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数列求和的基本方法和技巧


? 数列是高中代数的重要内容,又是学习高 等数学的基础. 在高考占有重要的地位. 数 列求和是数列的重要内容之一,除了等差 数列和等比数列有求和公式外,大部分数 列的求和都需要一定的技巧. 下面,就几个 历届高考数学谈谈数列求和的基本方法和 技巧.

一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的 最基本最重要的方法. n(a1 ? an ) n(n ? 1) 1、等差数列求和公式: S n ? 2 ? na1 ? 2 d
(q ? 1) ? na1 ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q 2、等比数列求和公式: ? (q ? 1) ? 1? q 1? q ?

1 3、 n ? ? k ? n(n ? 1) S 2 k ?1
1 5、 n ? ? k ? [ n(n ? 1)]2 S 2 k ?1
3 n

n

4、n ? ? k 2 ? 1n(n ? 1)(2n ? 1) S
k ?1

n

6

? [例1] 已知
2

?1 log3 x ? log2 3
3 n



求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前n项和
由等比数列求和公式得
1 1 (1 ? n ) n x(1 ? x ) 2 2 3 n 2 ? 1? 1 Sn ? x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? n 1 1? x 2 1? 2

? [例2] 设Sn 的最大值

=1+2+3+…+n,n∈N*,求f

Sn ( n) ? (n ? 32) S n ?1

解:由等差数列求和公式得
1 S n ? n(n ? 1) 2
∴ f ( n) ?

1 S n ? (n ? 1)( n ? 2) 2
1 64 n ? 34 ? n
? 1 8 2 ( n? ) ? 50 n

Sn n ? 2 ? (n ? 32) S n ?1 n ? 34 n ? 64

1 ? 50

1 8 f ∴当 n ? ,即n=8时, ( n) max ? 50 8

二、错位相减法求和
? 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式 时所用的方法,这种方法主要用于求数列 {an· bn}的前n项和,其中{ an }、{ bn }分 别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和 :S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1
………①

x n ?1 }的通项之积 列{2n-1}的通项与等比数列{

(2n ? 1) x n?1 }的通项是等差数 解:由题可知,{
xSn ? 1x ? 3x 2 ? 5x 3 ? 7 x 4 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n



……… ②

(设制错位)
①-②得

(1 ? x)S n ? 1 ? 2x ? 2x 2 ? 2x 3 ? 2x 4 ? ? ? ? ? 2x n?1 ? (2n ? 1) x n

(错位相减)
再利用等比数列的求和公式得:
1 ? x n ?1 (1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ? ? (2n ? 1) x n 1? x (2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) Sn ? (1 ? x) 2



[例4] 求数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 2 2 2 2

前n项的和

1 2n 解:由题可知,{ n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 2 2
设 Sn ?

2 4 6 2n ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n …………………………………① 2 2 2 2

1 2 4 6 2n S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 ………………………………② 2 2 2 2 2

(设制错位)

1 2 2 2 2 2 2n 1 2n ①-②得(1 ? ) S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 ? 2 ? n ?1 ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 2 2


n?2 S n ? 4 ? n ?1 2

三、反序相加法求和
? 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的 方法,就是将一个数列倒过来排列(反 序),再把它与原数列相加,就可以得到n 个.

1 2 n [例5] {理}求证: n ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2 n C0
0 1 2 n 证明: 设 S n ? Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn

………….. ①

把①式右边倒转过来得
n n 1 0 S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ?1 ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn

(反序)

m n 又由 Cn ? Cn ?m 可得
0 1 n n S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ?1 ? Cn …………..…….. ②

0 1 n n ①+②得 2Sn ? (2n ? 2)(Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ?1 ? Cn ) ? 2(n ? 1) ? 2n (反序相加)



S n ? (n ? 1) ? 2 n

2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? [例6] 求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值

解:设 S ? sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89?…………. ①

将①式右边反序得
S ? sin 2 89? ? sin 2 88? ? ? ? ? ? sin 2 3? ? sin 2 2? ? sin 2 1? ……..② 反序)
? 2 2 又因为 sin x ? cos(90 ? x),sin x ? cos x ? 1

①+②得 2S ? (sin 2 1? ? cos2 1? ) ? (sin 2 2? ? cos2 2? ) ? ? ? ? ? (sin 2 89? ? cos2 89? )=89
∴ S=44.5

四、分组法求和
? 有一类数列,既不是等差数列,也不是等 比数列,若将这类数列适当拆开,可分为 几个等差、等比或常见的数列,然后分别 求和,再将其合并即可.

[例7] 求数列的前n项和: ? 1, 1 解:设

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

1 1 1 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a

将其每一项拆开再重新组合得
S n ? (1 ? 1 1 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) (分组) a a a

(3n ? 1)n (3n ? 1)n 当a=1时,S n ? n ? = (分组求和) 2 2
1 a n ? (3n ? 1)n 当 a ? 1 时,S n ? 1 2 1? a 1?

a ? a1?n (3n ? 1)n ? = a ?1 2

[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
ak ? k (k ? 1)(2k ? 1) ? 2k 3 ? 3k 2 ? k 解:设

∴ S n ? ? k (k ? 1)(2k ? 1) =
k ?1

n

(2k 3 ? 3k 2 ? k ) ?
k ?1

n

将其每一项拆开再重新组合得
Sn= 2? k ? 3? k ? ? k
3 2 k ?1 k ?1 k ?1 n n n

(分组)

? 2(13 ? 23 ? ? ? ? ? n3 ) ? 3(12 ? 22 ? ? ? ? ? n2 ) ? (1 ? 2 ? ? ? ? ? n)

n 2 (n ? 1) 2 n(n ? 1)(2n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) 2 (n ? 2) ? ? ? ? 2 2 2 2

五、裂项法求和
? 这是分解与组合思想在数列求和中的具体 应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通 项)分解,然后重新组合,使之能消去一 些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂 项)如:

1 2 n 2 a ? ? ??? ? [例9]] 在数列{an}中, n ? ,又 bn ? n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

求数列{bn}的前n项的和 解:∵
an ? 1 2 n n ? ? ??? ? ? n ?1 n ?1 n ?1 2



bn ?

2 1 1 ? 8( ? ) n n ?1 n n ?1 ? 2 2

(裂项)

∴ 数列{bn}的前n项和
1 1 1 1 1 1 1 S n ? 8[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )]= 8(1 ? 1 ) 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1

8n = n ?1

1 1 1 cos1? [例10] 求证: ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? cos0 cos1 cos1 cos 2 cos88 cos89 sin 2 1?

解:设

1 1 1 S? ? ? ??? ? ? ? ? ? cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 ? cos 89 ?

sin 1? ∵ ? tan(n ? 1)? ? tann? cos n? cos(n ? 1)?

(裂项) (裂项求和)


?

S?

1 1 1 ? ? ??? ? cos 0 ? cos 1? cos 1? cos 2 ? cos 88 ? cos 89 ?

1 {(tan 1? ? tan 0? ) ? (tan 2? ? tan 1? ) ? (tan 3? ? tan 2? ) ? [tan 89 ? ? tan 88? ]} sin 1?
?

1 1 ? ? ? cot 1? = cos1 (tan 89 ? tan 0 ) = = ? sin 1? sin 1 sin 2 1?
∴ 原等式成立

六、合并法求和
? 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一 起就具有某种特殊的性质,因此,在求数 列的和时,可将这些项放在一起先求和, 然后再求Sn.

[例11]] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+·· cos178°+ cos179°的值 ·+ 解:设Sn= cos1°+ cos2°+ cos3°+·· cos178°+ cos179° ·+ ∵

cosn ? ? cos(180 ? n )
? ? ?

(找特殊性质项)

∴Sn= (cos1°+ cos179°)+( cos2°+ cos178°) + (cos3°+ cos177°)+·· ·+(cos89°+ cos91°) + cos90°= 0

[例12]] 数列{an}: 1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an ,求S2002. a

∵ a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ?4 ? a6k ?5 ? a6k ?6 ? 0 (找特殊性质项)
∴ S2002= a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a2002 (合并求和)

∵ a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ?4 ? a6k ?5 ? a6k ?6 ? 0 (找特殊性质项)

[例13] 在各项均为正数的等比数列中,若

a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 的值.
解:设

S n ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10

由等比数列的性质 m ? n ? p ? q ? aman ? a p a(找特殊性质项) q 和对数的运算性质 loga M ? loga N ? loga M ? N 得
S n ? (log3 a1 ? log3 a10 ) ? (log3 a2 ? log3 a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? log3 a6 )

(合并求和)

? (log3 a1 ? a10 ) ? (log3 a2 ? a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? a6 )
? log3 9 ? log3 9 ? ? ? ? ? log3 9 ? 10

七、利用数列的通项求和
? 先根据数列的结构及特征进行分析,找出 数列的通项及其特征,然后再利用数列的 通项揭示的规律来求数列的前n项和,是一 个重要的方法.

[例14] 求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111? ? 之和. ? ? ?1 ?
n个1

1 1 k 解:由于 111? ? ? 1 ? ? 999??9 ? (10 ? 1) (找通项及特征) ??? 9 ???? 9 ? ? k个1 k个1
∴ 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111? ? ? =1 ?? ?
n个1

1 1 1 1 1 (10 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? (10 3 ? 1) ? ? ? ? ? (10 n ? 1) 9 9 9 9

1 1 ? (101 ? 102 ? 103 ? ? ? ? ? 10n ) ? (1 ?? 1 ??? ? 1) ?? ? ? 1? ? ? ? 9 9 n个1

1 10(10n ? 1) n 1 ? ? ? ? (10n ?1 ? 10 ? 9n) 9 10 ? 1 9 81

? 8 a [例15] 已知数列{an}: n ? (n ? 1)(n ? 3) , 求? (n ? 1)(an ? an?1 ) 的值. n ?1

1 1 ? ] 解:∵ (n ? 1)(a n ? an?1 ) ? 8(n ? 1)[ (n ? 1)(n ? 3) (n ? 2)(n ? 4)

(找通项及特征)
? 8 ?[ 1 1 ? ] (n ? 2)(n ? 4) (n ? 3)(n ? 4) (设制分组)

? 4?(
?

1 1 1 1 ? ) ? 8( ? ) n?2 n?4 n ? 3 n ? 4 (裂项)
?

? 1 1 1 1 ? ) ? 8? ( ? ) ∴ ? (n ? 1)(an ? an?1 ) ? 4? ( n?4 n?4 n ?1 n ?1 n ? 2 n ?1 n ? 3

1 1 1 13 ? 4?( ? ) ? 8? ? 3 4 4 3

(分组、裂项求和)


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