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指数函数、对数函数、幂函数综合练习题


指数函数、对数函数、幂函数综合练习题
1.[2011·模拟] 集合 A={(x,y)|y=a},集合 B={(x,y)|y=bx+1,b>0, b≠1},若集合 A∩B 只有一个子集,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(1,+∞) D.R 2.[2011·郑州模拟] 下列说法中,正确的是( ) x x ①任取 x∈R 都有 3

>2 ;②当 a>1 时,任取 x∈R 都有 ax>a-x;③y=( 3)-x 是增函数;④y=2|x|的最小值为 1;⑤在同一坐标系中,y=2x 与 y=2-x 的图 像对称于 y 轴. A.①②④ B.④⑤ C.②③④ D.①⑤

xax 3.[2011·郑州模拟] 函数 y= (0<a<1)的图像的大致形状是( |x|

)

4. [2011·模拟] 是( ) A.m≤-1

若函数 y=2

|1-x|

图 K8-1 +m 的图像与 x 轴有公共点,则 m 的取值范围

B.-1≤m<0

5.[2010·湖北卷] A.4 B.

C.m≥1 D.0<m≤1 ?log3x,x>0, ? ?1?? 已知函数 f(x)=? x 则 f?f? ??=( ? ?9?? ?2 ,x≤0,

)

1 1 C.-4 D.- 4 4 6.[2011·郑州模拟] 设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,已知当 x∈ 1 (0,1)时,f(x)=log (1-x),则函数 f(x)在(1,2)上( ) 2 A.是增函数,且 f(x)<0 B.是增函数,且 f(x)>0 C.是减函数,且 f(x)<0 D.是减函数,且 f(x)>0 7.已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数, 1 ? ? 设 a=f(log47),b=f?log 3?,c=f(0.2-0.6),则 a,b,c 的大小关系是( ) 2 ? ? A.c<a<b B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c 8. 已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)(其中 a>b)的图像如图 K8-2 所示, 则函数 g(x) x =a +b 的图像是( )

1

9.[2011·一模] 设 0<a<1,函数 f(x)=loga(a2x-2ax-2),则使 f(x)<0 的 x 的取 值范围是( ) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,loga3) D.(loga3,+ ∞) 11. 若函数 f(x)=loga(ax2-x)在[2,4]上是增函数, a 的取值范围为________. 则 12.若函数 f(x)=ax-x-a(a>0 且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是 ________. 13.函数 y=lg(3-4x+x2)的定义域为 M,当 x∈M 时,则 f(x)=2x+2-3×4x 的 最大值为________. 1. 若函数 f ( x) ? e x ? e? x 的定义域为 R ,则 ( ) A. f ( x) 为奇函数,且为 R 上的减函数 C. f ( x) 为奇函数,且为 R 上的增函数 B. f ( x) 为偶函数,且为 R 上的减函数 D. f ( x) 为偶函数,且为 R 上的增函数

2.(2009 山东卷)函数 y ?

e x ? e? x 的图像大致为( e x ? e? x

). y 1 x O D 1 x

y 1 O 1 x 1

y

y 1

O1

x

O1

A

B

C

? 21? x x ?1 = 3.[2011·辽宁卷] 设函数 f(x) ? 则满足 f(x)≤ 2 的 x 的取值范 1 ? log 2 x x ? 1 ?

围是(

)

A.[-1,2]

B.[0,2]

C.[1,+∞)
log 3 0.3

D.[0,+∞) )

?1? 4.[2011·天津卷] 已知 a=5log 2 3.4 b=5l og 4 3.6 c= ? ? ?5?

,则(

A.a>b>c

B.b>a>c

C.a>c>b

D.c>a>b ( )

5.设 abc ? 0 ,二次函数 f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c 的图象可能是

2

(A)

(B)

(C)

(D) )

6.(2009 安徽卷理)设 a <b,函数 y ? ( x ? a)2 ( x ? b) 的图像可能是 (

1 7.若关于 x 的方程 x- +k=0 在 x∈(0,1]时没有实数根,则 k 的取值范围是__

x

8.关于 x 的函数 y=log 1 (x2-ax+2a)在[1,+∞ ) 上为减函数,则实数 a 的取值
2

范围是 2 +m 是奇函数,求常数 m 的值; 3 -1 (2)画出函数 y=|3x-1|的图像,并利用图像回答:k 为何值时,方程|3x- 1|=k 无解?有一解?有两解? 14.(10 分)(1)已知 f(x)=
x

15.(13 分)设 a>0,f(x)= + x是 R 上的偶函数(其中 e≈2.71828). a e (1)求 a 的值; (2)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数.

ex

a

16.(12 分)定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log23,且对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证:f(x)为奇函数; (2)若 f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0 对任意 x∈R 恒成立, 求实数 k 的取值范围.

3

答 an 1.B [解析] ∵y=bx+1>1,如果 A∩B 只有一个子集,则 A∩B=?,∴a≤1. 2.B [解析] 利用指数函数的性质判断. 3.D [解析] x>0 时,y=ax;x<0 时,y=-ax.即把函数 y=ax(0<a<1,x≠0) 的图像在 x>0 时不变,在 x<0 时,沿 x 轴对称. 4.A [解析] ∵|1-x|≥0,∴2|1-x|≥1.∵y=2|1-x|+m≥1+m,∴要使函数 y= 2|1-x|+m 的图像与 x 轴有公共点,则 1+m≤0,即 m≤-1. 1 1 1 1 5.B [解析] 根据分段函数可得 f =log3 =-2,则 ff =f(-2)=2-2= ,所 9 9 9 4 以 B 正确. 1 6.D [解析] 由于 x∈(0,1)时,f(x)=log (1-x),所以 f(x)在区间(0,1)上 2 单调递增且 f(x)>0, 又因为 f(x)为偶函数,所以 f(x)在区间(-1,0)上单调递减且 f(x)>0,又 因为 f(x)是周期为 2 的周期函数,所以 f(x)在区间(1,2)上递减且 f(x)>0,故 选 D. 1 ? 1 ? 7.B [解析] log 3=-log23=-log49,b=f?log 3?=f(-log49)=f(log49), 2 ? 2 ? 3 5 5 ?1? 3 log47<log49,0.2-0.6=? ?- =5 = 125> 32=2>log49. 5? 5 5 ? 又 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,故 f(x)在(0,+∞)上单调递减, 1 ? ? ∴f(0.2-0.6)<f?log 3?<f(log47),即 c<b<a,选 B. 2 ? ? 8. [解析] 由图形可知 b<-1,0<a<1,所以函数 g(x)=ax+b 在定义域上单调 A 递减,且与 x 轴负半轴相交,所以选 A. 2x x 2x x 9.C [解析] f(x)<0?loga(a -2a -2)<0?loga(a -2a -2)<loga1,因为 0<a<1,所以 a2x-2ax-2>1,即(ax)2-2ax+1>4?(ax-1)2>4?ax-1>2 或 ax-1< -2,所以 ax>3 或 ax<-1(舍去),因此 x<loga3,故选 C. ?1? ?1? 10.4 [解析] 设原有的有害物质为 a,则过滤 n 次后有害物质还有? ?na,令? ? ?4? ?4? 1 n <1%,则 n> ,即 n≥4,所以 n 的最小值为 4. lg2 2 11.>1 [解析] 函数 f(x)是由 φ (x)=ax -x 和 y=logaφ (x)复合而成的, a 根据复合函数的单调性的判断方法.(1)当 a>1 时,若使 f(x)=loga(ax2-x)在 [2,4]上是增函数,则 φ (x)= ax2 - x 在[2,4]上是增函数且大于零.故有

?21a≤2, ? ?φ ? 2? =4a-2>0,

1 解得 a> ,∴a>1. 2

(2)当 a<1 时,若使 f(x)=loga(ax2-x)在[2,4]上是增函数,则 φ (x)=ax2

4

?21a≥4, -x 在[2,4]上是减函数且大于零.? ?φ ? 4? =16a-4>0,

不等式组无解.

综上所述,存在实数 a>1 使得函数 f(x)=loga(ax2-x)在[2,4]上是增函数. 12.a>1 [解析] 设函数 y=ax(a>0,且 a≠1)和函数 y=x+a,则函数 f(x)= ax-x-a(a>0 且 a≠1)有两个零点,就是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)与函数 y=x +a 有两个交点.由图像可知,当 0<a<1 时,两函数只有一个交点,不符合;当 a>1 时,因为函数 y=ax(a>1)的图像过点(0,1),而直线 y=x+a 所过的点一定 在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取值范围是 a>1. 25 13. [解析] 由 3-4x+x2>0,得 x>3 或 x<1,∴M={x|x>3 或 x<1}. 12 ? x 1? 25 f(x)=-3×(2x)2+2x+2=-3?2 - ?2+ .∵x>3 或 x<1, x>8 或 0<2x<2, ∴2 6? 12 ? 1 1 25 ∴当 2x= ,即 x=log2 时,f(x)最大,最大值为 . 6 6 12 x 14.[解答] (1)常数 m=1.(2)y=|3 -1|的图像如下: 当 k<0 时, 直线 y=k 与函数 y=|3x-1|的图像无交点, 即方程无解; 当 k=0 或 k≥1 时,直线 y=k 与函数 y=|3x-1| 的图像有唯一的交点,所以方程有一解; 当 0<k<1 时,直线 y=k 与函数 y=|3x-1|的图像 有两个不同交点,所以方程有两解.

a 1 15.[解答] (1)依题意,对一切 x∈R 有 f(x)=f(-x),即 + x= x+aex, a e ae 1?? x 1 ? ? 所以?a- ??e - x?=0 对一切 x∈R 成立. a?? e? ? 1 由此得到 a- =0,即 a2=1.又因为 a>0,所以 a=1. a
(2) 证 明 : 设 0<x1<x2 , f(x1) - f(x2) = ex1 - ex2 + ? 1 ? -1? ex1)? ?ex1+x2 ? 1-ex2+x1 ex2+x1 由 x1>0,x2>0,x2-x1>0,得 x1+x2>0,ex2-x1-1>0,1-ex2+x1<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 16.[解答] (1)证明:由 f(x+y)=f(x)+f(y), 令 x=y=0,得 f(0)=0.令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x),又 f(0)=0, 则有 f(x)+f(-x)=0,即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立,所以 f(x)是奇函 数. (2)f(3)=log23>0,即 f(3)>f(0),又 f(x)是 R 上的单调函数,所以 f(x) 在 R 上是增函数.又由(1)知 f(x)是奇函数. =ex1(ex2-x1-1)· 5 1 1 - = (ex2 - ex1 ex2

ex

f(k·3x)+ f(3x -9x -2)<0?f(k·3x)<f(9x -3x +2)?k·3x<9x -3x +2,即 (3x)2-(1+k)3x+2>0 对任意 x∈R 恒成立. 令 t=3x>0,问题等价于 t2-(1+k)t+2>0 对任意 t>0 恒成立. 1+k 令 g(t)=t2-(1+k)t+2,其对称轴为 t= ,
2 1+k ≤0,即 k≤-1 时,g(0)=2>0,符合题意; 2 1+k ?1+k? ?>0,解得-1<k<-1+2 2. 当 t= >0,即 k>-1 时,则需满足 g? 2 ? 2 ? 综上所述,当 k<-1+2 2时,f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0 对任意 x∈R 恒成 立. 本题还有更简捷的解法: 2 2 分离系数由 k<3x+ x-1,令 u=3x+ x-1,u 的最小值为 2 2-1, 3 3 2 则要使对任意 x∈R 不等式 k<3x+ x-1 恒成立,只要使 k<2 2-1. 3 当 t=

6


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