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试论高考生惧怕数学应用题的成因和对策


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A Suzhou Institution

高考生惧怕数学应用题的成因和对策
在高三数学复习中,加强数学应用题的复习,消除学生惧怕应用题的心理, 切实提高学生的解题能力,是非常重要的。 一、高三学生惧怕数学应用题的成因分析 综观数学应用问题,基本上可以分为两类:阅读理解题和模型设计型。 1、阅读理解型应用题的显著特点是:文字叙述长、数学情景陌生。针对这 类问题,学生容易产生两种解题障碍:心理障碍和语言障碍。解决数学应用题, 读题是基础,通过读题,抓住关键的数量关系,然后准确地翻译为数学语言翻译 是理解的手段。 2、模型设计型问题。主要表现为学生分析,综合能力的确良不足。 二、对策 要提高学生解决数学应用题的能力,应该做好以下两方面的工作。 ㈠让学生了解和掌握解决数学应用题的一般性过程。 也就是一个数学建模和 求解的过程。具体可分为⑴过程分析,明确求解目标,确定问题相关因素;⑵对 过程的相关因素进行量化;⑶依据一些基本概念、基本功原理、普遍化公理和常 识,确定变量之间的关系;⑷根据求解问题的要求将上述基本关系转化成目标表 达式—即数学模型;⑸利用数学的基本方法进行求解;⑹对结果的合理进行分析 检验。 ㈡高三复习课中对数应用题进行分类研究 1、对诸如成本最低,利润、产出最大,效益最好等与市场经济相关的应用 题,常常可以归纳为函数的最值问题。

2、对若干个量之间的相等或某种不等关系,如投资决策、人口控制、资源 保护、生产规划、商品销售、交通运输等涉及有关社会热点中的问题,常常[归 纳到解方程或解不等式来解决。 3、对诸如增长率、降低率、复利、分期付款等到与年份有关的经济活动以 及与次数顺序有关的操作活动等实际问题,常常归纳为数列问题,通过建立数列 模型来解决。 4、对诸如航行、建桥、测量,人造卫星运行等涉及一定图形属性的应用问 题,常常需要应用图形特性,建立相应的几何模型,综合运用有关数学知识来解 决。 三、加强应用题数学的几点思考 1、要加强学生阅读、读书理解的训练。 学生阅读理解能力的提高,不以能依赖课堂教学,平时要鼓励学生多看课外 读物,了解一些社会、科技、经济、生活等方面的常识,从而使学生在阅读应用 题时能够独立获取解题的信息。 2、要加强运用数学意识的培养 应用题不单单要求准确地把握信息,而且要求经济阅读,会根据题目中的信 息,把它转换成数学问题,建立数学模型,然后运用数学方式予以解决。建立数 学模型是学生的簿弱环节,究其根源是在平时的教学中,不太注意运用数学意识 的培养,学生较少在陌生的数学情景中思考问题,从而造成不适应。 3、要重视解数学应用题的书写过程 应用型解答题与其它解答题一样,不仅重视结果,更重视教学建模过程和演 算推理过程。否则就容易造成逻辑混乱,言之无据等现象的发生。 4、应用题例题教学要精讲、讲透。 由于应用题已成了高考热点之一, 所以在各种复习资料中出现了大量的应用 题, 其中不乏精彩之作, 但也有一些粗制滥造的题目。 在高三宝贵诉复习时间里, 教师要精选例题, 讲深讲透, 不能让学生似懂非懂, 否则花了时间, 收获却甚微。

高考数学中的信息迁移题
近年来,高考内容进行了一系列的改革,其核心是更加注重对学生能力和素 质的考查。2004 年高考数学《考试大纲》对能力和创新意识,强调探究性、综 合性和开放性,注重通性通法,淡化特殊技巧,特别是要考查以含字母的式的运 算为主, 可以断言, 在今后的高考命题中, 以能力立意的命题思想将进一步突出, 出新题,出活题,出思维价值高注重能力考查的试题,将始终是高考命题专家们 研究的热点,据此,在新一轮高考复习备考中,我们有必要对一些较为新颖,无 现成解题思路、模式或方法可套用的问题(信息迁移问题)加以收集、整理和研 究,以此发展我们的思维,提高我们的能力,培养我们的创新意识和创新能力。 信息迁移题也称信息给予题,它的基本形式是:在设计一个陌生的数学情景 (信息) 要求解答者在理解的基础上运用所学知识和方法灵活地解题 中。 (迁移) , 情况有点像英语中的“阅读理解” ,或语文中的“材料作文” ,信息迁移题是近几 年高考中的一种新题型,它是应用性问题发展的一个新形式和高级阶段,下面, 本文将对高三数学复习中的信息迁移问题作粗略的探讨。 一、什么是“陌生的数学情景” 什么是“陌生的数学情景” 陌生的数学情景,通常指即时定义一个概念,或约定一种运算、或给出一个 模型,主要有文字符号、图表图像信息。 1、定义一个概念 例1 设 m∈N, 2m 的整数部分用 F log (m) 表示, F 则 (1) (2) (3) +F +F … 。

+F(1024)的值是

分析:把 1~1024 中的每一个正整数 m 用 2 的幂与一个常数的和表示,可得

下表: 20 21,21+1 22,22+1,22+2,22+3 23,23+1,23+2,23+3,23+4,23+5。23+6,23+7 … 29,29+1,29+2,…,29+511 210 将这些数分别取以 2 为底的对数后,各行上的对数的整数部分的和分别是 0,2×1,22×2,23×3,…,29×9,10 ∴F(1)+F(2)+F(3)+…+F(1024) =0+2×1+22×2+23×3+…+29×9+10=8204 点评: 一般地, 任一正整数 m 均满足不等式 2n≤m2n+1, m 可表示为 m=2n+k 故 (其中 k∈N,k<2n=此时 F(m)=n。 2、约定一种运算 例2 对任意两个复数 z1=x1+y1i,z2+x2+y2i(x1,y1,x2,y2R) ,定义运算

“⊙”为:z1⊙z2=x1x2+y1y2。设非零复数 w1、w2 在复平面内对应的点分别为 P1、 P2, O 为原点, 点 如果 w1⊙w2=0, 那么△P1OP2 中, 1OP2= ∠P 。

分析:本题避关于“⊙”的定义,本质上对两个复数间一种运算法则的规定, 因此在求解中,只要以此运算法则为依据即可。 设 w1=x1+y1i,w2=x2+y2i(x1,y1,x2,y2∈R) , 则 x1x2+y1y2=0 ⑴当 x1,x2≠0 时得 (*)

y1 y 2 =-1,即: K OP1 · K OP2 =-1,故 OP1⊥OP2。 x1 x 2

⑵当 x2=0 时,x2≠0, (否则 P1、O、P2 三点共线,不能构成三角形。 )同时 y1≠0, (否则 P1 与 O 重合,这与 w1≠0 矛盾) 。故由(*)式知 y2=0,此时 OP1 ⊥OP2。 ⑶当 x2=0 时,同理可得迷 OP1⊥OP2。 由⑴、⑵、⑶知,∠P1OP2=

π
2



点评:本题(2002 北京、安徽、内蒙古春季高考试题)为我们提供了一种全 新的材料,透过运算“⊙”的定义,扑面而来的新气息,我们只有真正理解运算 “⊙”的意义,并能运用这即刻自学获得的关于运算“⊙”的规则,才有正确解 决的可能,体现了对学习能力考查的力度。 在获得(*)式后,对于使用统编教材的学生来说,对于 x1=0 及 x2=0 的情况 讨论是必须的,它体现了思维的严密性、深刻性和科学性,而对于使用新教材的 学生来说,这是平面向量数量积的坐标表示。 事实上, OP1 =(x1,y1) OP2 =(x2,y2) , , 则 OP1 ⊥ OP2 ? x1x2+y1y2=0 3、给出一个模型 例3 如图⑴小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表它们有网络相连,

连线标注的数学表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量, 信息可以分开 沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为( A.26 B.24 C.20 D.19 )

分析:为叙述的方便,我们不妨把 A、B 以外的其余 6 个结点分别记为 A1、 A2、A3、A4、A5、A6,如图(2) ,由于在信息传递中,下一个结点单位时间内 获得最大信息量必不超过该结点上与一结点所连的网线段上单位时间内可以通 过的最大信息量,因此, 通过传递路径 A→A1→A3→B,B 点最多可获得 6 条信息; 通过传递路径 A→A1→A4→B,B 点最多可获得 6 条信息; 通过传递路径 A→A1→A5→B,B 点最多可获得 4 条信息; 通过传递路径 A→A2→A6→B,B 点最多可获得 3 条信息; 故单位内容 B 点可获得的最大信息量是 N=6+6+4+3=19 条, 即单位时间内传 递的最大信息量是 19,因此选 D。 点评:本题(2001 年全车高考第 12 题)是以网络传递信息为背景的统计同 一时段内传递最大信息量的应用问题。对于 A 以外的其余 7 个结点,求解中应 根据图中标注的数据,充分考虑它们能从上一结点最多接收到几条信息。显然, 求解本题除了需要网络传递信息的一些基本常识外,更需要的是逻辑思维能力, 信息处理能力。

二、信息迁移问题的求解 在高考中,信息迁移问题还有一个特点:就是与应用性问题相联系,所设计 的陌生“数学情景” ,是以现实生活为原型,因而高考中拭目以待信息迁移题与 应用性问题的求解在本质上是相同的,但对语言的理解能力和表达能力要求更 高,一般分三步: 第一步,阅读理解 阅读理解就是读题目中的文字叙述,理解问题所反映

的实际背景,领悟背景中概括出来数学实质,这一过程是对理解能力和心理素质 的双重考验。 第二步,进行数学化设计 在上一步的基础上,把题中生活语言提炼成数

学语言,把题中给出的各种信息加工成数学问题。 第三步,进行标准化设计 将数学问题转化为一个常规的数学问题加以解

决,有时是方程求解,有时可能是函数求最值,有时是不等式证明,有时是数列 问题等。 三、信息迁移题的功能 由于信息迁移注意即时信息的接收,加工和传输,注重陌生情景与原知识之 间的沟通,注重思维过程中理解的迁移、解决问题的迁移、技能的迁移,因而在 数学考查中有两个重要的功能。 1、有利于考查能力 网解题能力。 2、有利于公平竞争 因为题目的类型、内容对每一个学生都是未知的、新 尤其是有助于考查理解能力和综合已有知识编织信息

鲜的, 考生必须临场应试, 即时发挥, 因而对每个考生综合实力的考查真实可靠、 公平合理。 综上所述,信息迁移题以其题目容量大,信息量多,背景陌生的特点,在试 题中发挥出其特殊的功能,确实能考查学生的综合素质和能力。2004 年《考试 大纲》在考查考生实践能力方面说明:重视研究性、探索性和开放性问题,试卷 将继续加强对新增加内容的考查 (2003 年新增加内容占试卷 24.7%, 超过该部分 教材在全部教材中所占的比例) ,因此我们要注意对研究性学习课题、实习作业、 数学实验的复习。加强这方面的考查,有望使大家从题海中走出,有利于减轻课 业负担。


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