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辽宁省沈阳二中2014-2015学年高二数学下学期期中试题 理


沈阳二中 2014-2015 学年度下学期期中考试 高二(16 届)数学试题(理科)
说明:1.测试时间:120 分钟 总分:150 分

2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上. 第Ⅰ卷 (60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要

求的.

1.“金导电、银导电、铜导电、铁导电、锡导电,金、银、铜、铁、锡都是金属,所以一 切金属都导电”.此推理方法是( A.完全归纳推理 ) C.类比推理 D.演绎推理

B.归纳推理

2.有一段演绎推理: “直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 a ? 平面 ? ,直 线 b ∥平面 ? ,则 b ∥ a ”的结论显然是错误的,这是因为( A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 ) D.非以上错误

3.命题“关于 x 的方程 ax=b(a≠0)的解是存在且唯一的”的结论的否定是( A.无解 B.两解 C.至少两解 D.无解或至少两解



4.若 ( x2 ?1) ? ( x2 ? 3x ? 2)i 是纯虚数,则实数 x 的值是( A. 1 B. ?1 C. ?1 D. 以上都不对



5.一个物体的运动方程为 s ? 1 ? 2t ? 2t 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在 3 秒
2

末的瞬时速度是( A. 9 米/秒

) B. 10 米/秒 C. 12 米/秒 D. 13 米/秒 )

6.曲线 y ? cos x ? 0 ≤ x ≤ A. 4 B. 2

? ?

3π ? ? 与 x 轴所围图形的面积为( 2 ?
C.

5 2

D. 3 )
1

7.函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,则导函数 y ? f ?( x) 的图象可能是(

1 1 1 * 8.利用数学归纳法证明不等式 1+ + +? n <f(n) (n≥2,n∈N )的过程中,由 n=k 2 3 2 -1 变到 n=k+1 时,左边增加了( A.1 项 B.k 项 ) C.2
k-1



D.2 项

k

9.已知 a ? 1? 7, b ? 3 ? 5, c ? 4 则 a,b,c 的大小关系为( A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a

) D.b>c>a

1 1 1 10. 已知 a>0,b>0, a、b 的等差中项为 ,且 M=a+ ,N=b+ ,则 M+N 的最小值为( 2 a b A.3 B.4 C.5 D.6

)

2 11.设复数 Z ? lg m ? 1 ? 1 ? m i , Z 在复平面内的对应点(

?

?

)

A.一定不在一、二象限 C.一定不在三、四象限

B.一定不在二、三象限 D.一定不在二、三、四象限

12.已知函数 y ? f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时,不等式 f ( x ) ? xf ?( x ) ? 0 成 立, 若 a ? 30.3 f (30.3 ) , b ? (log? 3) f (log? 3) , c ? (log 3 ) f (log 3 ) ,则 a, b, c 的大 小关系( ) a ? b ? c A. B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. a ? c ? b

1 9

1 9

第Ⅱ卷

(90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.

13.已知函数 f ( x) ? 2ln 3x ? 8x ,则 lim 14.已知 x ?

?x ?0

1 ? ?1 ? x ? C ? ,则 x 2015 ? 2015 的值为________. x x

f (1 ? 2?x) ? f (1) 的值等于 ?x 1



2

15. 已 知 函 数 f ( x ) ?

1 3 7 x ? a 2x 2 ? ax ? b , 当 x ? ?1 时 函 数 f ( x) 的 极 值 为 ? ,则 3 12


f ( 2 )?

16.设 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) ( a, b, c 是两两不等的常数 ),则 的值是 .

a b c ? ? f ?(a ) f ?(b) f ?(c)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分 12 分) 己知函数 f ( x ) ? 2sin x cos (1)求 ? 的值; (2)在△ABC 中,a、b、c 分别是 A、B、C 的对边,已知 a ? 1 , b ? 角 C. 18. (本小题满分 12 分) 如图,直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面是菱形,侧面是正方形, ?DAB ? 60 , E 是
0
2

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

2 , f ( A) ?

3 ,求 2

棱 CB 的延长线上一点,经过点 A 、 C1 、 E 的平面交棱 BB1 于点 F , B1 F ? 2BF . (1)求证:平面 AC1 E ? 平面 BCC1 B1 ; (2)求二面角 E ? AC1 ? C 的余弦值.

D1

C1 B1

A1

D
19. (本小题满分 12 分) 平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

F

C
B E

A
图4

x2 y2 6 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 ,焦点为 F1 、 2 a b 3

F2 ,直线 l : x ? y ? 2 ? 0 经过焦点 F2 ,并与 C 相交于 A、B 两点.
⑴求 C 的方程; ⑵在 C 上是否存在 C、D 两点,满足 CD ∥ AB , FC ? F1D ,若存在,求直线 CD 的方程; 1

3

若不存在,说明理由. 20. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? , ?bn ? 满足 a1 ? (1)求 b1 , b2 , b3 , b4 ; (2)设 cn ?

1 bn . , an ? bn ? 1, bn?1 ? 4 (1 ? an )(1 ? an )

1 ,证明数列 ?cn ? 是等差数列; bn ? 1

(3)设 Sn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? ... ? anan?1 ,不等式 4aSn ? bn 恒成立时,求实数 a 的取值 范围. 21. (本小题满分 12 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x ) ?

1 2 3 2 a x ? ax 2 ? , g ( x ) ? ?ax ? 1, x ? R. 3 3

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在点(1, f (1) )的切线方程; (2)求函数 f ( x ) 在[-1,1]的极值; (3) 若在 ? 0 ,

? ?

1? ? 上至少存在一个实数 x0 ,使 f ( x0 ) ? g( x0 ) 成立,求正实数 a 的取值范围. 2?

请考生在第 22,23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清 题号,每小题满分 10 分.

22. (选修 4-4;坐标系与参数方程)已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程;

?
6



(2)设 l 与圆 x ? y ? 4 相交与两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积.
2 2

23.(选修 4-5;不等式选讲)若 5 ? x ? 7 x ? 1 与不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 同解,
2

x ? a ? x ? b ? k 的解集为空集,求 k 的取值范围.

4

沈阳二中 2014-2015 学年度下学期期中考试 高二(16 届)数学试题(理科)答案 一.选择题 1 B 2 A 3 D 13. -20 4 A 5 B 14. -1 6 D 15. 5
3

7 D 16. 0

8 D

9 C

10 C

11 C

12 C

二.填空题 三.解答题

17(Ⅰ) f ( x ) ? 2sin x ?

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x ? sin( x ? ? ) ????????????3 分
因为 f ( x ) 在 x ? π 处取得最小值,所以 sin( x ? ? ) ? ?1 ,故 sin ? ? 1 , 又 0 ? ? ? π 所以 ? ?

π ?????6 分 2 π 2

(Ⅱ)由(1)知 f (x) ?sin( x ? ) ? cos x ,因为 f ( A) ? cos A ? 所 以 A?

3 ,且 A 为 ? ABC 内角, 2

b sin A 2 π π 3π π ? 由 正 弦 定 理 得 sin B ? ,所以 B? 或 B? .当 B? 时 a 2 6 4 4 4 7π 3π π ,当 B ? 时C ? π ? A? B ? . C ? ? ? A? B ? 12 4 12 7π π 综上, C ? ??????????????????????12 分 或C ? 12 12 18.设四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 a ∵ B1 F ? 2BF , ?B1C1 F ∽ ?BEF ,
∴ BE ? ∵ CE ?

a 3a 0 0 由 ?DAB ? 60 ? ?ABE , ?ABC ? 120 ,得 AE ? , AC ? 3a 2 2 3a 2 2 2 ,∴ AE ? CE ? AC , AE ? CE ???????2 分 2

ABCD ? A1 B1C1 D1 是直四棱柱, C1C ? ABCD,又 AE ? ABCD ,∴ C1C ? AE ,
∵ CE ? CC1 ? C ,∴ AE ? 平面 BCC1 B1 ???????4 分 ∵ AE ? 平面 AC1 E ,∴平面 AC1 E ? 平面 BCC1 B1 ???????6 分 ⑵(法一)过 C 作 CG ? AC1 于 G , CH ? C1 F 于 H ,连接 GH 由平面 AC1 E ? 平面

BCC1 B1 ,平面 AC1 E ? 平面 BCC1 B1 ? C1 E , CH ? 平面 AC1 E ??7 分
∴ CH ? AC1 ,又 CG ? AC1 , CG ? CH ? C ,∴ AC1 ? 平面 CGH , AC1 ? GH ,

?CGH 是二面角 E ? AC1 ? C 的平面角??9 分
5

在 Rt?ACC1 中, AC ?

3a , CC1 ? a , AC1 ? 2a , CG ?

3 a ,在 Rt?ECC1 中, 2

CE ?

3 13 3 13 3 3 13 a , CC1 ? a , EC1 ? a , CH ? a ( CG ? a 、 CH ? a求 2 2 13 2 13

得任何一个给 2 分,两个全对给 3 分) GH ?

CG 2 ? CH 2 ?

39 a, 26

cos?CGH ?

GH 13 ??12 分 ? CG 13

(法二)以 E 为原点, EC 、 EA 所在直线为 x 轴、 y 轴,平行于 BB1 的直线 EE1 为 z 轴建 立空间直角坐标系则 E (0 , 0 , 0) , A(0 ,

3 3 a , 0) , C1 ( a , 0 , a) ,设平面 EAC 1 的一 2 2

? 3 n ? EA ? aq ? 0 ? ?q ? 0 ? 2 个 法 向 量 为 n ? ( p , q , r) , 则 ? ,即 ? ,不妨取 ?3 p ? 2r ? 0 ?n ? EC ? 3 ap ? ar ? 0 1 ? 2 ? ?? ? n ? (?2 , 0 , 3) ???????9 分
由⑴知 B ( a , 0 , 0) , D(a ,

1 2

3 a , 0) ,平面 BCC1 B1 的一个法向量为 2

1 3 n1 ? BD ? ( a , a , 0) ??10 分 2 2

?? ?? ? | n1 ? n | 13 ? ? 二面角 E ? AC1 ? C 的平面角的余弦值 cos? ? ?? ?? ??12 分 | n1 | ? | n | 13
19.⑴依题意 F2 (2 , 0) , c ? 2 ??2 分,由 e ?

c 6 得 a ? 6 ???????3 分 ? a 3

x2 y2 ? 1 ???????4 分 b ? a ? c ? 2 ,椭圆的方程为 ? 6 2
2 2

⑵(方法一)若存在满足条件的直线 CD ,∵ CD / / AB ,∴ kCD ? k AB ? ?1, 设直线 CD 的方程为 y ? ? x ? m ???????5 分

? x2 y2 ?1 ? ? 2 2 由? 6 ??6 分,得 4 x ? 6mx ? (3m ? 6) ? 0 ,???????7 分 2 ? ? y ? ?x ? m

? ? (?6m)2 ? 4 ? 4 ? (3m2 ? 6) ? 96 ? 12m2 ? 0 (*)???????8 分
6

设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 若线段 CD 的中点为 E ,则 E (

3m 3m2 ? 6 , x1 x2 ? ???????9 分 2 4

3m m x1 ? x2 y ? y2 , ) , 1 ) 即 E( 4 4 2 2

由已知 FC ? F1D ,则 FE ?CD ,k F1E ? ? 1 1

1 ? 1 ,F1 (?2 , 0) ,由 k F1E kCD

m ? 4 ? 1, 3m ?2 4

解得 m ? ?4 ???????10 分

m ? ?4 时, 96 ? 12m2 ? ?96 ? 0 ,与(*)矛盾,∴不存在满足条件的直线 CD ??12 分
( 方 法 二 ) 假 设 存 在 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) , 线 段 CD 的 中 点 为 E ( x0 , y0 ) , 则

? x12 y12 ? ?1 ? x ? x2 y ? y 2 y1 ? y2 ? 6 2 x0 ? 1 , y0 = 1 , 两式相减得 ? ?1 由 ? 2 2 2 2 x1 ? x2 ? x2 ? y 2 ? 1 ? 2 ? 6
1 1 1 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 代入、化简得: x0 ? y0 ? 0 ① 6 2 3
由已知 FC ? F1D ,则 FE ?CD ,k F1E ? ? 1 1 由①②解得 x0 ? ?3,

1 y0 ? 1 由 k F1E ? ? 1得, y0 ? x0 ? 2 ② kCD x0 ? 2

1) 直线 CD 的方程为: y ? ?( x ? 4) ???10 分 y0 ? ?1,即 E (?3, ?

? x2 y2 ?1 ? ? 2 2 4? 4? 4? 4 2 ??9 6 ?0 联立 ? 6 得 4 x ? 24 x ? 42 ? 0 , ∵ ?? 2 2 ? ? y ? ?x ? 4
∴不存在满足条件的直线 CD ???????12 分 20.解: (1) bn ?1 ?

, 方程组无解,

?1 ? an ??1 ? an ?
?

bn

?
1

3 4 5 6 bn 1 ∴ b1 ? , b2 ? , b3 ? , b4 ? ?3 分 ? 4 5 6 7 bn ? 2 ? bn ? 2 ? bn

(2)

1 ? bn ?1 ? 1 bn ? 1

1

1 2 ? bn

1 ? ?1 b ? 1 n ?1 ?

∴数列 ?cn ? 是以-4 为首项,-1 为公差的等差数列.且 cn ? ?n ? 3 ?????6 分. (Ⅲ)由于 cn ?

n?2 1 1 ? ?n ? 3 ,所以 bn ? ,从而 an ? 1 ? bn ? ; n?3 n?3 bn ? 1
7



Sn ? a1a2 ? a2a3 ? ??? ? an an ?1 ?

1 1 1 1 1 n ? ? ??? ? ? ? 4 ?5 5?6 (n ? 3)( n ? 4) 4 n ? 4 4( n ? 4)

∴ 4aSn ? bn ?

an n ? 2 (a ? 1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ?????9 分 ? ? n?4 n?3 (n ? 3)(n ? 4)

由条件可知 (a ? 1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? 0 恒成立,设 f (n) ? (a ?1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ; 当 a ? 1 时, f (n) ? ?3n ? 8 ? 0 恒成立;当 a ? 1 时,不可能恒成立, 当 a ? 1 时, 对称轴 n ? ?

3 a?2 3 1 ? ? ? (1 ? ) ? 0 , f (n) 在 (1, ??) 为单调递减函数. 2 a ?1 2 a ?1

f (1) ? (a ?1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? (a ?1) ? (3a ? 6) ? 8 ? 4a ?15 ? ?11 ? 0 ;∴ a ? 1 时 4aSn ? bn 恒成立.综上所述: a ? 1 时, 4aSn ? bn 恒成立?????12 分
21

2 ? 1 即 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在(-1,0)上递增,在(0,1)上递减,则 f ( x) 的极大 a 2 2 值为 f (0) ? ,无极小值. 综上所述: 0 ? a ? 2 时,极大值为 f (0) ? ,无极小值; 3 3
②当

a ? 2 时 极大值为 f ? 0 ? ?

2 ,极小值是 3

? 2 ? 2a ? 4 ?????8 分 f ? ?? 3a ?a?

8

(Ⅲ)设 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ?

1 2 3 1 1? a x ? ax 2 ? ax ? , x ? ? ?0 , ?, 3 3 ? 2?

1? F ?( x ) ? a 2 x 2 ? 2ax ? a ? a 2 x 2 ? a (1 ? 2 x ) ,∵ x ? ? ?0 , ?, a ? 0 ? 2?
1? F ?( x) ? a2 x2 ? a(1 ? 2x) ? 0 ∴ F ( x ) 在区间 ? ? 0 , 上为增函数, ? ? 2?
则只需 F ( x) max

1 a 2 ? 6a ? 8 ? F( ) ? ? 0 ,即 a 2 ? 6a ? 8 ? 0 2 24

解得 a ? ?3 ? 17 或 a ? ?3 ? 17 (舍去) 则正实数 a 的取值范围是( ?3 ? 17 , ?? )?????12 分

? 3 x ? 1? t, ? ? 2 22.解: (1)直线的参数方程是 ? ?????4 分 (t是参数) ? y ? 1 ? 1 t; ? ? 2
(2)因为点 A,B 都在直线 l 上,所以可设它们对应的参数为 t1 和 t 2 ,则点 A,B 的坐标分别为

A(1 ?

3 1 3 1 t1 ,1 ? t1 ), B(1 ? t2 ,1 ? t2 ) ?????6 分 2 2 2 2

以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x 2 ? y 2 ? 4 整理得 t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 ①???8 分 因为 t1 和 t 2 是方程①的解,从而 t1t2 ? ?2 ,所以 PA ? PB ? t1t2 ? ?2 ? 2 ????10 分 23 解:不等式 5 ? x ? 7 x ? 1 的解集为 ? x ? 2 ? x ? ? ? ?????3 分 则由根与系数关系可得 a ? ?4, b ? ?9 ?????6 分 又知 x ? 4 ? x ? 9 ? ? x ? 4 ? ? ? x ? 9 ? ? 5 ,由题意可知 k ? 5 ?????10 分

? ?

1? 4?

9


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