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《圆锥曲线》知识点小结
一、椭圆: (1)椭圆的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常数(大于 | 其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意: 2a ?| F1 F2 | 表示椭圆; 2a ?| F1 F2 | 表示线段 F1 F2 ; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹; (2)椭圆的标准方程、图象

及几何性质: 中心在原点,焦点在 x 轴上 标准方程 中心在原点,焦点在
2 2

F1 F2 | )的点的轨迹。

y 轴上

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

2

y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
B2 y F2 O F1 B1 A2x

P
图 形

y

B2 O F2 B1 A2

A1

x

F1

P A1





A1 ( ? a,0), A2 ( a,0) B1 (0,?b), B2 (0, b)

A1 ( ?b,0), A2 (b,0) B1 (0,? a ), B2 (0, a )

对称轴

x 轴, y 轴;短轴为 2b ,长轴为 2a
F1 (?c,0), F2 (c,0) | F1F2 |? 2c(c ? 0)
e?





F1 (0,?c), F2 (0, c)
c2 ? a2 ? b2





离心率

c (0 ? e ? 1) (离心率越大,椭圆越扁) a





2b 2 a

(过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段)

3.常用结论:(1)椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两 a2 b2

点,则 ?ABF2 的周长= (2)设椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 左、右两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 且垂直于对称轴的直线 a2 b2

交椭圆于 P, Q 两点,则 P, Q 的坐标分别是 1

| PQ |?

助飞教育 二、双曲线: (1)双曲线的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 | 迹。 其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意: |

F1 F2 | )的点的轨

PF1 | ? | PF2 |? 2a 与 | PF2 | ? | PF1 |? 2a ( 2a ?| F1 F2 | )表示双曲线的一支。

2a ?| F1 F2 | 表示两条射线; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹;
(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点,焦点在 x 轴上 标准方程 中心在原点,焦点在
2 2

y 轴上

x2 y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

2

y x ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
P y F2 B2 O B1 F1 x

P
图 形

y x O A2 F2

F1 A1





A1 (?a,0), A2 (a,0)

B1 (0,?a), B2 (0, a)

对称轴 焦 焦 点 距

x 轴, y 轴;虚轴为 2b ,实轴为 2a
F1 (?c,0), F2 (c,0)
| F1F2 |? 2c(c ? 0)
e?

F1 (0,?c), F2 (0, c)

c2 ? a2 ? b2

离心率 渐近线 通 径

c (e ? 1) (离心率越大,开口越大) a

y??

b x a
2b 2 a

y??

a x b

(3)双曲线的渐近线:
2 2 2 2 ①求双曲线 x ? y ? 1 的渐近线,可令其右边的 1 为 0,即得 x ? y ? 0 ,因式分解得到 x ? y ? 0 。 a b a2 b2 a2 b2

②与双曲线

2 2 x2 y2 ? 2 ? 1 共渐近线的双曲线系方程是 x 2 ? y 2 ? ? ; a2 b a b

2

助飞教育 (4)等轴双曲线为 x
2

? y 2 ? t 2 ,其离心率为 2
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 的直线交双曲线的 a2 b2

(4)常用结论:(1)双曲线

同一支于

A, B 两点,则 ?ABF2 的周长=
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 左、右两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 且垂直于对称轴的 a2 b2

(2)设双曲线

直线交双曲线于 P, Q 两点,则 P, Q 的坐标分别是 三、抛物线:

| PQ |?

(1)抛物线的定义:平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线。 (2)抛物线的标准方程、图象及几何性质:

p?0
焦点在

焦点在 x 轴上, 开口向右 标准方程

焦点在 x 轴上, 开口向左

y 轴上,

焦点在

y 轴上,

开口向上

开口向下

y 2 ? 2 px

y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

l
图 形

y P x O F

P

y

l
x P

y F O x

l
P

F

O

y O F

x

l
顶 点

O(0,0)

对称轴 焦 点

x轴
p F ( ,0 ) 2

y轴
F (? p ,0) 2
p F (0, ) 2

p F (0,? ) 2

离心率 准 通 线 径

e ?1
x?? p 2
x? p 2

y??

p 2

y?

p 2

2p
| PF |?| x 0 | ? p 2
| PF |?| y 0 | ? p 2

焦半径 焦点弦 焦准距

p
3

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四、弦长公式:

| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ?
y 后所得关于 x 的一元二次方程

? | A|

其中,

A, ? 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去
2

的判别式和 x 的系数 求弦长步骤:(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程;(2)联立两方程,消去 y,得关于 x 的一元二 次方程

Ax2 ? Bx ? C ? 0,



A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 由 韦 达 定 理 求 出 x1 ? x 2 ? ?

B A



x1 x 2 ?

C ;(3)代入弦长公式计算。 A
2

法(二)若是联立两方程,消去 x,得关于 y 的一元二次方程 Ay

? By ? C ? 0, 则相应的弦长公

式是: |

1 1 1 ? AB |? 1 ? ( ) 2 | y1 ? y 2 |? 1 ? ( ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? 1 ? ( ) 2 ? k k k | A| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? | A| ? 和 | A|

注意(1)上面用到了关系式 |

y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ?

注意(2)求与弦长有关的三角形面积,往往先求弦长,再求这边上的高(点到直线的距离),但 若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形,且线段的长度为定值,求面积一般用分割法 五、弦的中点坐标的求法 法(一):(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程;(2)联立两方程,消去 y,得关于 x 的一元二次 方程

Ax2 ? Bx ? C ? 0, 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,由韦达定理求出 x1 ? x 2 ? ?
? x1 ? x 2 2
;再把 x

B ;(3)设中 A

点 M ( x0 , y0 ) ,由中点坐标公式得 x 0

? x0 代入直线方程求出 y ? y0 。

法(二):用点差法,设

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,中点 M ( x0 , y0 ) ,由点在曲线上,线段的中

点坐标公式,过 A、B 两点斜率公式,列出 5 个方程,通过相减,代入等变形,求出 x0 , y0 。 六、求离心率的常用方法:法一,分别求出 a,c,再代入公式 法二、建立 a,b,c 满足的关系,消去 b,再化为关于 e 的方程,最后解方程求 e (求 e 时,要注意椭 圆离心率取值范围是 0﹤e﹤1,而双曲线离心率取值范围是 e﹥1) 4

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例 1:设点 P 是圆 x 2 ? y 2 ? 4 上的任一点,定点 D 的坐标为(8,0),若点 M 满足

???? ? ???? ? PM ? 2MD .当点 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹方程.
解 设点 M 的坐标为 ? x, y ? ,点 P 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,由 PM ? 2MD ,

???? ?

???? ?

得 ? x ? x0 , y ? y0 ? ? 2 ?8 ? x, ? y ? ,即 x0 ? 3x ?16 , y0 ? 3 y . 因为点 P ? x0 , y0 ? 在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上, 所以 x02 ? y02 ? 4 . ? 3 x ? 16 ? ? ? 3 y ? ? 4 , 即
2 2

4 ? 16 ? 即 ? x ? ? ? y 2 ? ,这就是动点 M 的轨迹方程. 3? 9 ?
例 2:已知椭圆的两个焦点为(-2,0),(2,0)且过点 ( , ? ) ,求椭圆的标准方程

2

5 2

3 2

解法 1 因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

由椭圆的定义可知: 2a ? ( ? 2) ? ? (
2

5 2

3 5 3 2 2 2 ? 0) ? ( ? 2)? ? ? 0) ? 2 10 ( 2 2 2
x2 y 2 ? ?1 10 6
x2 y2 ? 2 ? 1,将 a2 a ? 4

? a ? 10 又 c ? 2,?b ? a ? c ? 6 所以所求的标准方程为
2 2 2

解法 2 ? c ? 2,?b ? a ? c ? a ? 4 ,所以可设所求的方程为
2 2 2 2

点 ( , ? ) 代人解得: a ? 10

5 2

3 2

所以所求的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 10 6

例 3.

5

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例 4.

习题:1.已知椭圆长半轴与短半轴之比是 5:3,焦距是 8,焦点在 x 轴上,则此椭圆的
标准方程是(
2 2



x x2 x2 x2 y y2 y2 y2 + =1(B) + =1 (C) + =1 (D) + =1 3 9 5 25 5 25 3 9 2.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点,则椭圆的离心率是( )
(A) (A)

1 2

(B)

2 2

(C)

3 2

(D)

3 3

3. 已知椭圆 x2+2y2=m,则下列与 m 无关的是( ) (A)焦点坐标 (B)准线方程 (C)焦距

(D)离心率 )

4. 椭圆 mx2+y2=1 的离心率是
(A)1 (B)1 或 2

3 ,则它的长半轴的长是( 2
(C)2

(D)

1 或1 2

5 椭圆的中心为 O,左焦点为 F1,P 是椭圆上一点,已知△PF1O 为正三角形,则 P 点到
右准线的距离与长半轴的长之比是( (A) 3 -1 6.若椭圆 (B)3- 3 ) (C) 3 (D)1 。

y2 x2 ? =1 的准线平行于 y 轴,则 m 的取值范围是 3m ? 12 m
6

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7.椭圆的长半轴是短半轴的 3 倍,过左焦点倾斜角为 30°的弦长为 2 则此椭圆的标准方 程是 。 8. 椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等 于椭圆的焦距, 又已知直线 2x-y-4=0 被此椭圆所截得的弦长为

4 5 , 求此椭圆的方程。 3

9. 已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率 e= ,长轴长为 6,那么椭圆的方程是( )。
x 2 y2 x 2 y2 x 2 y2 + =1 (B) + =1 或 + =1 36 20 36 20 20 36 x 2 y2 x 2 y2 x 2 y2 (C) + =1 (D) + =1 或 + =1 9 5 9 5 5 9 10. 椭圆 25x2+16y2=1 的焦点坐标是( )。 3 3 1 (A)(±3, 0) (B)(± , 0) (C)(± , 0) (D)(0, ± ) 3 20 20 x2 y2 y2 x2 11. 曲线 + =1 与曲线 + =1 (k<9),具有的等量关系是( )。 25 k - 9?k 25 9 (A)有相等的长、短轴 (B)有相等的焦距 (C)有相等的离心率 (D)一相同的准线 2 2 12.椭圆 4x +16y =1 的长轴长为 ,短轴长为 ,离心率为 ,焦点坐标 是 , 13. 已知两点 A(-3, 0)与 B(3, 0),若|PA|+|PB|=10,那么 P 点的轨迹方程是 。 18 14. 椭圆的长、短轴都在坐标轴上,两准线间的距离为 5 ,焦距为 2 5 ,则椭圆的 5 方程为 。 x 2 y2 ? ? 1 共焦点,并经过点 P(3, -2),则 15. 椭圆的长、短轴都在坐标轴上,和椭圆 9 4 椭圆的方程为 。 2 2 x y 16.在椭圆 + =1 内有一点 M(4, -1),使过点 M 的弦 AB 的中点正好为点 M, 求弦 AB 10 40 所在的直线的方程。 x2 y2 1 17. 椭圆 + =1 的离心率 e= , 则 k 的值是 。 k ?8 9 2 18.平面内有两个定点 F1(-5,0)和 F2(5,0),动点 P 满足条件|PF1|-|PF2|=6,则动点 P 的轨迹方程是( )。 x2 x2 y2 y2 (A) - =1 (x≤-4) (B) - =1(x≤-3) 9 16 16 9 x2 x2 y2 y2 (C) - =1 (x>≥4) (D) - =1 (x≥3) 9 16 16 9
(A)

2 3

7

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y2 x2 - =1 的渐近线方程是 ( ) 36 49 y y y x x x (A) ± =0 (B) ± =0 (C) ± =0 36 49 36 49 6 7 20. 双曲线 x2-ay2=1 的焦点坐标是( )

19 双曲线

(D)

y x ± =0 7 6

(A)( 1 ? a , 0) , (- 1 ? a , 0)

(B)( 1 ? a , 0), (- 1 ? a , 0)

(C)(-

a ?1 a ?1 , 0),( , 0) a a

(D)(-

a ?1 a ?1 , 0), ( , 0) a a

21. 设双曲线

x 2 y2 ? ? 1 (b>a>0)的半焦距为 c,直线 l 过(a, 0)、(0, b)两点,已知原点到 a 2 b2

3 c,则双曲线的离心率是( ) 4 2 3 (A)2 (B) 3 (C) 2 (D) 3 2 2 x y 22. 双曲线 - =1 的离心率是 。 7 9 y2 x2 23, 已知方程 + =1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 3? k 2?k y2 24. 双曲线 4x2- =1 的渐近线方程是( )。 9 2 1 3 (A)y=± x (B)y=± x (C)y=± x (D)y=±6x 3 6 2
直线 l 的距离是



25. 若双曲线与椭圆 x2+4y2=64 共焦点,它的一条渐近线方程是 x+ 3 y=0,则此双曲线
的标准方程只能是( )。

y2 y2 y2 y2 x2 x2 x2 x2 - =1(B) - =1 (C) - =±1 (D) - =±1 36 12 36 12 36 12 36 12 y2 x2 26.和椭圆 + =1 有共同焦点,且离心率为 2 的双曲线方程是( )。 25 9 2 2 y y2 y2 y2 x x2 x2 x2 (A) - =1 (B) - =1 (C) - =1(D) - =1 4 14 4 12 6 14 6 12 1 27. 双曲线的两准线间的距离是它的焦距的 ,则它的离心率为 。 3 28. 双曲线的两个顶点三等分两个焦点间的线段,则离心率 e= 。 29. 中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过(1, 3)的等轴双曲线的方程是 。
(A)

8

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30. 渐近线是 ± =0,且经过 P(6 2 , 8)的双曲线方程是
31. 和椭圆

x 3

y 4



y2 x2 5 + =1 有公共的焦点,离心率 e= 的双曲线方程是 。 9 4 2 32. 59. 实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 的系数 a、b、c 恰为一双曲线的半实轴、半虚 轴、半焦距,且此二次方程无实根,求双曲线离心率 e 的范围。 y2 x2 ? 33. 过双曲线 - =1 的左焦点 F1, 作倾斜角为α = 的直线与双曲线交于两点 A、 B, 9 16 4 求|AB|的长。 34. 抛物线 y2=8x 的准线方程是( )。 (A)x=-2 (B)x=2 (C)x=-4 (D)y=-2 35.AB 是过抛物线 y2=4x 焦点 F 的弦,已知 A,B 两点的横坐标分别是 x1 和 x2,且 x1+x2 =6 则|AB|等于( ) (A)10 (B)8 (C)7 (D)6 36. 经过(1,2)点的抛物线的标准方程是( )
(A)y2=4x (B)x2=

1 y 2

(C) y2=4x 或 x2=

1 y 2

(D) y2=4x 或 x2=4y 。

37.顶点在原点,焦点是 F(6, 0)的抛物线的方程是

38. 抛物线 x2=4y 的焦点为 F,A 是抛物线上一点,已知|AF|=4+2 2 ,则 AF 所在直线 方程是
2



x 的准线方程是( )。 8 1 1 (A)y= (B)y=2 (C)y= (D)y=4 4 32 40. 已 知 点 ( - 2, 3) 与 抛 物 线 y2=2px (p>0) 的 焦 点 的 距 离 是 5 , 则 抛 物 线 的 方 程 是 。 2 41. 抛物线 x =4y 上有一点 Q 到焦点的距离为 3,那么 Q 点的纵坐标是( )。 (A)-2 (B)2 (C)4 (D)1 42. 如果抛物线 y2=px (p>0)和圆(x-2)2+y2=3 在 x 轴上方相交于 A、B 两点,且弦 AB 的中 点 M 在直线 y=x 上,求抛物线的方程。
39,抛物线 y=- 43. 抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴,且点(-5, 2 5 )在抛物线上,则抛物线的方 程为( )。 (A)y2=-4x (B)x2= 5 y (C)y2=-4x 或 x2=

5 5 y (D)x2=-4y 2

44. 抛物线 y=4x2 的准线方程是( )。
(A)x=-1 (B)y=-1 (C)x=-

1 16
9

(D)y=-

1 16


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