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湖南长沙市一中2011届高三第三次月考(数学理)


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长沙市一中 2011 届高三第三次月考试卷

理 科 数 学
命题人:长沙市一中高三数学备课组
时量:120 分钟 满分:150 分 (集合、逻辑、算法、复数、函数、导数、三角函数、平面向量、数列) 一、选择题:本大题共 8 小题

,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.设集合 P = {x x > 1} , Q = {x x 2 ? x > 0 } ,则下列结论正确的是 ( A. P = Q B. P U Q = R C. P ? Q ≠ D. Q ? P ≠ ) )

2.若函数 f ( x ) 的定义域为 R, 则“函数 f ( x ) 为奇函数”是“函数 f ( ? x) 奇函数”的( A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 π ) 3.已知函数 f ( x) = sin(ω x + )(ω > 0) 的最小正周期为 π ,则该函数图象( 3 π π A.关于直线 x = 对称 B.关于直线 x = 对称 6 3 π π C.关于点( ,0)对称 D.关于点( ,0)对称 6 3 4.如右图,设 e1 , e2 为互相垂直的单位向量,则向量 a ? b 可表示为( ) B. ?2e1 ? 4e2 A. e1 ? 3e2 C. 3e2 ? e1 D. 3e1 ? e2

5.设数列 {an } ,{bn } 分别为等差数列与等比数列,且 a1 = b1 = 4, a4 = b4 = 1 ,则以下结论正

确的是(
A. a2 > b2


B. a3 < b3 C. a5 > b5 D. a6 > b6

6. 函数 y = f '( x) 是函数 y = f ( x) 的导函数,且函数 y = f ( x) 在点 p ( x0 , f ( x0 )) 处的切线为 l : y = g ( x) = f '( x0 )( x ? x0 ) + f ( x0 ), F ( x) = f ( x) ? g ( x) ,如果函数 y = f ( x) 在区间 [a, b] 上的图像如图所示,且 a < x0 < b ,那么( ) A. F '( x0 ) = 0, x = x0 是 F ( x) 的极大值点 B. F '( x0 ) = 0, x = x0 是 F ( x) 的极小值点 C. F '( x0 ) ≠ 0, x = x0 不是 F ( x) 极值点
D. F '( x0 ) ≠ 0, x = x0 是 F ( x ) 极值点
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uuu uuu r r uuu r uuu uuur r 7.设 O 为△ ABC 内一点,若 ?k ∈ R ,有 | OA ? OB ? k BC | ≥ | OA ? OC | ,则△ ABC 的形状一

定是(

) B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 )

A.锐角三角形

8.已知函数 f ( x) 满足:①定义域为 R;② ?x ∈ R ,有 f ( x + 2) = 2 f ( x) ;③当 x ∈ [?1,1] 时,
f ( x) = ? | x | +1 .则方程 f ( x) = log 4 | x | 在区间 [?10,10] 内的解个数是(

A.20 C.11

B.12 D.10 4 2
y = log 4 | x |

y

1

y = log 4 | x |
1 2

?3 ?2 ?1 0 1 2 3 4 5

x

题号 答案

1

2

3

选择题答题卡 4 5

6

7

8

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上. 1? i 9.复数 z = 的实部与虚部之和为 . 1+ i 10.计算

∫ ( sin x + 2 )dx =
2 ?2



11.已知{ an }是各项均为正数的等比数列, a1a2 a3 =5, a7 a8 a9 =10,则

a4 a5 a6 =



π ? ? 2cos x x ≤ 2000 12.已知函数 f ( x) = ? , 3 ? x ? 100 x > 2000 ?
则 f [ f (2010)] = . 13.设有算法如右图:如果输入 A=144, B=39,则输出的结 果是 .

14 . 设 函 数 f ( x) = x 2 ? ax + a + 3 , g ( x) = ax ? 2a . 若

? x0 ∈ R ,使得 f ( x0 ) < 0 与 g ( x0 ) < 0 同时成立,则实数 a 的取值范围是



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15.当 n 为正整数时,定义函数 N (n)表示 n 的最大奇因数.如 N (3) = 3,N (10) = 5,…. 记 S (n) = N (1) + N (2) + N (3) + L + N (2n ) . 则(1) S (4) = 86 . (2) S ( n) = .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知 A,B,C 三点的坐标分别为 A(3,0) , B (0,3) , C (cos α ,sin α ) ,其

π 3π 中α ∈( , ) . 2 2 uuur uuu r (1)若 AC = BC ,求角 α 的值;
uuur uuu r π (2)若 AC BC = ?1 ,求 tan(α + ) 的值. 4

17. (本小题满分 12 分)在△ABC 中, 设角 A, C 的对边分别为 a, c, sin A = sin B = ? cos C , B, b, 若 (1)求角 A,B,C 的大小; (2)若 BC 边上的中线 AM 的长为 7 ,求△ABC 的面积.

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18. (本小题满分 12 分)某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角形 ABC 的三个顶点处,已 知 AB=AC=6km,现计划在 BC 边的高 AO 上一点 P 处建造一个变电站.记 P 到三个村庄的 距离之和为 y. A (1)设 ∠PBO = α ,求 y 关于 α 的函数关系式; (2)变电站建于何处时,它到三个小区的距离之和最小? P

B

O
(第 18 题图)

C

?( x 2 ? 2ax)e x , x > 0 19. (本小题满分 13 分)已知 x = 2 是函数 f ( x) = ? 的极值点. x≤0 ?bx,

(1)当 b ≠ 0 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)当 b ∈ R 时,函数 y = f ( x) ? m 有两个零点,求实数 m 的取值范围.

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20. (本小题满分 13 分)设数列 {an } 是有穷等差数列,给出下面数表:
a1 a1 + a2 a2 a2 + a3 a3

…… ……

an ?1 an ?1 + an

an

第1行 第2行

… …

… … …

… 第n行

上表共有 n 行,其中第 1 行的 n 个数为 a1 , a2 , a3 ,L , an ,从第二行起,每行中的每一个数都 等于它肩上两数之和.记表中各行的数的平均数(按自上而下的顺序)分别为 b1 , b2 ,L , bn . (1)求证:数列 b1 , b2 ,L , bn 成等比数列; (2)若 ak = 2k ? 1(k = 1, 2,L , n) ,求和 ∑ ak bk .
k =1 n

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21 . 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 函 数 f ( x) 的 图 象 在 [a, b] 上 连 续 不 断 , 定 义 : (
f1 ( x) = min{ f (t ) | a ≤ t ≤ x} ( x ∈ [a, b]) , f 2 ( x) = max{ f (t ) | a ≤ t ≤ x} ( x ∈ [a, b]) . 其 中 , min{ f ( x) | x ∈ D} 表示函数 f ( x) 在 D 上的最小值, max{ f ( x) | x ∈ D} 表示函数 f ( x) 在 D 上

的最大值.若存在最小正整数 k ,使得 f 2 ( x) ? f1 ( x) ≤ k ( x ? a ) 对任意的 x ∈ [ a, b] 成立,则 称函数 f ( x) 为 [a, b] 上的“ k 阶收缩函数” .

π (1)已知函数 f ( x) = 2sin x, x ∈ [0, ] ,试写出 f1 ( x) , f 2 ( x) 的表达式,并判断 f ( x) 是否为 2
[0, ] 上的“ k 阶收缩函数” ,如果是,请求对应的 k 的值;如果不是,请说明理由; 2

π

(2)已知 b > 0 ,函数 g ( x) = ? x3 + 3x 2 是 [0, b] 上的 2 阶收缩函数,求 b 的取值范围.

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理科数学教师用卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.设集合 P = {x x > 1} , Q = {x x 2 ? x > 0 } ,则下列结论正确的是 ( C ) A. P = Q B. P U Q = R C. P ? Q ≠ D. Q ? P ≠

2. 若函数 f ( x ) 的定义域为 R, 则 “函数 f ( x ) 为奇函数” “函数 f ( ? x) 奇函数” ( C ) 是 的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 π 3.已知函数 f ( x) = sin(ω x + )(ω > 0) 的最小正周期为 π ,则该函数图象( D ) 3 π π A.关于直线 x = 对称 B.关于直线 x = 对称 6 3 π π C.关于点( ,0)对称 D.关于点( ,0)对称 6 3
π π ?π ? 【解析】由已知得, ω = 2, 所以f ( x) = sin(2 x + ),当x = 时,f (x) = 0,故点 ? , 0 ? 是它的一个 3 3 ?3 ?

对称中心. 4.如右图,设 e1 , e2 为互相垂直的单位向量,则向量 a ? b 可表示为( A ) B. ?2e1 ? 4e2 A. e1 ? 3e2 C. 3e2 ? e1 D. 3e1 ? e2

5.设数列 {an } ,{bn } 分别为等差数列与等比数列,且 a1 = b1 = 4, a4 = b4 = 1 ,则以下结论正

确的是(
A. a2 > b2

A


B. a3 < b3 C. a5 > b5 D. a6 > b6

【解析】 设等差数列的公差为d,等比数列公比为q,由a1 = b1 = 4, a4 = b4 =1 得d = ?1, ,

q=

3

2 ,于是 a2 = 3 > b2 = 2 3 2, 故选 A 2

6. 函数 y = f '( x) 是函数 y = f ( x) 的导函数,且函数 y = f ( x) 在点 p ( x0 , f ( x0 )) 处的切线为
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l : y = g ( x) = f '( x0 )( x ? x0 ) + f ( x0 ), F ( x) = f ( x) ? g ( x) ,如果函数 y = f ( x) 在区间 [a, b] 上的图像如图所示,且 a < x0 < b ,那么( B )
A. F '( x0 ) = 0, x = x0 是 F ( x ) 的极大值点 B. F '( x0 ) = 0, x = x0 是 F ( x ) 的极小值点 C. F '( x0 ) ≠ 0, x = x0 不是 F ( x ) 极值点
uuu uuu r r uuu r uuu uuur r 7.设 O 为△ ABC 内一点,若 ?k ∈ R ,有 | OA ? OB ? k BC | ≥ | OA ? OC | ,则△ ABC 的形状一

D. F '( x0 ) ≠ 0, x = x0 是 F ( x ) 极值点

定是( B ) B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 uuu r uuu r uuur uuur uuu r 【解析】由题设得, | BA ? k BC | ≥ | AC | ,再由向量的几何意义易知, AC ⊥ BC ,故选 B. 8.已知函数 f ( x) 满足:①定义域为 R;② ?x ∈ R ,有 f ( x + 2) = 2 f ( x) ;③当 x ∈ [?1,1] 时,
f ( x) = ? | x | +1 .则方程 f ( x) = log 4 | x | 在区间 [?10,10] 内的解个数是( C ) y A.20 B.12 4 C.11 D.10

A.锐角三角形

【解析】 (数形结合)在同一直角坐标内作 出函数 f ( x) 和 y = log 4 | x | 的图象如右图, 由图易知, y = f ( x) 与 y = log 4 | x | 的图象 在 [?10, 0] 有两个交点,在 (0,10] 内有 9 个 交点,故方程 f ( x) = log 4 x 在区间 [?10,10] 内共有 11 个解. 选择题答题卡 4 5 2
y = log 4 | x |

1

y = log 4 | x |
1 2

?3 ?2 ?1 0 1 2

3 4 5

x

题号

1

2

3

6

7

8

C C D A A B B C 答案 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上. 1? i 9.复数 z = 的实部与虚部之和为 ? 1 . 1+ i 10.计算

∫ ( sin x + 2 )dx =
2 ?2

8 .

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11.已知{ an }是各项均为正数的等比数列, a1a2 a3 =5, a7 a8 a9 =10,则

a4 a5 a6 = 5 2 .

【解析】由等比数列的性质知, a1a2 a3 , a4 a5 a6 , a7 a8 a9 成等比数列,所以 a4 a5 a6 = 5 2 .

π ? ? 2cos x x ≤ 2000 12.已知函数 f ( x) = ? , 3 ? x ? 100 x > 2000 ?
则 f [ f (2010)] =
?1 .

13.设有算法如右图:如果输入 A=144, B=39,则输出的结 果是 3 .

【解析】 (1)A=144,B=39,C=27; (2)A=39,B=27,C=12; (3)A=27,B=12,C=3; (4)A=12,B=3,C=0.所以 A=3. 14.设函数 f ( x) = x 2 ? ax + a + 3 , g ( x) = ax ? 2a .若 ? x0 ∈ R ,使得 f ( x0 ) < 0 与 g ( x0 ) < 0 同时 成立,则实数 a 的取值范围是(7,+∞) .

【解析】由题设知, ? = a ? 4 ( a + 3) > 0 ,即 a < ?2 或 a > 6 ,且 g ( x) = ax ? 2a 恒过定点
2

? ( 2, 0 ) .①当 a > 6 时,如上左图,则 ? x对 =

?a > 6 ? a > 7 ;③当 a < ?2 时,如上右图, ? f ( 2) < 0 ?

a < ?1 , 又 f (1) = 4 ,显然不成立.综上知, a 的取值范围为 (7, +∞) . 2

15.当 n 为正整数时,定义函数 N (n)表示 n 的最大奇因数.如 N (3) = 3,N (10) = 5,…. 记 S (n) = N (1) + N (2) + N (3) + L + N (2n ) . 则(1) S (4) = 86 . (2) S ( n) =
4n + 2 . 3

【解析】由题设知, N (2n) = N (n), N (2n ? 1) = 2n ? 1 . (1) S (4) = [ N (1) + N (3) + N (5) + L + N (15)] + [ N (2) + N (4) + N (6) + L + N (16)],
= [1 + 3 + 5 + L + 15] + [ N (2) + N (4) + N (6) + L + N (16)]

= 43 + S (3) = 43 + S (3) = 43 + 42 + S (2) = 43 + 4 2 + 41 + S (1) = 86 .
(2) S (n) = [1 + 3 + 5 + L + (2n ? 1)] + [ N (2) + N (4) + N (6) + L + N (2n )],
∴ S (n) = 4n ?1 + S (n ? 1)(n ≥ 1), 又S1 = N (1) = 1 ,∴ S( n ) = 4n ?1 + 4n ? 2 + L + 41 + 40 + 1 =
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4n + 2 . 3

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知 A,B,C 三点的坐标分别为 A(3,0) , B (0,3) , C (cos α ,sin α ) ,其

π 3π 中α ∈( , ) . 2 2 uuur uuu r (1)若 AC = BC ,求角 α 的值;
uuur uuu r π (2)若 AC BC = ?1 ,求 tan(α + ) 的值. 4 uuur uuu r 【解析】 (1)∵ AC = (cos α ? 3,sin α ) , BC = (cos α ,sin α ? 3) ,

uuur uuu r ∴ | AC | (cos α ? 3)2 + sin 2 α = 10 ? 6cos α , | BC |= 10 ? 6sin α . uuur uuu r 由 | AC |=| BC | 得 sin α = cos α .

…………………………………4 分

π 3π 5 又 α ∈ ( , ) ,∴ α = π . …………………………………6 分 2 2 4 uuur uuu r (2)由 AC BC = ?1 ,得 (cos α ? 3) cos α + sin α (sin α ? 3) = ?1 ,
∴ sin α + cos α = 又由
2 π 2 ,∴ sin(α + ) = >0. 3 4 3

……………………………9 分

π
2

<α <

3π 3π π π 7 ,∴ < α + < π ,∴ cos(α + ) = ? . 4 4 2 4 3

14 . ……………………………12 分 4 7 17. (本小题满分 12 分)在△ABC 中, 设角 A, C 的对边分别为 a, c, sin A = sin B = ? cos C , B, b, 若 (1)求角 A,B,C 的大小;

故 tan(α +

π

) =?

(2)若 BC 边上的中线 AM 的长为 7 ,求△ABC 的面积. 【解析】 (1)由 sin A = sin B 知 A = B ,所以 C ′ = π ? 2 A ,又 sin A = ? cos C ′ 得 sin A = cos 2 A , 即 2sin 2 A + sin A ? 1 = 0 ,解得 sin A = 故A=B=
1 , sin A = ?1 (舍) . 2

π
6

,C =

2π . 3

…………………………………………6 分

(2)在△ABC 中,由于 BC 边上中线 AM 的长为 7 ,故在△ABM 中,由余弦定理得
a2 a π a2 3 ? 2c ? ? cos , 即 7 = c 2 + ? ac. 4 2 6 4 2 在△ABC 中,由正弦定理得 AM 2 = c 2 +



………………8 分

a sin

π
6

=

b sin

π
6

=

c c , 即a = b = . 2π 3 sin 3



………………10 分

由①②解得 a = 2, b = 2, c = 2 3.
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1 1 3 故 ?ABC的面积S = ab sin C = × 2 × 2 × = 3. ………………12 分 2 2 2 18. (本小题满分 12 分)某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角形 ABC 的三个顶点处,已 知 AB=AC=6km,现计划在 BC 边的高 AO 上一点 P 处建造一个变电站.记 P 到三个村庄的 距离之和为 y. A (1)设 ∠PBO = α ,求 y 关于 α 的函数关系式; (2)变电站建于何处时,它到三个小区的距离之和最小?

P

【解析】 1)在 Rt?AOB 中, AB = 6 , (
所以 OB =OA= 3 2 , ∠ABC = π , 4 由题意知, 0 ≤ α ≤ π . 4 所以点 P 到 A,B,C 的距离之和为 3 2 2 ? sin α . y = 2PB + PA = 2 × + (3 2 ? 3 2 tan α ) = 3 2 + 3 2 × cosα cosα 故所求函数关系式为 y = 3 2 + 3 2 × 2 ? sin α 0 ≤ α ≤ π . cosα 4

B

O
(第 18 题图)

C

……………………2 分

(

)

………………………6 分

(2)由(1)得 y ′ = 3 2 × 当0 ≤α <

2sin α ? 1 1 π ,令 y ′ = 0 ,即 sin α = ,又 0 ≤ α ≤ π ,从而 α = . 2 4 cos α 2 6

π π π 时, y ′ < 0 ;当 < α ≤ 时, y ′ > 0 . 6 6 4 π 2 ? sin α 时, y = 4 + 3 2 × 取得最小值, 6 cos α
…………………… 10 分

所以当 α =

此时 OP = 3 2 tan

π ,即点 P 在 OA 上距 O 点 6 km 处. = 6 (km) 6
……………12 分

答:变电站建于距 O 点 6 km 处时,它到三个小区的距离之和最小.

?( x 2 ? 2ax)e x , x > 0 19. (本小题满分 13 分)已知 x = 2 是函数 f ( x) = ? 的极值点. x≤0 ?bx,
(1)当 b ≠ 0 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)当 b ∈ R 时,函数 y = f ( x) ? m 有两个零点,求实数 m 的取值范围.

【解析】 1) x > 0时, f ( x) = ( x 2 ? 2ax)e x , (
∴ f ′( x) = (2 x ? 2a )e x + ( x 2 ? 2ax)e x = [ x 2 + 2(1 ? a ) x ? 2a]e x . 由已知得, f '( 2) = 0, ∴ 2 + 2 2 ? 2a ? 2 2a = 0, 解得 a=1. ……………………3 分

∴ f ( x) = ( x 2 ? 2 x)e x ,∴ f ' ( x) = ( x 2 ? 2)e x .
当 x ∈ (0, 2) 时, f ′( x) < 0 ,当 x ∈ ( 2, +∞) 时, f ′( x) > 0 .又 f (0) = 0 , 所以当 b < 0 时, f ( x) 在 (?∞, 2) 上单调递减, ( 2, +∞) 单调递增;
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当 b > 0 时, f ( x) 在 (?∞, 0) , ( 2, +∞) 上单调递增,在 (0, 2) 上单调递减. …………7 分 (2)由(1)知,当 x ∈ (0, 2) 时, f (x ) 单调递减, f ( x) ∈ ((2 ? 2 2)e 2 , 0) 当 x ∈ ( 2, +∞ )时 , f (x ) 单调递增, f ( x) ∈ ((2 ? 2 2)e 2 , +∞) .
………………9 分

要使函数 y = f ( x) ? m 有两个零点,则函数 y = f (x ) 的图象与直线 y = m 有两个不同的交 点 .① 当 b > 0 时 , m=0 或 m = (2 ? 2)e b < 0时, m ∈ ((2 ? 2 2)e 2 , +∞ ) .
2

; ② 当 b=0 时 , m ∈ ((2 ? 2 2)e 2 , 0) ; ③ 当 …………………………13 分

(本小题满分 13 分)设数列 {an } 是有穷等差数列,给出下面数表: 20.
a1 a1 + a2 a2 a2 + a3 a3

…… ……

an ?1 an ?1 + an

an

第1行 第2行

… …

… … …

… 第n行

上表共有 n 行,其中第 1 行的 n 个数为 a1 , a2 , a3 ,L , an ,从第二行起,每行中的每一个数都 等于它肩上两数之和.记表中各行的数的平均数(按自上而下的顺序)分别为 b1 , b2 ,L , bn . (1)求证:数列 b1 , b2 ,L , bn 成等比数列; (2)若 ak = 2k ? 1(k = 1, 2,L , n) ,求和 ∑ ak bk .
k =1 n

【解析】 1)由题设易知, b1 = (

n(a1 + an ) a1 + an = , 2n 2 (a + a2 + L + an ?1 + an )(n ? 1) a1 + a2 + an ?1 + an b2 = 1 = = a1 + an . 2( n ? 1) 2

设表中的第 k (1 ≤ k ≤ n ? 1) 行的数为 c1 , c2 ,L , cn ? k +1 , 显然 c1 , c2 ,L , cn ? k +1 成等差数列, 则它的第 k + 1 行的数是 c1 + c2 , c2 + c3 ,L , cn ? k + cn ? k +1 也成等差数列,它们的平均数分别是 bk =
bk +1 = c1 + cn ? k +1 ,于是 bk +1 = 2(1 ≤ k ≤ n ? 1, k ∈ N* ) . bk c1 + cn ? k +1 , 2

故数列 b1 , b2 ,L, bn 是公比为 2 的等比数列. (2)由(1)知, bk = b1 2k ?1 =
a1 + an k ?1 2 , 2

…………………………………7 分

故当 ak = 2k ? 1 时, bk = n 2k ?1 , ak bk = n(2k ? 1) 2k ?1 (1 ≤ k ≤ n, k ∈ N* ) . 于是 ∑ ak bk = n∑ (2k ? 1) 2k ?1 .
k =1 k =1 n n

……………………………9 分

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设 ∑ (2k ? 1) 2k ?1 = S ,
k =1

n

则 S = 1 × 20 + 3 × 21 + 5 × 22 + L + (2n ? 1) 2n ?1
2 S = 1 × 21 + 3 × 22 + L + (2n ? 3) 2n ?1 + (2n ? 1) 2n

① ②

① ? ②得, ? S = 1 × 20 + 2(21 + 22 + L + 2n ?1 ) ? (2n ? 1) 2n , 化简得, S = (2n ? 1) 2n ? 2n +1 + 3 , 故 ∑ ak bk = n(2n ? 1) 2n ? n 2n +1 + 3n .
k =1 n

……………………………………13 分

21 . 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 函 数 f ( x) 的 图 象 在 [a, b] 上 连 续 不 断 , 定 义 : (
f1 ( x) = min{ f (t ) | a ≤ t ≤ x} ( x ∈ [a, b]) , f 2 ( x) = max{ f (t ) | a ≤ t ≤ x} ( x ∈ [a, b]) . 其 中 , min{ f ( x) | x ∈ D} 表示函数 f ( x) 在 D 上的最小值, max{ f ( x) | x ∈ D} 表示函数 f ( x) 在 D 上

的最大值.若存在最小正整数 k ,使得 f 2 ( x) ? f1 ( x) ≤ k ( x ? a ) 对任意的 x ∈ [ a, b] 成立,则 称函数 f ( x) 为 [a, b] 上的“ k 阶收缩函数” .

π (1)已知函数 f ( x) = 2sin x, x ∈ [0, ] ,试写出 f1 ( x) , f 2 ( x) 的表达式,并判断 f ( x) 是否为 2
[0, ] 上的“ k 阶收缩函数” ,如果是,请求对应的 k 的值;如果不是,请说明理由; 2

π

(2)已知 b > 0 ,函数 g ( x) = ? x3 + 3x 2 是 [0, b] 上的 2 阶收缩函数,求 b 的取值范围.

π 【解析】 (1)由题意可得, f1 ( x) = 0 , f 2 ( x) = 2sin x, x ∈ [0, ] . 2
于是 f 2 ( x) ? f1 ( x) = 2sin x .

……………………2 分

π π π 若 f ( x) 是为 [0, ] 上的“ k 阶收缩函数” ,则 2sin x ≤ kx 在 [0, ] 上恒成立,且 ?x0 ∈ [0, ], 2 2 2
使得2 sin x > ( k ? 1) x 成立. 令 ? ( x) = sin x ? x , x ∈ [0, ] ,则 ? ′( x) = cos x ? 1 < 0 ,所以 ? ( x) = sin x ? x 在 [0, ] 单调递减, 2 2 ∴ ? ( x) ≤ ? (0) , x ∈ [0, ] ,即 sin x ≤ x ,于是 2sin x ≤ 2 x 在 [0, ] 恒成立; 2 2 又 ?x0 =

π

π

π

π

π
2

, 2sin x > x 成立.

故存在最小的正整数 k = 2 ,使 f ( x) 是为 [0, ] 上的“2阶收缩函数” ………………6 分 . 2 (2) g ′( x) = ?3x 2 + 6 x = ?3x ( x ? 2 ) ,令 g '( x) = 0 得 x = 0 或 x = 2 .令 f ( x) = 0 ,解得 x = 0 或 3.

π

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函数 g ( x ) , g '( x) 的变化情况如下:
x g ′( x) g ( x)

(?∞, 0) ?

0 0 0

(0, 2)
+

2 0 4

(2, +∞) ?

………………………………………………… 8 分 ⅰ) b ≤ 2 时, g ( x) 在 [0, b] 上单调递增,因此, g 2 ( x) = g ( x ) = ? x3 + 3x 2 , g1 ( x) = g ( 0 ) = 0 . 因为 g ( x) = ? x3 + 3x 2 是 [0, b] 上的 2 阶收缩函数, 所以,① g 2 ( x) ? g1 ( x ) ≤ 2 ( x ? 0 ) 对 x ∈ [0, b] 恒成立; ②存在 x ∈ [ 0, b ] ,使得 g 2 ( x) ? g1 ( x ) > ( x ? 0 ) 成立. ①即: ? x3 + 3 x 2 ≤ 2 x 对 x ∈ [0, b] 恒成立,由 ? x3 + 3 x 2 ≤ 2 x ,解得: 0 ≤ x ≤ 1 或 x ≥ 2 , 要使 ? x3 + 3 x 2 ≤ 2 x 对 x ∈ [0, b] 恒成立,需且只需 0 < b ≤ 1 . ②即:存在 x ∈ [0, b] ,使得 x ( x 2 ? 3x + 1) < 0 成立. 由 x ( x 2 ? 3x + 1) < 0 得: x < 0 或 综合①②可得:
3? 5 3+ 5 3? 5 <x< ,所以,需且只需 b > . 2 2 2

……………………10 分

3? 5 < b ≤1. ………………………11 分 2 3 ⅱ)当 b > 2 时,显然有 ∈ [0, b] ,由于 f ( x) 在 [0, 2] 上单调递增,根据定义可得: 2
3 3 3 27 3 ? 3 ? 27 f2 ( ) = , f1 ( ) = 0 ,可得 f 2 ( ) ? f1 ? ? = > 2× = 3, 2 2 2 8 2 ?2? 8

此时, f 2 ( x) ? f1 ( x ) ≤ 2 ( x ? 0 ) 不成立. 综合ⅰ)ⅱ)可得:
3? 5 < b ≤1. 2

………………………13 分
3 只是因为简单而已. 2

注:在ⅱ)中只要取区间(1,2)内的一个数来构造反例均可,这里用

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