11 ? 0 ,得 n ?
11 2

,

即此等差数列前 5 项为正数,从第 6 项起开始为负数, 所以 S 5 最大, 故 ( S n ) max ? S 5 ? 10 ? 5 ? 5 2 ? 25 . (III) 解法 1:令 a n ? ? 2 n ? 11 ? 0 ,得 n ?
11 2

-------------6 分 -------------7 分 -------------8 分

T10 ? b1 ? b 2 ? b3 ? ? ? b10 ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a10
? a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ? a 6 ? ? ? a10

? S 5 ? ( S 10 ? S 5 ) ? 2 S 5 ? S 10
? 2 ? 25 ? 10 ? 10 ? 10
2

-------------10 分

? 50

故数列 ?b n ? 的前 10 项和 T10 ? 50 . 解法 2:令 a n ? ? 2 n ? 11 ? 0 ,得 n ?
11 2

-------------12 分 , -------------8 分

T10 ? b1 ? b 2 ? b3 ? ? ? b10 ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a10

? a1 ? a 2 ? ? ? a 5 ? a 6 ? a 7 ? ? ? a 10

? ( 9 ? 7 ? 5 ? 3 ? 1) ? ( ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 )
5 ? ( 9 ? 1) 2

-------------10 分

? 2?

? 50 ,

故数列 ?b n ? 的前 10 项和 T10 ? 50 . 17.(本小题满分 10 分) 解: (I)令 ( x ? 2 a )( x ? a ? 1) ? 0 , 得 x 1 ? 2 a , x 2 ? a ? 1,
x1 ? x 2 ? 2 a ? ? a ? 1 ? ? a ? 1 ,

-------------12 分

-------------1 分

因为 a ? 1 ,所以 a ? 1 ? 0 ,即 2 a ? a ? 1 . 由 f ? x ? ? ? x ? 2 a ?? x ? a ? 1 ? ? 0 ,解得 a ? 1 ? x ? 2 a .
2

-------------2 分 -------------4 分

(II)解法 1:当 a ? 1 时, 2 a ? a ? 1 , f ? x ? ? ? x ? 2 ? ,不符合题意. -----5 分 当 a ? 1 时, 2 a ? a ? 1 ,若 ? x ? (5, 7) ,不等式 f ( x ) ? 0 恒成立,
? a ? 1 ? 5, ? 2 a ? 7,
7 2

则有 ?

解得

? a ? 4.

-------------7 分

当 a ? 1 时, 2 a ? a ? 1 ,若 ? x ? (5, 7) ,不等式 f ( x ) ? 0 恒成立,
? 2 a ? 5, ? a ? 1 ? 7,

则有 ?

a 无解.

------------9 分
7 2 ? a ? 4.

综上,实数 a 的取值范围是

-------------10 分

解法 2: f ? x ? ? ? x ? 2 a ? ? x ? a ? 1 ? 的图像是开口向上的抛物线, --------5 分 若 ? x ? (5, 7) ,不等式 f ( x ) ? 0 恒成立,需且仅需
? f (5) ? 0, ? ? f (7 ) ? 0,
?5 ? a ? 4, ?2 ? 解得 ? ? 7 ? a ? 6, ?2 ?

-------------7 分

所以

7 2

? a ? 4.

故实数 a 的取值范围是 18. (本小题满分 12 分) 解:(I)由题意可知 , c ? 1 ,
b ? a ? c ? 1,
2 2 2

7 2

? a ? 4.

-------------10 分

c a

?

2 2

,所以 a ?

2 ,

-------------1 分

-------------2 分
? y ?1 .
2

所以,椭圆方程为

x

2

2

-------------3 分

(II)设点 P 的坐标为 ? x 1 , y 1 ? ,点 Q 的坐标为 ? x 2 , y 2 ? .

? x2 2 ? y ? 1, ? 联立 ? 2 ? y ? k ? x ? 1? , ?

消 y 整理得 ?2 k 2 ? 1?x 2 ? 4 k 2 x ? 2 k 2 ? 2 ? 0 ,
4 2 2 2 ? ? 16 k ? 4 2 k ? 1 2 k ? 2 ? 8 k ? 8 ? 0 ,

-------------5 分 -------------6 分

?

??

?

x1 ? x 2 ? ?

4k 2k
2

2

?1

, x1 ? x 2 ?

2k ? 2
2

2k ? 1
2

,

-------------7 分

因为 OP ? OQ ,所以 x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 , 又因为点 P , Q 在直线 y ? k ( x ? 1) 上, 所以 y1 ? k ? x1 ? 1 ? , y 2 ? k ? x 2 ? 1 ? , 所以 x1 x 2 ? y1 y 2 ? x1 x 2 ? k 2 ? x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 1?
? 2k ? 2
2 2 2 ? ?2 4k 2 ? 2k ? ?k ? ? 2 ? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 ? 1? ? 0 , 2k ? 1 ? ?

-------------8 分

------------9 分

化简得

k ?2
2

2k ? 1
2

? 0,

------------11 分

解得 k ? ? 2 , 故 k 的值为 ?
2.

-------------12 分

说明:解答题有其它正确解法的请酌情给分.

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