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浙江省2015届高三第一次五校联考数学(文)试题


2014 数学(文科)试题卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为 R ,集合 A ? x 2 ? 1 , B ? x x ? 6 x ? 8 ? 0 ,则 A ? CR B ? (
x 2

A.

?x x ? 0?<

br />
B.

?x 2 ? x ? 4? C. ?x 0 ? x ? 2或x ? 4?

?

?

?

?



D. x 0 ? x ? 2或x ? 4 ) )

?

?

2. 在等差数列 ?an ? 中, a5 ? 3, a6 ? ?2 ,则 a3 ? a4 ? ?a8 等于(

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是( A. 若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? B. 若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? C. 若 l //? , m ? ? ,则 l //m D. 若 l //? , m//? ,则 l //m 4. 设 a , b 是实数,则“ a ? b ? 1 ”是“ a ?

1 1 ? b ? ”的( a b



A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知函数 y ? f ( x) ? x 是偶函数,且 f (2) ? 1 ,则 f (?2) ? ( A. ?1 B. 1 C. ?5 6. 已知函数 f ( x ) ? cos ? ? x ?

) D. 5

? ( x ? R, ? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得到函数 4? g ( x) ? sin ? x 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象( ) 3? 3? A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 4 4 3? 3? C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度 8 8 ? y ? ?2 x, ? 7. 设实数 x, y 满足 ? y ? x, 则 z ? y ? 4 | x | 的取值范围是( ) ? y ? x ? 4, ?
A. ?? 8,?6? B. [?8,4] C. [?8,0] D. ?? 6,0? 8. 如图, 在正四棱锥 S ? ABCD 中, E , M , N 分别是 BC, CD, SC 的

? ?

??

中点,动点 P 在线段 MN 上运动时,下列四个结论:① EP ? AC ; ② EP / / BD ;③ EP // 面SBD ;④ EP ? 面SAC .中恒成立的为 ( ) A. ①③ B. ③④ C. ①② D. ②③④ 9. 设 f ? x ? 是定义在 R 上的恒不为零的函数,对任意实数 x, y ? R , 都有 f ? x ? ? f ? y ? ? f ? x ? y ? , 若 a1 ? 列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 的取值范围是( A. ? , 2 ? ?2 ?

S

N

1 ,a n ? f n N ? ?n? ? 2
) C. ? ,1? ?2 ?

?

? ,则数

A
B

D

E

.

C

M

(第 8 题图)

?1

?

B. ? , 2 ? ?2 ?
x ?2

?1

?

?1 ?

D. ? ,1? ?2 ?

?1 ?

? x 2 ? 2 x, x ? 0, ?2 ?1, x ? 0, ? g ( x) ? ? 1 10 已知函数 f ( x ) ? ? 则函数 f [ g ( x)] 的所有零点之 ? x ? 2, x ? 0, ? , x ? 0. ?x
-1-

和是( A. ?

) B.

1 ? 3 2

1 ? 3 2

C. ? 1 ?

3 2
. ▲

D. 1 ?

3 2

1 的定义域为 ▲ log2 ( x ? 2) ? 1 ? 12. 已知 sin(? ? ) ? , ? ? ? ? ,则 cos ? ? 4 3 2
11. 函数 f ( x) ?



13. 已知某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的 体积为 ▲ . 14. 已知偶函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称, 且 x ??0,1? 时, f ( x) ? x ? 1 ,则 f ? ?

? 3? ?= ? 2?





15. 设 a1 ,a2 ,???,an ,??? 是 按 先 后 顺 序 排 列 的 一 列 向 量 , 若

a1 ? (?2014,13) , 且 an ? an?1 ? (1,1) ,则其中模最小的一个向量的序号 n ?
1 ▲ 3 17. 已知正四棱锥 V ? ABCD 可绕着 AB 任意旋转, CD / / 平面? .若 AB ? 2 , VA ? 5 ,则正四棱锥 V ? ABCD 在面 ? 内的投影面积的取值范围是 ▲
比数列,若 q ? [ ,2] ,则 ab 的取值范围是 .





16. 设 a, b ?R,关于 x 的方程 ( x 2 ? ax ? 1)(x 2 ? bx ? 1) ? 0 的四个实根构成以 q 为公比的等
D V C


A

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 14 分)锐角 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别

B

C . 2 (Ⅰ)求 sin A sin B 的值; (Ⅱ)若 a ? 3, b ? 2 ,求 ?ABC 的面积.
为 a, b, c ,已知 cos ? B ? A ? ? 2sin
2

19. (本题满分 14 分)如图所示,正方形 ABCD 所在的平面与等腰 ?ABE 所在的平面 ? 互相垂直,其中顶 ?BAE ? 120 , AE ? AB ? 4 , F 为线段 AE 的中点. (Ⅰ)若 H 是线段 BD 上的中点,求证: FH // 平面 CDE ; a n ? (Ⅱ) 若 H 是线段 BD 上的一个动点, 设直线 FH 与平面 ABCD 所成角的大小为 ? , 求t 的最大值. D H C

A F
-2-

B

E

(第 19 题图 )

20. (本题满分 15 分)已知数列

?an? 的前 n 项和 Sn 满足 (t ?1)Sn ? t (an ? 2),

(t为常数, t ? 0且t ? 1) .
(Ⅰ)求数列 (Ⅱ)设 bn ? Sn ? 1 ,且数列 ?bn ? 为等比数列. ?an? 的通项公式; ① 求 t 的值;

② 若 cn ? ? ?an ? ? log3 ? ?bn ? ,求数列 ?cn ? 的前 n 和 Tn .

21. (本题满分 14 分)设向量 a ? (? ? 2, ? 2 ? 3 cos 2? ) , b = (m,

? , m, ? 为实数. ? (Ⅰ)若 ? ? ,且 a ? b, 求 m 的取值范围; 12 ? (Ⅱ)若 a ? 2b, 求 的取值范围. m

m ? sin ? cos ? ) , 其中 2

22. (本题满分 15 分) 已知函数 f ? x ? ? ? x x ? a ? 1 ? x ? R ? . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求使 f ? x ? ? x 成立的 x 的值; (Ⅱ)当 a ? ? 0,3? ,求函数 y ? f ? x ? 在 x ??1, 2? 上的最大值; (Ⅲ)对于给定的正数 a ,有一个最大的正数 M ? a ? , 使 x?? ? 0, M ? a ? ? ? 时,都有 f ? x ? ? 2 , 试求出这个正数 M ? a ? ,并求它的取值范围.

-3-

2014

数学(文科)答案

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. (1)C (2)C (3)B (4)A (5)D (6)D (7)B (8)A (9)C (10)B 二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 28 分. (11) x x ? 2 且x ? 3 (14) ?

?

?

(12)

2 ?4 6

(13)

160 3
(17)

1 2

(15)

1001,1002

(16) [ 4,

112 ] 9

[ 3,4]

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (18) 解: (Ⅰ)由条件 cos

? B ? A? ? 1 ? cos C ? 1 ? cos ? B ? A? ,

? cos B cos A ? sin B sin A ? 1 ? cos B cos A ? sin B sin A , 1 即 sin A sin B ? ,????7 分 2 3 3 1 sin A a 3 ? ? (Ⅱ)? ,又 sin A sin B ? ,解得: sin A ? , ,sin B ? sin B b 2 2 2 3 1 6 因为是锐角三角形,? cos A ? ,cos B ? , 2 3 3 2? 3 sin C ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B ? 6 1 1 3 2? 3 3 2? 3 ????14 分 S? ? ab sin C ? ? 3 ? 2 ? ? 2 2 6 2

(19)(Ⅰ)方法 1:连接 AC ? ABCD 是正方形,? H 是 AC 的中点,有 F 是 AE 的中点,

? FH 是?ACE的中位线 , ? FH ? CE, 而FH ? 面CDE,CE ? 面CED,从而FH ? 面CDE. ????6 分 方 法 2 : 取 AD 的 中 点 G , 通 过 证 明 面G F H? 面 C D,从而 (略 E F? H 面 CD E .) (Ⅱ)?面ABCE ? 面ABE,它们交线为AB,而DA ? AB, ? DA ? 面ABE , 作 FI ? AB 垂足为 I ,有 FI ? AD ,得 FI ? 面ABCD , D C

??FHI是直线FH与平面ABCD所成的角

FI=AFsin60? ? 3, ? tan ?FHI ?
当 IH ? BD时,IH取到最小值 从而 (tan ?FHI ) max ?

FI 3 ? . IH IH

H

5 2 2
A F B

?an ? 成等比, an ? a1t n?1 ,∵ a1 ? 2t ,故 an ? 2t n ????5 分 2 (Ⅱ)①∵数列 ?bn ? 为等比数列,∴ b2 ? b1b3
即数列
-4-

(20)解: (Ⅰ)由 (t ? 1)Sn

6 ????14 分 5

? t (an ? 2) ,及 (tE ?1)Sn?1 ? t (an?1 ? (第 2) ,作差得 an?1 ? tan , 19 题图 )

3 2 整理得 6t ? 2t ?1)2 ? (2t ?1)(2t ? 2t 2 ? 2t 3 ?1) 1 1 解得 t ? 或 t ? 0 (舍) 故 t ? 3 3 1 1 当 t ? 时, bn ? Sn ? 1 ? ? n 显然数列 ?bn ? 为等比数列????10 分 3 3

代入得 (2t ? 2t

2

② cn ? ? ?an ? ? log 3 ? ?bn ? ? ∴ Tn

2n 3n

2 4 6 2n 1 2 4 6 2n ? 2 ? 3 ? ? ? n 则 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 作差得 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2n 1 2n 2n ? 3 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n?1 ? 1 ? n ? n?1 ? 1 ? n?1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2n ? 3 故 Tn ? ? ????15 分 2 2 ? 3n ?
? ? 3? ? ? m 1? 时, a ? ? ? ? 2, ? 2 ? ? , b ? ? m, ? ? 12 2? ? ? 2 4? ? ? 3 ?? m 1 ? ? 由? a ? b, ? ? ? ? 2 ? m ? ? ? 2 ? ?? ? ? ? 0 2 ?? 2 4 ? ? 5 3 ?m 1? 整理得:方程 ? ? ? ? 2 ? m? ? m ? ? 0 对一切 ? ? R 均有解. 4 8 ? 2 4? 1 当 m ? ? 时,得 ? ? ?2 ,符合; 2 1 3? 3 1 3 ? 2m ? 1 ?? 5 当 m ? ? 时, ? ? m2 ? 4 ? m ? ? ? ? m2 ? m ? ? 0 ?? 2 8? 2 2 8 ? 4 ?? 4
(21)解: (Ⅰ) ? ?

?

1 10 1 10 1 ? ?m?? ? , 且m ? ? 6 6 6 6 2 1 10 1 10 综上: ? ? ????7 分 ?m?? ? 6 6 6 6 ? +2=2m ? ? (Ⅱ)由题意只需 ? 2 由 ? ? 2m ? 2 消去 ? 得: ? ?? ? 3 cos 2? ? m ? sin 2? ? 2 ? 2m ? 2 ? ? m ? sin 2? ? 3 cos 2? ,? 4m2 ? 9m ? 4 ? 2sin(2? ? ) ? ? ?2, 2? , 3 2 ? 4m ? 9m ? 4 ? 2 1 解不等式组 ? 2 ,得: ? m ? 2 4 ?4m ? 9m ? 4 ? ?2
解得: ?

?

2m ? 2 2 ? 2 ? ? ? ?6,1? ????14 分 m m m (22)解: (Ⅰ) x ? 1 ????3 分 ?
(Ⅱ)当 f ? x ? ? ?
2 ? ?? x ? ax ? 1 2 ? ? x ? ax ? 1

?

? x ? a ? ,作出示意图,注意到几个关键点的值: ? x ? a?

-5-

a a2 f ( x) ? 2 f (0) ? f (a)=1, f ( ) ? 1 ? , 最大值在 f (1), f ? 2? , f ? a ? 中取. 2 4 当 0 ? a ? 1时, f ? x ? 在?1,2?上递减,故f ? x ?max ? f ?1? ? a ;

当 1 ? a ? 2时, f ? x ? 在?1, a?上递增, ?a,2?上递减,故f ? x?max ? f ? a ? ? 1 ;

a ? a? ?a ? 当2 ? a ? 3时, f ? x ? 在 ?1, ? 上递减, , 2 上递增,且 x= 是函数的对称轴, ? 2 ? 2? ?2 ? ? a? ?a ? ? 由于 ? 2 ? ? ? ? ? 1? ? 3 ? a ? 0, 表明:f ? x ?max ? f ? 2 ? ? 5 ? 2a 2? ?2 ? ? (0 ? a ? 1) ?a ? (1 ? a ? 2) ????9 分 综上: f ? x ? ? ? 1 ?5 ? 2a (2 ? a ? 3) ?

(Ⅲ)? 当x ? ? 0, ??? 时, f ( x)max ? 1 ,故问题只需在给定区间内 f ? x ? ? ?2恒成立 ,

a a2 由 f ( ) ? 1? ,分两种情况讨论: 2 4 a2 ? ?2 时, M ? a ? 是方程 x2 ? ax ? 1 ? ?2 的较小根 当1 ? 4

a ? a 2 ? 12 6 即 a ? 2 3 时, M ? a ? ? ? ? 0, 3 ? ? 2 2 a ? a ? 12 a2 ? ?2 时, M ? a ? 是方程 ? x2 ? ax ? 1 ? ?2 的较大根 当1 ? 4 a ? a 2 ? 12 即 0 ? a ? 2 3 时, M ? a ? ? ? 3, 3 ? 6 2 ? a ? a 2 ? 12 a?2 3 ? ? 2 综上 M ? a ? ? ? , 且M ? a ? ? 0, 3 ? 6 . ????15 分 2 ? a ? a ? 12 0?a?2 3 ? ? 2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

-6-


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