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2014年江苏省高中数学竞赛初赛模拟试题(2)


2014 年江苏省高中数学竞赛初赛模拟试题(2)
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) 1、设关于 x 的不等式 4x2+2(p?2)x?2p2?p+1>0 的解集为 A,且 A∩[?1, 1]≠?,则实数 p 的取值范围是_______ π π 3π a1 2、将函数 f (x)=sin(ωx+ )的图象向右平移

个单位后与 g (x)=cos(ωx+ )的图象重合, 6 4 4 a2 a3 a4 则当|ω|最小时,f (π)=___ a5 a6 a7 a8 a9 3、已知 an ? 3 ? 2n ,把数列 {an } 的各项排成三角形状如右图所示, a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 记 A(i, j ) 表示第 i 行中第 j 个数,则 A(10,8) ? ? π 5π 4、已知 f(x)=sin( +α-x)+cos( -α-x)是偶函数,且-π2<α<π2,则满足条件的实数 α 有 个. 2 2 → → → → 5、已知△ABC 内接于圆 O,若CO· AB=2BO· CA,且|AB|=3,|CA|=6,则 cosA=_________ 6、设 u、v 是实数,则(u-v)2+( 4?u2-2v-5)2 的最小值为_________ 7、已知(x0,y0)是直线 x+y=2k-1 与圆 x2+y2=k2+2k-3 的交点,则当 x0y0 取最小值时 k= 8、已知点 M、N 分别在大小为 60° 的二面角 α-a-β 的 α、β 内,又点 P 到 α、β 的距离依次为 2 与 3, 则 ΔPMN 周长的最小值等于 . 9、 S ?
1 1 1 1 的整数部分是 ? ? ??? 3 5 7 99
A D O

10、 已知非负实数 a、 b、 c 满足 a+b+c=1, 则 a2+b2+c2+18abc 的最大值为_________, 最小值为____________ 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 4 11.已知△ ABC 的内切圆半径为 2,且 tanA=- ,求△ ABC 面积的最小值. 3

B

C

2 ? 2an ? 2 ? n ? N *? . (1)求数列{an}的通项公式; 12.数列{an}满足: a1 ? 3 , an ?1 ? an

(2)求证:数列{an}中的任两项互质; (3)记 bn ?

1 1 , S n 为{bn}的前 n 项和,求 S2011 的整数部分. ? an an ? 2

13、如图, △ABC 中,AB>AC,AE 是其外接圆的切线,D 为 AB 上的点,且 AD=AC=AE. 求证:直线 DE 过△ABC 的内心. A

E D C B

ab ? c ,证明: a ? b 是一个完全平方数. a ?b ab 14、设正整数 a, b, c 的最大公约数为 1, 并且 ? c ,证明: a ? b 是一个完全平方数. a ?b

14、设正整数 a, b, c 的最大公约数为 1, 并且

证 : 设 (a, b) ? d , a ? a1 d , b ? b1 d , 其 中 (a1 , b1 ) ? 1 . 由 于 (a , b , c ? .代入 ) , 1故 有 (d ,c )? 1
a1b1d ? a1c ? b1c

ab ?c 可得: a ?b

(2)

由(2)知, a1 | b1c ,又 (a1 , b1 ) ? 1 ,∴ a1 | c .同理可证 b1 | c , 从而有 a1b1 | c ,设 c ? a1b1k , k 为正整数,代入(2)得 d ? k (a1 ? b1 ) (3) 由(3)知 k | d ,又 k | c ,? k | (d , c) ? 1 ,? k ? 2 . ∴ d ? a1 ? b1 .∴ a ? b ? d (a1 ? b1 ) ? d 2 .故成立.


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