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9、2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系


2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

立交桥是伴随高速公路应运而生的.城市的立交桥不仅大大 了交通,而且成为城市建设的美丽风景.为了车流畅通,并安全 过交叉路口,1928 年,美国首先在新泽西州的两条道路交叉处修 第一座苜蓿叶形公路交叉桥.1930 年, 芝加哥建起了一座立体交叉 桥.1931 年至 1935 年, 瑞典陆续在一些城市修建起立体交叉桥. 从 城市交通开始从平地走向立体. 问题 1:在同一平面内,两直线有怎样的位置关系? 提示:平行或相交. 问题 2:若把立交桥抽象成一直线,它们是否在同一平面内?有何特征? 提示:不共面,即不相交也不平行.

方 便 地 通 建 了

此 ,

问题 3:观察一下,教室内日光灯管所在直线与黑板的左、右两侧所在直线,是否也具有类 似特征? 提示:是.

1.异面直线 (1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线. (2)异面直线的画法

2.空间两条直线的位置关系

位置关系 相交





同一平面内,有且只有一个公共点
-1-

平行 异面直线

同一平面内,没有公共点 不同在任何一个平面内,没有公共点

1.在初中学过,在同一平面内,若两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平 行. 问题 1:在空间中,是否也有类似规律? 提示:是. 问题 2:能否利用某一空间几何体举出符合这一规律的例子? 提示:可以,例如教室墙面与墙面的交线之间. 2.观察下图中的∠AOB 与∠A′O′B′.

问题 1:这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系? 提示:分别对应平行. 问题 2:测量一下,这两个角的大小关系如何? 提示:相等.

1.平行公理(公理 4) (1)文字表述:平行于同一条直线的两条直线互相平行.这一性质叫做空间平行线的传递性. (2)符号表述: 2.等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 3.异面直线所成的角 (1)定义:已知两条异面直线 a,b,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,我们把 a′ 与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角 θ 的取值范围:0° <α≤90° .
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a∥b ? ? ??a∥c. ? b∥c?

π (3)当 θ= 时,a 与 b 互相垂直,记作 a⊥b. 2

1.对于异面直线的定义的理解 异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线.注意异面直线 中“任何”两字,它指空间中的所有平面,因此异面直线也可以理 为:在空间中找不到一个平面, 使其同时经过 a、b 两条直线. 例如, 所示的长方体中,棱 AB 和 B1C1 所在的直线既不平行又不相交,找 一个平面同时经过这两条棱所在的直线,故 AB 与 B1C1 是异面直线. 2.对平行公理与等角定理的理解 公理 4 表明了平行的传递性,它可以作为判断两直线平行的依据,同时也给出了空间两直线 平行的一种证明方法. 等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的, 它是公理 4 的直接应用, 并且当这两个角的两边方向分别相同时,它们相等,否则它们互补. 定 义 解 如 图 不 到

[例 1] 如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,判断下列直线的位 系: ①直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________; ②直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是________; ③直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________; ④直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________.

置 关

[思路点拨] 利用直线异面、平行、相交这三种不同关系的判断方法,结合正方体图形特点 直观判断. [精解详析] 直线 D1D 与直线 D1C 相交于 D1 点,所以③应该填“相交”;直线 A1B 与直线 D1C 在平面 A1BCD1 中,且没有交点,则两直线平行,所以①应该填“平行”;点 A1、B、B1 在 一个平面 A1BB1 内,而 C 不在平面 A1BB1 内,则直线 A1B 与直线 B1C 异面.同理,直线 AB 与直 线 B1C 异面.所以②④应该填“异面”. [答案] ①平行 ②异面 ③相交 ④异面 [一点通] 判定两条直线的位置关系时.若要判定直线平行或相交可用平面几何中的定义和 方法处理.判定异面直线的方法往往用定义和反证法.借助几何模型判定两直线的位置关系,也
-3-

是常用的一种方法,更直观.

1.不平行的两条直线的位置关系是( A.相交 C.平行

) B.异面 D.相交或异面

解析:若两直线不平行,则直线可能相交,也可能异面. 答案:D 2.如图所示,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,与 AA1 异面的是( )

A.AB C.DD1

B.BB1 D.B1C1

解析:由异面直线的定义知,与 AA1 异面的直线应为 B1C1. 答案:D 3.已知直线 AB、CD 是异面直线,求证:直线 AC、BD 是异面直线. 证明:假设 AC 和 BD 不是异面直线,则 AC 和 BD 在同一平面内, 个平面为 α(如图). ∵AC?α,BD?α, ∴A、B、C、D 四点都在 α 内, ∴AB?α,CD?α, 这与已知中 AB 和 CD 是异面直线矛盾,故假设不成立. ∴直线 AC 和 BD 是异面直线. 设 这

[例 2] 已知 E, E1 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 AD, 的中点.求证:∠BEC=∠B1E1C1. [思路点拨] 欲证两个角相等,可先证角的两边分别平行, 再通过等角定理来说明这两个角相等. [精解详析] 连接 EE1. ∵E,E1 分别为 AD,A1D1 的中点, ∴A1E1 綊 AE,
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A1D1

然 后

∴四边形 A1E1EA 为平行四边形, ∴A1A 綊 E1E. 又∵A1A 綊 B1B,∴E1E 綊 B1B, ∴四边形 E1EBB1 是平行四边形, ∴E1B1∥EB. 同理可证 E1C1∥EC. 又∵E1B1 与 EB 方向相同,E1C1 与 EC 方向相同, ∴∠BEC=∠B1E1C1. [一点通] 空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补,当两个角 的两边方向都相同时或都相反时,两个角相等,否则两个角互补,因此,在证明两个角相等时, 只说明两个角的两边分别对应平行是不够的.

4.如图所示,在三棱锥 S—MNP 中,E、F、G、H 分别是棱 SN、 MN、MP 的中点,则 EF 与 HG 的位置关系是( A.平行 C.异面 B.相交 D.平行或异面 )

SP



解析:∵E、F 分别是 SN 和 SP 的中点, ∴EF∥PN. 同理可证 HG∥PN, ∴EF∥HG. 答案:A 5.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1,E、F 分别为 AA1,CC1 的中点.

求证:BF 綊 ED1. 证明:取 BB1 的中点 G, 连接 GC1、GE. ∵F 为 CC1 中点,
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∴BG 綊 C1F, ∴四边形 BGC1F 为平行四边形, ∴BF 綊 GC1, 又∵EG 綊 A1B1,A1B1 綊 C1D1 ∴EG 綊 D1C1, ∴四边形 EGC1D1 为平行四边形, ∴ED1 綊 GC1,∴BF 綊 ED1.

[例 3] (12 分)在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,求: (1)A1B 与 B1D1 所成的角; (2)AC 与 BD1 所成的角. [思路点拨] 利用正方体的图形特点,把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角后进行 求解. [精解详析] (1)如图,连接 BD、A1D, ∵ABCD—A1B1C1D1 是正方体, ∴DD1 綊 BB1. ∴DBB1D1 为平行四边形. ∴BD∥B1D1 ∴∠A1BD 即为异面直线 A1B 与 B1D1 所成的角. ∵A1B=BD=A1D, ∴△A1BD 是正三角形. ∴∠A1BD=60° . ∴A1B 与 B1D1 所成的角为 (6 分) (4 分) (2 分) (3 分)

(2)连接 BD 交 AC 于点 O,取 DD1 中点 E,连接 EO、EA、EC. ∵O 为 BD 的中点, ∴OE∥BD1 ∵∠EDA=90° =∠EDC, ED=ED,AD=DC, ∴△EDA≌△EDC
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(8 分)

(9 分)

∴EA=EC. 在等腰△EAC 中, ∵O 是 AC 的中点 ∴EO⊥AC. ∴∠EOA= 又∵∠EOA 是异面直线 AC 与 BD1 所成的角, ∴AC 与 BD1 所成的角为 (12 分) (10 分)

[一点通] 异面直线所成角的定义明确给出了异面直线所成角的范围及求异面直线所成角的 方法, 即平移法作出异面角后转化为解三角形求角, 体现了空间角转化为平面角求法的基本思想.

6.过正方体 ABCD—A1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l,使 l 与棱 AB,AD,AA1 所成的角都相等, 这样的直线 l 可以作( A.1 条 C.3 条 ) B .2 条 D.4 条 条 符

解析:以 AA1 为棱补三个全等的正方体,则四个正方体各有一 合条件的直线. 答案:D 7.如图所示,空间四边形 ABCD 中,AB=CD,AB⊥CD,E、F 为 BC、AD 的中点,求 EF 和 AB 所成的角. 解:如图所示,取 BD 的中点 G,连接 EG、FG. ∵E、F 分别为 BC、AD 的中点,AB=CD, 1 1 ∴EG∥CD,GF∥AB,且 EG= CD,GF= AB. 2 2 ∴∠GFE 就是 EF 与 AB 所成的角,EG=GF. ∵AB⊥CD,∴EG⊥GF. ∴∠EGF=90° . ∴△EFG 为等腰直角三角形. ∴∠GFE=45° , 即 EF 与 AB 所成的角为 45° .

分 别

1.证明两线平行的方法:(1)定义法(多用反证法),(2)利用公理 4 即平行传递性. 2.等角定理为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一性.
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3.求两条异面直线所成的角的步骤:(1)作角:在空间任选一点,这个点通常选在其中一条 异面直线上,一般为线段的中点或者端点,用平移的方法,把空间角转化成两条相交直线所成的 角.(2)证明:证明这个角或其补角即为所求的角.(3)计算:把这个角归结在某个三角形中,通过 解三角形求出这个角.

1.已知 AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30° ,则∠PQR 等于( A.30° C.150° B.30° 或 150° D.以上结论都不对

)

解析:∠ABC 的两边与∠PQR 的两边分别平行,但方向不能确定是否相同. ∴∠PQR=30° 或 150° . 答案:B 2.已知 a,b 是异面直线,直线 c∥a,那么 c 与 b( A.一定是异面直线 C.不可能是相交直线 )

B.一定是相交直线 D.不可能是平行直线

解析:过直线 b 上的任一点 p 作 l∥a,则 b∩l=P,b、l 确定平面 α.由 c∥a 知,当 c∈α 时, c 与 b 相交;当 c?α 时,c 与 b 异面.故 A、B、C 错.若 c∥b,由 c∥a 知 b∥a,这与已知的 a、 b 为异面直线相矛盾,故 D 对. 答案:D 3.(2011· 烟台高一检测)如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB 的中 M,DD1 的中点为 N,则异面直线 B1M 与 CN 所成的角是( A.0° C.60° B.45° D.90° ) 点 为

解析:取 CD 中点 M1,连接 C1M1,则 CN⊥C1M1,故 B1M 与 CN 所成的角为 90° . 答案:D 4.如图,将无盖正方体纸盒展开,直线 AB,CD 在原正方体中的位置 是( ) A.平行 B.相交且垂直 C.异面 关 系

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D.相交成 60° 解析:还原成正方体后,B、D 重合为一点,如图所示 连 AC 易知△ABC 为等边三角形. 答案:D 5.满足“a、b 是异面直线”的命题序号是________. ①a∩b=?且 a 不平行于 b ②a?平面 α, b?平面 β 且 a∩b=? ③a?平面 α, b?平面 α ④ 不存在平面 α,使 a?α 且 b?α 成立 解析:由异面直线的定义知:这两条直线不同在任何一个平面内,即它们既不平行,也不相 交,应填①④. 答案:①④ 6.如图,点 P、Q、R、S 分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线 PQ 与 RS 是异面直线的一个图是________.

解析:①中 PQ∥RS,②中 RS∥PQ,④中 RS 和 PQ 相交. 答案:③ 7.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,求 CC1 与 BD1 所成角的正弦值. 解:如图所示,连接 B1D1, ∵B1B∥CC1, 则 BB1 与 BD1 所成的角∠B1BD1 就是 CC1 和 BD1 所成的角. 在 Rt△BB1D1 中, B1D1 2a 6 sin∠B1BD1= = = , BD1 3 3a ∴CC1 与 BD1 所成角的正弦值为 6 . 3 C 1C

8.如图所示,E、F 分别是长方体 A1B1C1D1—ABCD 的棱 A1A, 的中点. 求证:四边形 B1EDF 是平行四边形. 证明:设 Q 是 DD1 的中点,连接 EQ、QC1. ∵E 是 AA1 的中点, ∴EQ 是矩形 AA1D1D 的中位线.∴EQ 綊 A1D1.
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又在矩形 A1B1C1D1 中,A1D1 綊 B1C1, ∴EQ 綊 B1C1(平行公理). ∴四边形 EQC1B1 为平行四边形.∴B1E 綊 C1Q. 又∵Q、F 是 DD1、C1C 两边的中点,∴QD 綊 C1F. ∴C1Q 綊 DF. 又∵B1E 綊 C1Q, ∴B1E 綊 DF. ∴四边形 B1EDF 为平行四边形.

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