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【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习坐标系与参数方程计时双基练64坐标系文北师大版选修4-4(新)


计时双基练六十四
系,则线段 y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( 1 π A.ρ = ,0≤θ ≤ cos θ +sin θ 2 1 π B.ρ = ,0≤θ ≤ cos θ +sin θ 4 π C.ρ =cos θ +sin θ ,0≤θ ≤ 2 π D.ρ =cos θ +sin θ ,0≤θ ≤ 4 )

坐标系

1.(2015·江西卷)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标

解析 由 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ ,y=1-x 可得 ρ sin θ =1-ρ cos θ ,即 ρ = 1 , cos θ +sin θ

? π? 再结合线段 y=1-x(0≤x≤1)在极坐标系中的情形,可知 θ ∈?0, ?。 2? ?
1 π 因此线段 y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为 ρ = , 0≤θ ≤ 。 故选 A。 cos θ +sin θ 2 答案 A π? ? 2.(2015·安徽皖北协作区联考)在极坐标系中,点?2,- ?到圆 ρ =-2cos θ 的圆 3? ? 心的距离为( A.2 C. π 9+ 9
2

) B. D. 7 π 4+ 9
2

π? ? 解析 在直角坐标系中,点?2,- ?的坐标即(1,- 3),圆 ρ =-2cos θ 的方程 3? ? π? ? 2 2 2 2 为 x +y =-2x, 即(x+1) +y =1, 圆心坐标是(-1,0), 所以点?2,- ?到圆 ρ =-2cos 3? ? θ 的圆心的距离为 ?1+1? +?- 3-0? = 7,故选 D。 答案 D
2 2

? π? 3 .(2015·北京西城一模 ) 在极坐标系中,过点 ?2, ? 且与极轴平行的直线方程是 2? ?
( ) A.ρ =2 π B.θ = 2

1

C.ρ cos θ =2

D.ρ sin θ =2

? π? 解析 极坐标为?2, ?的点的直角坐标为(0,2), 过该点且与极轴平行的直线的方程为 2? ?
y=2,其极坐标方程为 ρ sin θ =2,故选 D。
答案 D 1 ? ?x′= x, 2 4. 设平面上的伸缩变换的坐标表达式为? ? ?y′=3y,

则在这一坐标变换下正弦曲线

y=sin x 的方程变为________。
1 ? ?x′= x, 2 解析 ∵? ? ?y′=3y, 答案 y′=3sin 2x′ 5.(2015·天津卷)在以 O 为极点的极坐标系中,圆 ρ =4sin θ 和直线 ρ sin θ =a 相交于 A,B 两点,若△AOB 是等边三角形,则 a 的值为________。 解析 由 ρ =4sin θ 可得 ρ =4ρ sin θ ,所以 x +y =4y。 所以圆的直角坐标方程为 x +y =4y,其圆心为 C(0,2),半径 r=2; 由 ρ sin θ =a,得直线的直角坐标方程为 y=a,由于△AOB 是等边三角形,所以圆心
2 2 2 2 2

x=2x′, ? ? ∴? 1 y= y′。 ? ? 3

代入 y=sin x 得 y′=3sin 2x′。

C 是等边三角形 OAB 的中心,若设 AB 的中点为 D(如图)。

1 则 CD=CB·sin 30°=2× =1,即 a-2=1,所以 a=3。 2 答案 3 π 6.(2015·安徽卷)在极坐标系中,圆 ρ =8sin θ 上的点到直线 θ = (ρ ∈R)距离 3 的最大值是________。 解析 圆 ρ =8sin θ 化为直角坐标方程为 x +y =8y,即 x +(y-4) =16。 故其圆心为(0,4),半径 r=4。 π π 直线 θ = (ρ ∈R)化为直角坐标方程为 y=xtan = 3x。 3 3 | 3×0-4| 故圆心到直线 y= 3x 的距离 d= =2。 2
2 2 2 2

2

所以圆上的点到直线 y= 3x 距离的最大值为 d+r=6。 答案 6 7.已知曲线 C1 的参数方程为?
? ?x=4+5cos ?y=5+5sin ?

t, t,

(t 为参数),以坐标原点为极点,x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =2sin θ 。 (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ ≤2π )。 解 (1)将?
? ?x=4+5cos ?y=5+5sin ?

t, t,

消去参数 t, 化为普通方程(x-4) +(y-5) =25, 即 C1:

2

2

x2+y2-8x-10y+16=0。
将?
2

?x=ρ cos θ , ? ? ?y=ρ sin θ ,

代入 x +y -8x-10y+16=0 得

2

2

ρ -8ρ cos θ -10ρ sin θ +16=0。 所以 C1 的极坐标方程为 ρ -8ρ cos θ -10ρ sin θ +16=0。 (2)C2 的普通方程为 x +y -2y=0。 由?
?x +y -8x-10y+16=0, ? ? ?x +y -2y=0, ? ?x=1, ?y=1, ?
2 2 2 2 2 2 2

解得?

或?

? ?x=0, ?y=2。 ?

π? ? π? ? 所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为? 2, ?,?2, ?。 4? ? 2? ? 8.(2016·遵义模拟)以平面直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极

? π? 坐标系,已知点 P 的直角坐标为(1,-5),点 M 的极坐标为?4, ?,若直线 l 过点 P,且 2? ?
π 倾斜角为 ,圆 C 以 M 为圆心,4 为半径。 3 (1)求圆 C 的极坐标方程。 (2)试判定直线 l 与圆 C 的位置关系。 解 (1)M 点的直角坐标为(0,4),

因为圆 C 以 M 为圆心,4 为半径, 所以圆 C 的直角坐标方程为 x +(y-4) =16, 即 x +y =8y, 所以圆 C 的极坐标方程为 ρ =8sin θ 。 π (2)因为直线 l 过点 P(1,-5),且倾斜角为 , 3
3
2 2 2 2

所以直线斜率为 3, 所以直线 l 的普通方程为 3x-y-5- 3=0, 圆心 M 到 l 的距离为 d=? 所以直线 l 与圆 C 相离。 9.在极坐标系中,已知曲线 C1 与 C2 的极坐标方程分别为 ρ =2sin θ 与 ρ cos θ =- 1(0≤θ <2π ),求: (1)两曲线(含直线)的公共点 P 的极坐标。 (2)过点 P 被曲线 C1 截得弦长为 2的直线的极坐标方程。 解 (1)由公式?
? ?x=ρ cos θ , ?y=ρ sin θ , ?
2

?-4-5- 3? 9+ 3 ?= 2 >4, 2 ? ?

得曲线 C1:ρ =2sin θ 与 C2:ρ cos θ =-1(0≤θ <2π )的直角坐标方程分别为 x +y =2y,x=-1。 联立方程组,解得?
2 2 2 2

?x=-1, ? ? ?y=1。

ρ =x +y , ? ? 由公式? y tan θ = ?x≠0?, ? x ? 3π ? ? 得点 P(-1,1)的极坐标为? 2, ?。 4 ? ?

(2)解法一:由上述可知,曲线 C1:ρ =2sin θ 即圆 x +(y-1) =1,如图所示, 过 P(-1,1)被曲线 C1 截得弦长为 2的直线有两条: 3π 3π 一条过原点 O,倾斜角为 ,直线的普通方程为 y=-x,极坐标方程为 θ = (ρ ∈ 4 4 R); π 另一条过点 A(0,2),倾斜角为 ,直线的普通方程为 y=x+2, 4 极坐标方程为 ρ (sin θ -cos θ )=2,

2

2

4

π? ? 即 ρ sin?θ - ?= 2。 4? ? 3π ? ? 2 2 解法二:由上述可知,曲线 C1:ρ =2sin θ 即圆 x +(y-1) =1,过点 P? 2, ?被 4 ? ? 3π 3π 曲线 C1 截得弦长为 2的直线有两条: 一条过原点 O, 倾斜角为 , 极坐标方程为 θ = (ρ 4 4 ∈R); π? π ? 另一条倾斜角为 ,极坐标方程为 ρ sin?θ - ? 4? 4 ? = 2sin?

?3π -π ?,即 ρ sin?θ -π ?= 2。 ? ? ? 4? 4? ? 4 ?
2

10 .(2015·山西考前监测 ) 在极坐标系中,曲线 C 的方程为 ρ = π? ? R?2 2, ?。

3 ,点 2 1+2sin θ

?

4?

(1)以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线 C 的极坐标方 程化为直角坐标方程,R 点的极坐标化为直角坐标; (2)设 P 为曲线 C 上一动点, 以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边垂直于极轴, 求矩形 PQRS 周长的最小值,及此时 P 点的直角坐标。 解 (1)∵x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ ,

∴曲线 C 的直角坐标方程为 +y =1。 3 点 R 的直角坐标为 R(2,2)。 (2)设 P( 3cos θ ,sin θ ),根据题意可得|PQ|=2- 3cos θ ,|QR|=2-sin θ , ∴|PQ|+|QR|=4-2sin(θ +60°)。 当 θ =30°时,|PQ|+|QR|取最小值 2, ∴矩形 PQRS 周长的最小值为 4,

x2

2

?3 1? 此时点 P 的直角坐标为? , ?。 ?2 2?

5


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