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求三角函数最值及值域常用策略论文


求三角函数最值及值域常用的策略 三角函数的最值问题是三角函数中重要的一个知识点,题型较 多、方法较碎,是同学们学习的一个难点,由于题型灵活,容易考 查思维能力,因而也是高考中热点题型,现对三角函数最值的求法 中常见的策略加以归类,常用方法加以总结,以达快速正确求解. 一、利用三角函数的有界性求最值 1、形如 y=asinx+bcosx+c 型,引入辅助角公式化为 sin(x+φ

)+c, 再求值域. 例 1、求函数 f(x)=2sinx+cos(x+)的值域 解:f(x)=2sinx+cosx-sinx=(2-)sinx+cosx =,故 f(x)∈[] 2、形如 y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x 型,通过降幂转化为 asinx+bcosx,再求值域. 例 2、f(x)=2asinx·cosx-2asin2x+1(a>0)的值域 解:f(x)= asin2x+acos2x-a+1=2asin(2x+)-a+1 ∵a>0,sin(2x+)-a+1 ∴f(x)∈[-3a-1,a+1] 二、用换元法化为二次函数求值域 1、形如 y=sin2x+bsinx+c 型,令 sinx=t 转化为二次函数再求值 域. 例 3、k1,故当 t=1 时, ymin=1,当 t=-1 时,ymax=1-2k,即 y∈[1,1-2k] 2、形如 y=asinx·cosx+b(sinx±cosx)+c 型,令 sinx±cosx=t 转化为二次函数在上的值域问题 例 4、求函数 y=sinx·cosx+sinx+cosx 的值域 解:令 sinx+cosx=t,t∈,则 sinxcosx=,y=+t=(t+1)2-1 当 t=-1 时,ymin=-1,当 t=时,ymax=+,即 y∈[-1,+] 三、考察结构特征,用分离常数法求值域 形如 y=型,可用分离常数法转化为 y=a+型,再求值域. 例 5、求函数 y=的值域. 解:y= ∵-1≤cosx≤1 且 cosx≠, ∴≤-或≥2,故 y∈ 四、反函数思想求值域 形如 y=型, 也可用反函数思想转化为 f(y)sin(x+φ )=g(y)求值域. 例 6、求 y=的值域. 解:由 y=得 2ysinx-3y=3cosx-2 2ysinx-3cosx=3y-2, ·sin(x+φ )=3y-2sin (x+φ )=, 由|sin(x+φ )| ≤1 得||≤1,即 y∈ 五、化为一元二次方程用判别式求值域 形如 y=型,也可用判别式求值域 例 7、求函数 y=的值域 解:==,设 t=tan 则 y=yt2-2t+3y=0, y=0 时, 适合, y≠0 时, 当 t=0 当 由△=4-12y2 ≥0 ,故 y∈[]. 六、根据代数函数的单调性求值域 形如 y=asint+,令 sint=x,根据函数 y=ax+的单调性求值域. 例 8、θ ∈(0,π ),则函数 y=sinθ +的值域为_______. 分析:设 x=sinθ ,则 x∈,即 y=x+, x∈,由图象得,当 x=1 时, ymin=3,故 y∈ 七、利用数形结合转化为直线的斜率求最值 形如 y=型,常常利用几何意义,视为过定点(a,b)与单位圆上的 点(cosx,sinx)的斜率来解决。 例 9、设 x,则函数 y=的最大值为_________. 解:设 y= ==k,取点 a(2,0) ,点 b(cos2x,-sin2x)在圆 x=1 的下半部 由其几何意义,得 k=tan30=. 八、利用导数求三角函数的最值 例 1

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