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导数的经典练习题


导数经典练习题及详解答案
1.函数 y=x+2cosx 在[0, ( A. 0 ) B.

? ]上取得最大值时,x 的值为 2

? 6

C. )

? 3

D.

? 2

2.函数 y ? x ln x 的单调递减区间是(

A. (e ?1 ,??) B. (??, e ?1 ) C. (0, e ?1 ) 3.点 P 在曲线 y ? x 3 ? x ? 围是( A.[0, )
? ] 2

D. (e,??)

2 上移动,设点 P 处切线倾斜角为α ,则α 的取值范 3

? 3? ,π ) ) ∪[ 2 4 3? ? 3? C.[ ,π ) D.( , ] 4 2 4 4 .已知函数 y ? xf ?( x) 的图象如右图所示 ( 其中 f '(x ) 是函数 下面四个图象中 y ? f ( x) 的图象大致 f ( x) 的导函数), 是( )

B. [ 0,

y
1

x
1 2

-2

-1

O -1

y
2 2 1

y
4

y
4 2 1

y

O
-2
-1

x
1 2 -2 -1

O
1

1

x
2

2 1 -2 -1 O

x

-2

-2

-2

-2

-1

O

2

x

A

B

C

D

5.对于函数 y ? 2 x ? 1 ,下列结论中正确的是( A. y 有极小值0,且0也是最小值 C. y 有极小值0,但0不是最小值 6、若 ?0
k



B. y 有最小值0,但0不是极小值 D.0既不是极小值,也不是最小值 ) 0或1 D、以上都不对

(2 x ? 3x 2 )dx ? 0 ,则 k=(
B、 0 C、

A、 1

7. 已知函数 f ( x)满足f ( x) ? f (? ? x), 且当x ? (? A. f (1) ? f (2) ? f (3)

? ?

( , ) 时,f ( x) ? x ? sin x, 则 2 2
2 , 4 , 6



B. f (2) ? f (3) ? f (1)

1

C. f (3) ? f (2) ? f (1)

D. f (3) ? f (1) ? f (2)
1 }( n ? N *) 的前 n f ( n)

8.设函数 f ( x) ? x m ? ax 的导函数 f ?( x) ? 2 x ? 1 ,则数列 { 项和是 A.
n n ?1

B.

n?2 n ?1

C.

n n ?1

D.

n ?1 n

1 9.设 f(x)= x3+ax2+5x+6 在区间[1,3]上为单调函数,则实数 a 的取值范围为 3 ( )

A [- 5 ,+∞
5, 5]

B. (-∞ ,-3)

C. (-∞ ,-3)∪[- 5 ,+∞0

D. [-

10.函数 f(x)在定义域 R 内可导,若 f(x)=f(2-x),且当 x∈(-∞,1)时, 1 (x-1) f ?( x) <0,设 a=f(0),b= f( ),c= f(3),则 ( ) 2 A .a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D. b<c <a 1 4 11.曲线 y ? x3 ? x 在点 (1, ) 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ( ) 3 3 1 2 1 2 A. B. C. D. 9 9 3 3
2 12.如图所示的是函数 f ( x) ? x 3 ? bx 2 ? cx ? d 的大致图象,则 x12 ? x 2 等于 ( )

2 3 8 C. 3

A.

4 3 16 D. 3

B.

13.设 f ( x) 是偶函数,若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 1,则该 曲线在 (?1, f (?1)) 处的切线的斜率为_________.
1 与y ? x 2 交于点 P,过 P 点的两条切线与 x 轴分别交于 A,B x 两点,则 △ABP 的面积为; 3 15.函数 y ? f ( x) 在定义域 (? ,3) 内可导,其图 2

14.已知曲线 y ?

象如图,记 y ? f ( x) 的导函数为 y ? f / ( x) , 则不等式 f / ( x) ? 0 的解集为_____________ 16.若函数 f(x)=
3 x (a>0)在[1,+∞)上的最大值为 ,则 a 的值为 3 x ?a
2

2

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题, 共 74 分)。 2 17.(12 分)已知函数 f(x)= x3-2ax2+3x(x∈R). 3 (1)若 a=1,点 P 为曲线 y=f(x)上的一个动点,求以点 P 为切点的切线斜率 取最小值时的切线方程; (2)若函数 y=f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,试求满足条件的最大整 数 a.

18.(12 分)已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x 2

(a∈R).(1)若 f ( x) 在[1,e]上
2 3 x 3

是增函数,求 a 的取值范围;

(2)若 a=1,a≤x≤e,证明: f ( x) <

19.(12 分)已知函数 f ( x) ? e x ? x ( e 为自然对数的底数)
2 0 (Ⅰ)求 f ( x) 的最小值; 0 (Ⅱ)设不等式 f ( x) ? ax 的解集为 P,且 ?x | 0 ? 9 x ? 2? ? P ,求实数 a 的取值 0 范围; 5 2 0

3

20.(12 分)已知 f ( x) ? ( x 2 ? ax ? a)e ? x (a ? 2, x ? R). (1)当 a=1 时,求 f ( x) 的单调区间; (2)是否存在实数 a,使 f ( x) 的极大值为 3?若存在,求出 a 的值,若不存 在,说明理由.

21. (12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? b 的图像与函数 g ( x) ? x 2 ? 3x ? 2 的图象相切, 记
F ( x) ? f ( x) g ( x). (1)求实数 b 的值及函数 F(x)的极值;

(2)若关于 x 的方程 F(x)=k 恰有三个不等的实数根,求实数 k 的取值范 围。

4

22.(14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ?

1? x , 其中a 为大于零的常数。 ax

(1)若函数 f ( x)在区间[1,??) 内单调递增,求 a 的取值范围; (2)求函数 f ( x) 在区间[1,2]上的最小值。

答案解析
1. B 解析: y′=(x+2cos x)′=1-2sin x,令 1-2sin x=0,且 x∈[0,

? ? ? , ]时, f ?( x) ≤0,f(x)单调递减,∴f(x)max=f( ).故选 B 6 2 6 2.C;解析:求该函数得导函数,解不等式求得小于零的区间即可; 3.B;解析:导函数的取值范围正好对应切线斜率的范围,再求倾斜角的范围即 可;
当 x∈[

? ? ]时, x= , 2 6

5

5.A

6.A

7.D; 解析:∵ f ( x)? ? 1 ? cos x ? 0

? ? ?? ∴f(x)在区间 ?? , ? 上 ? 2 2?

单调递增;又(x)=f( ? ? x ),∴f(x)关于 x=

? 对称,故选 D. 2
1 }( n ? N *) 的形式 f ( n)

8.A;解析: f ?( x) ? 2 x ? 1的原函数为 x 2 ? x 得 m=2,再求 { 即可;

? f ?(1) ? 0 9.C; f ?( x) =x2+2ax+5,则 f(x)在[1,3]上单调减时,由 ? ,得 a≤-3; ? f ?(3) ? 0 ?? ? 0 当 f(x)在[1,3]上单调增时, f ?( x) =0 中,⊿=4a2-4×5≤0,或 ? , ? f ?(3) ? 0

得 a∈[- 5 , 5 ]∪[ 5 ,+∞]. 综上:a 的取值范围是(-∞ ,-3)∪[- 5 ,+∞],故选 C. 10.B;解析: 由 f(x)=f(2-x)可知,f(x)的图像关于 x=1 对称,根据题意又知 x∈(-∞,1)时, f ?( x) >0,此时 f(x)为增函数,x∈(1,+∞)时, f ?( x) <0,f(x)
1 ),即 c<a<b,故选 B. 2 1 4 4 11.A;解析:曲线 y ? x3 ? x 在点 (1, ) 处的切线方程是 y ? ? 2( x ? 1) ,它与坐 3 3 3 2 1 1 标轴的交点是( ,0),(0,- ),围成的三角形面积为 ,故选 A。 3 3 9

为减函数,所以 f(3)=f(-1)<f(0)<f(

12.C; 解析:由图象知 f ( x) ? 0 的根为 0,1,2,? d ? 0.
? f ( x) ? x 3 ? bx 2 ? cx ? x( x 2 ? bx ? c) ? 0.
? x 2 ? bx ? c ? 0 的两个根为 1 和 2.? b ? ?3, c ? 2.

? f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 2 x. ? f ?( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 2.
2 ? x1 , x2为3x 2 ? 6 x ? 2 ? 0 的两根, ? x1 ? x2 ? 2, x1 x2 ? . 3 2 8 2 ? x12 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? 2 2 ? 2 ? ? . 3 3 二、填空题 13. ?1 解析;本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基

础知识、基本运算的考查.取 f ? x ? ? x 2 ,如图,采用数形结合法,易得该

6

曲线在 (?1, f (?1)) 处的切线的斜率为 ?1 .故应填 ?1 .
3 14. ;解析:先求出交点坐标为(1,1),再分别求出两曲线在该点处的切线 4 方程,求出 A、B、P 三点坐标,再求面积; 1 15. [? ,1] ? [2,3) 解析:由函数的单调性判断 3

16. 3 —1

解析: f ?( x) ?

x 2 ? a ? 2x 2 a ? x2 = ,x> a 时, f ?( x) <0,f(x) ( x 2 ? a) 2 ( x 2 ? a) 2

单调减,当- a <x< a 时, f ?( x) >0, f(x)单调增,当 x= a 时,f(x)=
a 3 3 = , a= <1,不合题意. 2a 3 2



f(x)max=f(1)= 三、

3 1 = ,a= 3 —1 1? a 3

17.解:(1)设切线的斜率为 k,则 k= f ?( x) =2x2-4x+3=2(x-1)2+1, …………2 分
5 5 当 x=1 时,kmin=1.又 f(1)= ,所以所求切线的方程为 y- =x-1, 3 3 即 3x-3y+2=0. ……………………6 分

(2) f ?( x) =2x2-4ax+3,要使 y=f(x)为单调递增函数,必须满足 f ?( x) >0,即 对任意的 x∈(0,+∞),恒有 f ?( x) >0,
f ?( x) =2x -4ax+3>0, ……………………8 分
2

∴a<

2x 2 ? 3 x 3 6 6 x 3 = + ,而 + ≥ ,当且仅当 x= 时,等号成立. 2 2 4x 2 4x 2 4x
6 ,……………11 分 2

所以 a<

所求满足条件的 a 值为 1 ……………12 分 a a 18. 解: (1)∵ f ?( x) ? x ? ,且在[1,e]上是增函数,∴ f ?( x) ? x ? ≥0 恒成立, x x 即 a≥- x 2 在[1,e]上恒成立, ∴a≥1……………… 6 分 (2)证明:当 a=1 时, f ( x) ?
1 2 x ? ln x 2
7

x∈[1,e].

令 F(x)= f ( x) ∴ F ?( x) ? x ?

2 2 1 2 2 x = x ? ln x - x 2 , 2 3 3

(1 ? x)(1 ? x ? 2 x 2 ) 1 ? 2x 2 ? ? 0 ,∴F(x) 在[1,e]上是减函数, x x
1 2 ? ?0 2 3

∴F(x)≤F(1)=

∴x∈[1,e]时, f ( x) <

2 2 x …………… 12 分 3

19.解:(Ⅰ) f ( x) 的导数 f ?( x) ? e x ? 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 0 ;令 f ?( x) ? 0 , 解得 x ? 0 .………………………2 分 从而 f ( x) 在 (??,0) 内单调递减,在 (0,??) 内单调递增. 所以,当 x ? 0 时, f ( x) 取得最小值 1 .……………………………5 分 (II)因为不等式 f ( x) ? ax 的解集为 P,且 ?x | 0 ? x ? 2? ? P , 所以, 对任意的 x ? [0,2] , 不等式 f ( x) ? ax 恒成立, …………………………… 6分 由 f ( x) ? ax ,得 (1 ? a) x ? e x 当 x ? 0 时, 上述不等式显然成立, 故只需考虑 x ? ……………… (0,2] 的情况。 7分 将 (1 ? a) x ? e x 变形为 a ? 8分 令 g ( x) ?
ex ( x ? 1)e x ? 1 ,则 g ?( x) ? x x2 ex ?1 x

………………………………………………

令 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1;令 g ?( x) ? 0 , 解得 x ? 1.…………………………10 分 从而 g ( x) 在 (0,1) 内单调递减,在 (1, 2) 内单调递增. 所以,当 x ? 1 时, g ( x) 取得最小值 e ? 1,从而, 所求实数 a 的取值范围是 (??, e ? 1) .………………12 分 20.解:(1)当 a=1 时, f ( x) ? ( x 2 ? x ? 1)e ? x ; f ' ( x) ? e ? x (? x 2 ? x) ……………2

8

分 当 f ' ( x) ? 0时,0 ? x ? 1.当f ' ( x) ? 0时x ? 1或x ? 0 ∴f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(-∞,0)(1,+ ∞) ……………………4 分 (2) f ' ( x) ? (2 x ? a)e ? x ? e ? x ( x 2 ? ax ? a) ? e ? x [? x 2 ? (2 ? a) x] ………6 分 令 f ' ( x) ? 0, 得x ? 0或x ? 2 ? a 列表如下: x
f ' ( x)
f ( x)

(-∞,0) 0 - 0 极小

(0,2-a) 2-a + 0 极大

(2-a,+ ∞) -

由表可知 f ( x) 极大 ? f (2 ? a) ? (4 ? a)e a ? 2 设 g (a) ? (4 ? a)e a ?2 , g ' (a) ? (3 ? a)e a ?2 ? 0

………………8 分 ……………10 分

? g (a)在(??,2)上是增函数,? g (a) ? g (2) ? 2 ? 3 ? (4 ? a)e a ?2 ? 3

∴不存在实数 a 使 f(x)最大值为 3。

………………12 分

21.解:(1)依题意,令 f ' ( x) ? g ' ( x), ,得 1 ? 2 x ? 3, 故x ? ?1
?函数f ( x)的图像与函数g ( x)的图象的切点为(?1,0) 将切点坐标代入函数f ( x) ? x ? b可得b ? 1 (或 : 依题意方程f ( x)) ? g ( x), 即x 2 ? 2 x ? 2 ? b ? 0有唯一实数解 故? ? 2 2 ? 4(2 ? b) ? 0, 即b ? 1) ? F ( x) ? ( x ? 1)( x 2 ? 2 x ? 2) ? x 3 ? 4 x 2 ? 5 x ? 2.......... .......... .......... .... 2分 5 故F ' ( x) ? 3 x 2 ? 8 x 2 ? 5 ? 3( x ? 1)( x ? ) 3 5 令F ' ( x) ? 0, 解得x ? ?1或x ? ? .......... .......... .......... .......... ... 4分 3

列表如下:

x
F ' ( x)

5 (??,? ) 3

?

5 3

5 (? ,?1) 3

-1 0 极小值 0

(?1,??)

+ ↗

0 极大值

- ↘

+ ↗

F ( x)

9

4 27
5 4 从上表可知 F ( x)在x ? ? 处取得极大值 , 在x ? ?1 处取得极小值. 3 27 …………………6 分

. 作函数 y ? k 的图象, (2)由(1)可知函数 y ? F ( x)大致图象如下图所示
当 y ? F ( x) 的图象与函数 y ? k 的图象有三个交点时, 关于 x 的方程 F ( x) ? k恰有三个 不等的实数根.结合图形可知 : k ? (0, ……………12 分
4 ) 27

22.解: f ?( x) ?

ax ? 1 ( x ? 0). ax 2

……………… 2 分

(1)由已知,得 f ?( x) ? 0在[1,??) 上恒成立,
1 在[1,??) 上恒成立 x 1 又?当 x ? [1,??)时, ? 1, x

即a ?

? a ? 1.即a的取值范围为 [1,??)
(2)当 a ? 1时,

………………6 分

? f ?( x) ? 0 在(1,2)上恒成立, 这时 f ( x) 在[1,2]上为增函数

? f ( x) min ? f (1) ? 0
当0 ? a ? 数

………………8 分

1 , ? f ?( x) ? 0 在(1,2)上恒成立,这时 f ( x) 在[1,2]上为减函 2

1 . ………………10 分 2a 1 1 当 ? a ? 1 时,令 f ?( x) ? 0, 得x ? ? (1,2). 2 a 1 1 又? 对于x ? [1, )有 f ?( x) ? 0, 对于x ? ( ,2]有f ?( x) ? 0, a a 1 1 1 ………………12 分 ? f ( x) min ? f ( ) ? ln ? 1 ? . a a a ? f ( x) min ? f (2) ? ln 2 ?
10

综上, f ( x) 在[1,2]上的最小值为
1 1 ①当 0 ? a ? 时, f ( x) mim ? ln 2 ? ; 2 2a 1 1 1 ②当 ? a ? 1 时, f ( x) min ? ln ? 1 ? . 2 a a

③当 a ? 1时, f ( x) min ? 0

……………… 14 分

11


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