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磁场强度毕奥萨伐尔定律及运动电荷产生的磁场


磁场 磁场强度 毕奥—萨伐尔定律 毕奥 萨伐尔定律

1

前 静止的电荷周围—电场 电场。 静止的电荷周围 电场。



运动的电荷周围—电场和磁场。 运动的电荷周围 电场和磁场。 电场和磁场 静止电荷对静止电荷和运动电荷的作用, 静止电荷对静止电荷和运动电荷的作用,均满足 库仑定律。运动荷对静止电荷的作用不遵守库仑定律, 库仑定律。运动荷对静止电荷的作用不遵守库仑定律, 而高斯定律仍然成立。 而高斯定律仍然成立。 主要内容: 主要内容: 1.描述磁场的基本物理量 磁感应强度。 1.描述磁场的基本物理量——磁感应强度。 描述磁场的基本物理量 磁感应强度 2.反映磁场性质的两条定理 2.反映磁场性质的两条定理——磁场的高斯定理和安 反映磁场性质的两条定理 磁场的高斯定理和安 培环路定理。 培环路定理。 3.磁介质的性质 磁介质的性质。 3.磁介质的性质。 磁现象与电现象有很多相似之处,但要注意不同之处。 磁现象与电现象有很多相似之处,但要注意不同之处。
2

I

一、磁的基本现象
S N

1.磁铁及其特性 1.磁铁及其特性 天然磁铁----磁铁矿(Fe3O4) 天然磁铁----磁铁矿( ----磁铁矿 人造磁铁: S 人造磁铁: 特性: 特性: N
N

I

v F

S N S 能吸引铁、 镍等物质--这种性质叫磁性。 --这种性质叫磁性 1)能吸引铁、钴、镍等物质--这种性质叫磁性。 具有两极且同性相斥,异性相吸。 2)具有两极且同性相斥,异性相吸。 3)目前还无法获得磁单极。 3)目前还无法获得磁单极。 目前还无法获得磁单极

2.电流的磁效应、磁性的起源 2.电流的磁效应、 电流的磁效应 1)磁铁与电流的相互作用; )磁铁与电流的相互作用; 2)电流与电流的相互作用; )电流与电流的相互作用;

3

结论: 结论: 电流周围具有磁性,电流与磁铁、 电流周围具有磁性,电流与磁铁、电流与电流之 间都有具有相互作用, 间都有具有相互作用,一个载流线圈的行为与磁铁的行 为一样。 为一样。并且电流与电流之间以及电流与磁铁之间的相 互作用与磁铁和磁铁之间的相互作用具有相同的性质。 互作用与磁铁和磁铁之间的相互作用具有相同的性质。 电与磁之间存在着内在的联系。 电与磁之间存在着内在的联系。 安培假说:(1822年 安培假说:(1822年) :(1822 一切磁现象都起源于电流。 一切磁现象都起源于电流。

v v
S

N

- +

N S

i

磁铁的磁性是由于其中存在着微小的环形分子电 分子电流相当于一个基元磁铁都要产生磁效应。 流,分子电流相当于一个基元磁铁都要产生磁效应。 整个物体的磁效应就是所有分子电流对外界磁效应 的总和。 的总和。磁性物质的本质在于其分子电流的有序排列 。 总结:一切磁现象都可以归结为运动电荷(即电流)之 总结:一切磁现象都可以归结为运动电荷(即电流) 间的相互作用。磁场力是电荷之间的另一种力。 间的相互作用。磁场力是电荷之间的另一种力。
4

二、磁场
磁铁和运动电荷(电流)会在周围空间激发场---磁场 运动电荷(电流)会在周围空间激发场 磁场 运动电荷 磁铁与磁铁,磁铁与电流, 磁铁与磁铁,磁铁与电流,电流与电流之间都是 通过磁场相互作用的。 通过磁场相互作用的。 磁场的基本性质:对运动电荷(电流)有力的作用。 磁场的基本性质:对运动电荷(电流)有力的作用。 电流 电流 磁场 磁场是一种物质, 其物质性体现在: 磁场是一种物质, 其物质性体现在: 1)磁场对磁铁、对电流、对运动电荷均有磁作用力; )磁场对磁铁、对电流、对运动电荷均有磁作用力; 2)载流导体在磁场中移动时,磁场的作用力对它作功。 )载流导体在磁场中移动时,磁场的作用力对它作功。 磁场是一种客观存在,是物质存在的一种形式。 磁场是一种客观存在,是物质存在的一种形式。 恒定磁场—在空间的分布不随时间变化的磁场 在空间的分布不随时间变化的磁场。 恒定磁场 在空间的分布不随时间变化的磁场。 注意:无论电荷是运动还是静止, 注意:无论电荷是运动还是静止,它们之间都存在着库 仑相互作用,但只有运动着的电荷才存在着磁相互作用。 仑相互作用,但只有运动着的电荷才存在着磁相互作用。
5

三、磁感应强度
描述磁场性质的基本物理量。 描述磁场性质的基本物理量。 1.磁感应强度的定义 1.磁感应强度的定义
×

q

r v r
× ×

B

当把运动电荷放在磁场中后, 当把运动电荷放在磁场中后, × × × 它会受到一种与其速度有关的力, 它会受到一种与其速度有关的力, × r q 洛仑兹力。 这个力称为洛仑兹力 这个力称为洛仑兹力。 × r× ×v × 当电荷运动速度与磁场方向一 当电荷运动速度与磁场方向一 × B× × × 致时电荷受力为 0 。 当运动电荷速度与磁场方向垂直时受到洛伦兹力 fL 最大。 最大。 定义: 定义:磁感应强度

r ×f L

运动电荷受到的最大洛 仑兹力 大小: 大小:B = 电荷电量 ×电荷运动速度

6

f L max B = qv
方向:小磁针在该点平衡时, 极的指向。 方向 小磁针在该点平衡时, N 极的指向。 小磁针在该点平衡时 v 注意: 注意: 的大小和方 B 单位:特斯拉 特斯拉( )。 单位 特斯拉(T)。 向是分别定义的; 向是分别定义的;

四、毕奥—萨伐尔定律 毕奥—
研究一段电流元产生磁感应强度的规律。 研究一段电流元产生磁感应强度的规律。 r

r 电流元 Idl : Idl θ ?大小:Idl 大小: 大小 r r ?方向:线元上通过的电流的方向。 方向: 方向 线元上通过的电流的方向。 r r 表述:电流元 Idl在空间 P 表述: 点产生的磁场 d B为: r

P

r r ? 0 Idl × r dB = 3 4π r

7

r ?方向: Idl × r的方向。 方向: 方向 的方向。 r r

r r r? r r 的方向:从电流元所在位置指向场点 。 的方向:从电流元所在位置指向场点P。 dB 1 ?o = 2 = 4π ×10?7 (N / A2 ) 真空中的磁导率 εoc r ?0 Idlsinθ ?大小: = 大小: 大小 dB r dB 4π r2 r r Idl r 之间的夹角。 θ 为Idl 与r 之间的夹角。 r

r r r ? 0 Idl × r dB = 4π r 3

r Idl

θ

P

r dB 的方向垂直于Idl 和 r 所形

成的平面。 成的平面。 r r 一段载流导线产生的磁场: 一段载流导线产生的磁场: B = dB =



L

r ? ?o Idl × r ∫L 4πr2

8

直角坐标系: 直角坐标系:

r r r r B = Bxi + By j + Bz k , B = Bx 2 + By 2 + Bz 2
2.应用毕萨定律解题的方法 2.应用毕萨定律解题的方法

Bx = ∫ dBx , By = ∫ dBy , Bz = ∫ dBz

4.求 B 的分量 Bx 、By 、Bz ; 求 5.由 B = 由

r r r ? 计算一段载流导体的磁场 ?o Idl × r B = ∫ dB = ∫ L L 1.建立坐标系 建立坐标系; 建立坐标系 4πr 2 2.分割电流元 分割电流元; 分割电流元 r r r ? 0 Id l × r 3. 确定电流元的磁场 dB = 3 4π r
2 求总场。 Bx2 + B y + Bz2 求总场。

9

一段有限长载流直导线,通有电流为 求距 例1:一段有限长载流直导线 通有电流为 I ,求距 a 处 一段有限长载流直导线 点磁感应强度。 的 P 点磁感应强度。 l θ
2

?0 Idl sinθ dB = 2 4π r Q l = actg(π ? θ ) = ?actgθ

解: 分割电流元

r θ Idl

∴ dl = a csc θdθ r = a csc θ
2
2

l o

r

θ1

r dB ? P x

a

?0 Ia csc θ sin θdθ ?0 I dB = = sin θdθ 2 2 4π a csc θ 4πa ?0 I θ 2 ?0 I (cosθ1 ? cosθ 2 ) sin θdθ = B = ∫ dB = ∫θ1 4πa 4πa 10

?0 I B= (cos θ1 ? cos θ 2 ) 4πa
讨论: 讨论 1.无限长载流直导线的磁场: 无限长载流直导线的磁场: 无限长载流直导线的磁场

l θ2
r θ Idl

l r o

?0 I θ1 = 0, θ 2 = π ; ∴ B = 2πa
π

θ1

r dB ? P x

a

2.半无限长载流直导线的磁场: 半无限长载流直导线的磁场: 半无限长载流直导线的磁场

?0 I θ1 = , θ 2 = π ; ∴ B = 2 4πa

I

I
P
a

β
P
a
11

?0 I θ1 = β , θ 2 = π ; ∴ B = (cos β + 1) 4πa

3.半无限长载流直导线的磁场: 半无限长载流直导线的磁场: 半无限长载流直导线的磁场

4.载流导线延长线上任一点的磁场 载流导线延长线上任一点的磁场

a r r r r r Q Id l // r , Id l × r = 0 ∴ B = 0 P

I

例2:一正方形载流线圈边长为 b,通有电流为 I,求正 : 通有电流为 , 方形中心的磁感应强度 B。 。 解:o 点的 B 是由四条载流边分别 产生的,它们大小、方向相同, 产生的,它们大小、方向相同, θ2

B= B1+ B2+ B3+ B= 4B1 4
4 4 ?0 I ? π 3π ? B=4 ? cos ? cos ? 4πb / 2 ? 4 4?
2 2?0 I = πb

θ1 = , θ 2 = 3π

π

θ1

B ? o
b

I

12

无限长载流平面, 例3:一宽为 a 无限长载流平面,通 : 有电流 I , 求距平面左侧为 b 与电 的大小。 流共面的 P 点磁感应强度 B 的大小。 点为坐标原点, 解:以 P 点为坐标原点,向右为坐 标正向; 标正向; 分割电流元为无限多宽 的无限长载流直导线; 为 dx的无限长载流直导线; P 的无限长载流直导线

I

dI dx

I 电流元电流 dI = dx a ?0dI ?0 Idx dB = = 2πx 2πax
B = ∫ dB =
a +b

o

x
b a

x


b

? 0 Idx ?0 I a + b = ln 2πa b 2πax

13

例4:一载流圆环半径为 :一载流圆环半径为R 通有电流为 I,求圆环轴 , 线上一点的磁感应强度 B。 。 解:将圆环分割为无限 I 多个电流元; 多个电流元; 电流元在轴线上产生 的磁感应强度 dB 为:

r Idl

R

r r

dB⊥

o
r Idl ′

θ
x

θ

? 0 Idl sin α π dB = , α= 2 2 4πr

P dB⊥ '

r dB dBx dB ' x x r dB '

在 x 轴下方找出 dl 关于 x 轴对称的一个电流元 Idl’, , 由对称性可知, 由对称性可知,dl 和 dl’ 在 P 点产生的 dB 在 x 方向大小相等方向相同,垂直x方向大小相等方向相 方向大小相等方向相同,垂直 方向大小相等方向相 相互抵消。 反,相互抵消。 = 0, 2 2 ∴B


B = Bx + B⊥ =

Bx

14

B = ∫ dBx = ∫ dBsinθ
?0 I R B = ∫ dBx = ∫ dl I 2 4πr r 0 ? 0 IR 2πR ?0 IR 2πR = dl = 3 3 ∫0 4πr 4πr
R Q sin θ = r 2πR

r Idl

R
o
r Idl ′

r r

r dB⊥ dB

θ

dBx x P dB ' x x r dB⊥ ' dB'
? BΟ R o

θ

=

?0 IR
2r
3

2

∴B =

2 x +R
2

(

2(x 2 + R 2 ? 0 IR
2 3/ 2

=

?0 IR

2 2 3/2

)

讨论: 讨论 载流圆环环 心处 x = 0;

I

)

B 有: o =

?0 I
2R
15

例5:求半径为 R,总长度 L,单位长度上的匝数为 n : 的螺线管在其轴线上一点的磁场? 的螺线管在其轴线上一点的磁场? l 解:将螺线管分割成 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 许多圆线圈。 许多圆线圈。 β1 β2 β 长度为dl内的各匝 v P dB 圆线圈的总效果, 圆线圈的总效果,是一 o x R 匝圆电流线圈的 ndl倍。 dl × × × × × × × × × ×× × × × 选坐标如图示 I ? R2 In ? dl

∴dB =

o

2 [R2 + (x ? l)2 ]32

统一变量: 统一变量: x ? l Q

= Rctgβ R ∴dl = dβ 2 sin β

sin β = 3 2 2 2 R [R + ( x ? l ) ] R
2 3

16

R2In ? dl ?o ∴B = ∫ 3 2 2 2 2 L [R + ( x ? l ) ]
L2
1
1 2 ?onI = (cos β1 ? cos β2 ) 2

=

?onI

l ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? β1 β2 β p v

∫β

β2

sin β ? dβ

o

x
dl

B
R

× × × × × × × × × ×× × × ×
I

载流螺旋管在其轴上的磁场,磁场方向与电流满足 载流螺旋管在其轴上的磁场, 右手螺旋法则。 右手螺旋法则。 讨论: 讨论 1.无限长: 1 = 0, β2 = π 无限长: 无限长 β

∴B = ?onI

v B

I

I

2.管端口处:β1 = 0, β2 = π / 2∴B = 管端口处: 管端口处

?onI
2
17

在管端口处,磁场等于中心处的一半。 在管端口处,磁场等于中心处的一半。

0.1m, 例6:两个相同及共轴的圆线圈,半径为0.1m,每一线 :两个相同及共轴的圆线圈,半径为0.1m 圈有20 20匝 它们之间的距离为0.1m 0.1m, 圈有20匝,它们之间的距离为0.1m,通过两线圈的电流 0.5A,求每一线圈中心处的磁感应强度: 为0.5A,求每一线圈中心处的磁感应强度: (1) 两线 圈中的电流方向相同, 两线圈中的电流方向相反。 圈中的电流方向相同,(2) 两线圈中的电流方向相反。

r r r 解:任一线圈中心处的磁感应强度为: = B1 + B2 任一线圈中心处的磁感应强度为: B ?0 NI ?0 NI R 2 B1 = B2 = 3 2 2 2 R 2( R + x ) 2
(1)电流方向相同: (1)电流方向相同: 电流方向相同 ?0 NI

R
O1
O2

x
?5

B=

B1 + B2 =

2R

[1 +

R3 (R + x )
2 2 3 2

]

= 8.51 × 10 T

(2)电流方向相反: (2)电流方向相反: 电流方向相反 ?0 NI R3 [1 ? ] = 4.06 × 10 ?5 T = 3 B = B1 ? B2 2 2 2R (R + x ) 2

18

中部弯成圆弧形, 例7:一根无限长导线通有电流I,中部弯成圆弧形, : 如图所示。 如图所示。求圆心o点的磁感应强度B。 解:直线段ab在o点产生 a 直线段ab在 ab 的磁场: 的磁场: ?0 I B1 = (cos 00 ? cos 300 ) 4π R sin 300
=
I

b
1200
300

c
R

I

d

o

?0 I 3 (1 ? ) 向里 2π R 2 ?0 I 3 ?0 I 0 0 (1 ? ) (cos150 ? cos180 ) = cd段:B3 = 0 2π R 2 4π R sin 30

?0 I 1 ?0 I ) 圆弧bc 产生的磁场 B2 = × = 向里 2 R 3 6R ?0 I 3 ?0 I B = B1 + B2 + B3 = (1 ? )+ πR 2 6R

19

点的磁感应强度。 例8:计算组合载流导体在 o 点的磁感应强度。 : 由三段载流导体产生。 解:o 点 B 由三段载流导体产生。
a
R

r r r r Bo = Bab + Bbc + Bcd

?0 I ?0 I ?0 I ? 1 ? = + Bo = ? Bab + Bbc = ? ?1 ? ? 4πR 4 R 4 R ? π ? 五、运动电荷的磁场
考虑一段导体, 考虑一段导体,其截面积 为S,其中自由电荷的密度 , 为n,载流子带正电 ,以 ,载流子带正电q, v 运动。 同一平均速度 v 运动。

规定向里为正向, 规定向里为正向,

b

c

d

+ ++ + + +++ + + + ++ + + + ++++++ ++++ + ++ ++ +

Ir v

?q I= = q?N = qn?V= nqvS ?t

v

S

20

r 在该导体上选取一个电流元 Idl ,它产生的磁场为: 它产生的磁场为: r r
r ? 0 I dl × r dB = 4π r3
电流元产生的磁场相当于电流 个运动电荷产生的磁场。 元内 dN 个运动电荷产生的磁场。 而电荷元内电荷的数目为: 而电荷元内电荷的数目为:

r Id l

θ

S

dN = ndV = nSdl
一个运动电荷产生的磁场为: 一个运动电荷产生的磁场为: 体

r ? r dN r dB

P

r r r r r r dB ? I dl × r ? vSnq dl × r 运动电荷的 B= = 0 = 0 磁场公式: 磁场公式: dN 4π dN r 3 4π nS dl r 3 r r r ?0 q v × r r r r r B= ? 0 dlq v × r ? 0 q v × r = 4π r3 = 3 4π dl r 4π r3 21

在半径为r的圆周轨道 例9:氢原子中的电子,以速率 在半径为 的圆周轨道 :氢原子中的电子,以速率v在半径为 上作匀速率运动。 上作匀速率运动。求电子在轨道中心产生的磁感应强 度。 r v 解: 应用运动电荷的磁场公式: 应用运动电荷的磁场公式:

本题亦可应用圆电流在中心产生的磁场公式 B = 2r e ev q 求解。 求解。

r r r ?0 q v × r 可得: 可得: B= 4π r3 ? 0 ev ev B= 方向如图所示。 2 方向如图所示。 4π r QI = = =

r O r ?r

e

B
?0 I

T 2πr ? 0 I ? 0 ev ? 0 ev = ? ∴B = = 方向如图所示。 方向如图所示。 2 2r 2πr 4π r 2r T

22


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