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2.4.1平面向量的数量积公开课


概念接龙

高一数学组

赵金柱

2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义

向量加法运算是向量的第一运算 ,它既是向量概念的延伸,又是学习向 量其它运算的基础。



评价学生:

优秀小组 第六组
优秀个人 综合

优秀的 杨凯 尚建阳 杨铭 书写工整的 提幅较大的 思维敏捷的 左师闻 田欣 党俊麟 郭宏达

存在问题: 1.作图不规范,部分同学不标箭头. 2.两个法则应用不好,尤其是利用 法则化简问题错误较多。 3.计算模问题掌握不好。

1.掌握向量加法的定义、三角形法则、平行四边 形法则、运算律。 2.熟练应用三角形法则、平行四边形法则解 决画图及化简问题。 3.激发学生学习数学的兴趣和积极性,培养学生勇 于创新的精神。

复习思考:
运算结果 向量的加法 向量的减法 实数与向量的乘法 两个向量的数量积 向量 向量 向量

??

1.平面向量的数量积
物理意义下的“功” 一个物体在力F 的作用下产生的位移s, 那么力F 所做的功应当怎样计算? F

θ
s

W ?| F || S | cos ?
? 是F 与s 的夹角,而功是数量. 其中力F 和位移s 是向量,

平面向量的数量积
平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为? ,我们把数量 | a || b | cos? 叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即

a ? b ?| a || b | cos?

? ? 规定:零向量与任意向量的数量积为0, 即:  . a ?0 ? 0

向量的数量积是一个数量,那么它什 么时候为正,什么时候为负?

a· b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ < 90°时a· b为正; 当90°<θ ≤180°时a· b为负。 当θ =90°时a· b为零。

注: (1) 两个向量的数量积是一个数量,这数 量的大小与两个向量的长度及其夹角有 关. 此

(2) 两个向量a 与 b 的数量积

点 很 只能写成 a ? b ,中间的“?” 重 要 不能去掉,也不能写成 “? ” .

平面向量的数量积
例题讲解(抢答)

例1.已知|a |=5, |b |=4,a与b 的夹 ? 角 ? ? 120,求a · b.
解: a · b =|a | |b |cosθ

? 5 ? 4 ? cos120?

1 ? 5 ? 4 ? (? ) 2 ? ?10

例2 : 如图:边长为 2的正三角形ABC中, 设BC ? a, CA ? b 求a ? b 的值。
? ? o 解:如图可知: a与b 的夹角? ? 120 ? ? ? ? o a ? b ? a b cos? ? 2 ? 2 cos120 ? ?1
你还能再骂出个题?

C

A

B

(1) 定义:如图,设OA ? a , OB ? b , ?AOB ? ? , 过点 B 作 BB1 垂直于直线OA , 垂足为 B1 , 则 OB1 ? b cos? . 我们把 b cos? 叫做向量 b 在 a 方向上的投影.
B

2. 向量的投影的概念

b
?
O

b
?

A1

B

a

B1

A

O

a

OA 1 ?| a | cos?

A

B

B

b
?
B1 O

b
?

a

A

O(B1)

a

A

注意:当 ? 为锐角时,投影是正值:
当 ? 为钝角时,投影是负值;当 ? = 90°

时, 投影是 0 . 当? = 0?时,投影为 当? = 180°时,投影为 ? b .

b

;

?

(2) 两个向量数量积的几何意义
数量积 a ? b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 方向上的投影 b cos? 的乘积.
B B

b
?
O

b
?

a

B1

A

B1

O

a

A

3.平面向量的数量积的性质
设a ,b都是非零向量, ? 是a与b的夹角,则

数 量 积 的 性 质

( 1 ) a⊥ b ? a · b=0 (判断两向量垂直的依据)

(2)当a 与b 同向时,a · b =| a | · | b |, 当a 与b 反向时, a · b = ?| a | · | b |.

(3)特别地 a ? a ?| a |2 或 | a |? a ? a (用于计算向量的模 a?b (用于计算向量的夹角) (4)cos? ? | a || b | (5)| a · b| ≤| a | · |b|
小组探究(给出证明过程)抢答形式每个2分

小试牛刀
? 导学案例一,变式一
? 一二三四组各由组长选一名同学板演, 再选一名同学讲解,其他同学自改

4、平面向量的数量积的运算律:

数量积的运算律:

? ? ? ? (1)a ? b ? b ? a ? ? ? ? ? ? (2)(?a ) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) ? ? ? ? ? ? ? (3)( a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c ? ? ? 其中, a、b 、c是任意三个向量, ??R

小组探究(下面结论是否成立,并说明原因)

(1)若 a ? b ? 0 , 且 a ? 0 , 是否一定有 b ? 0 .
(2)若 a ? c ? b ? c , 且 c ? 0 , 则 a ? b ?

? ? ? ? ? ? (3)( a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ?

利用运算律证明下面两个结果 抢答(两名同学)
例2 求证: (1) (a+b)2 = a2+2a· b+b2; (2) (a-b)2 = a2-2a· b+b2 ;

一展身手
? 小组探究 (解题方法,所用公式,注意问题)

? 例3,(五六组组长各选一名 到黑板板演,七八组
负责讲解并总结方法及注意问题)

? 例5(课代表完成) ? 课堂精炼2,5(能力提升)

2.4 平面向量的数量积
小结:
(1)向量的数量积的物理模型是力的做功. (2) a · b 的结果是个数量. (3)利用数量积可以求两向量的夹角,特别是可以判定垂直. (4)二向量的夹角范围 [0,п]. (5)五条性质要掌握.


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