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复数引入的教学设计思路


教 坛 弦 柱
学教学中使用现代信息技术手段 , 是一个存在 争议的问题 . 我们看到 , 新的课程标准中 , 提到 了对学生算法意识 , 算法能力和计算机解决数 学问题的能力的培养 . 所以 , 数学教学中适当地 引入计算机手段 , 特别是引进 , 编写数学软件并 利用计算机解决一些数学问题 , 是有必要的 . 3 . 课后反思 教师要不断对自己的数学教育行为加以反

思, , , 研究 总结 改进 , 不断充实自身的教学实践 并指导日常的教学 , 学习他人的成功经验并结 合自身实际和学生实际改进教学 ; 积极撰写论 文与心得 , 使自己的教学充满理性 , 教学思想不 断得到升化 . 4 . 发挥教研组 , 备课组的作用 教学过程不是个体行为 , 教学改革需要集 体的力量 . 倡导学生间的 "合作" "交流" 与 的前 提是教师间要有良好的 "合作" "交流" 应充 与 . 分发挥教研级 ( 备课组) 的力量 , 可以采用集体 备课 , 听课 , 说课等形式 , 老 , , 中 青教师之间通 过 "传 , , , 相互研讨 , 相互提高 . 教研活动 帮 带" 除了研究教材和教法之外 , 可以适当增加 "研究 学生" 的内容 , 关注学生在学习过程中的情感和 体验 , 以其有针对性地指导学生学习 , 提高教学 效果 . 5 . 师生之间的交流 要达到良好的教学效果 , 除了课堂上教师 与学生之间 , 学生与学生之间的有效交流之外 , 更应该将这种交流延伸到课堂之外 . 平等的交 流是赢得尊重的前提 . 在与老师的交流中 , 学生 的认知水平可以得到进一步的提升 ; 在与学生 交流中 , 老师的思维也会受到启迪 . 可能有些老 师担心 , 学生的思维很灵敏 , 思路广阔 , 可能会 碰到自己不能圆满解答的问题 . 实际上 , 由于接 触新知识的机会的增多 , 学生的思考可以很深 入 , 老师有时回答不了学生的问题是可以理解

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的 ; 反过来 , 我们也应教育学生 , 要理解老师 . 有 了这种理解 , 老师才会放手鼓励学生探索 , 遇到 问题 , 师生共同解决 , 共同提高 . 有了相互尊重 的基础 , 才能更有效的展开数学教学 .

四, 新课程标准实施过程中的几点困惑
1 . 青年老师的困惑 : 作为刚踏入教师岗位 的青年教师 , 他们积极向上 , 对工作充满了激 情 , 对事业充满了理想 , 想努力提高自己的业务 能力和教学水平 , 尽快地在教学岗位上做出成 绩 . 但由于教学经验的不足 , 不清楚课程改革的 历史和现状 , 教学方法还需进一步的丰富 . 在这 方面 , 管理者是否有义务对青年教师进行有针 对性 , 而不是泛泛的培训 , 使他们尽快适应中学 的教学 . 作为青年教师本人 , 应加强教学方法 , 教学管理的学习 , 学习切合中学实际的一些知 识和能力 , 从小处着手 , 踏踏实实做好日常的教 学工作及其教育科研工作 . 2 . 中老年老师的困惑 : 许多工作在教育第 一线的中老年教师具有几十年的教学经验 , 做 出了比较出色的成绩 , 他们经验丰富 , 思想稳 定 , 但面对新的课程改革 , 知识更新率的提高 , 很多人感觉有些力不从心 , 这方面的原因很多 : 诸如年龄较大 , 思维速度减慢, 健康情况堪忧, 教学压力较大 , 工作节奏加快等 . 如何充分挥中 老年教师的丰富的智力资源 , 总结他们宝贵的 教学经验 , 继承和发扬我国数学教育的优秀传 统 , 已经是刻不容缓的事 . 在教育改革的新形势下 , 教师的进修是必 要的 , 进修内容是否应由学校的校长和行政领 导根据学校的具体需要来制定 , 结合学生和学 校, 老师的实际来制定呢 ? 这样既不浪费宝贵 的人力 , 智力资源 , 又能使老师们专心研究二期 课改的精神 , 投身到二期课改的实践中 , 发挥自 己的聪明才智 , 培养更多更好的创新人才 .

复数引入的教学设计思路
200093 上海市控江中学 许 敏
在复数的第一节课教学中 , 一般的做法是 : 简单地介绍一下自然数 , 有理数 , 实数的知识 , 然后提出负数需开方的问题 , 进而引入复数概 念 . 课上的时间大都花在复数的一般形式介绍 , 以及虚数 , 实数的判断上 . 其实 , 这种教学设计 会失去一次向学生介绍数的产生发展过程的机 会 . 因此 , 笔者在教学中 , 把实数发展过程作为 重点 , 通过实数的回顾 , 整理 , 完善学生的实数

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上海中学数学 · 2005 年第 4 期
这里引入了记号
1 2 , , 表示 1 ÷ 和 2 ÷ 2 3 2 3

知识 . 下面是我在复数引入课中的教学过程设 计.

一, 回顾实数
今天我们来了解数的产生和发展 . 数是数学的基础 . 我们从小学开始 , 学了不 少的数的知识 . 那么 , 同学们对数有何了解呢 ? 比如 :自然数的历史是怎样的 ? 无理数又是如 何产生的 ? 在历史上 , 数是如何一步一步地得 到扩展的 ? 提问 :自然数是如何产生的 ? ( 学生一般回答由计数 ( 数数) 产生) 自然数 , 也叫做正整数 , 就是大家所熟知的 1 , 2 , 3 , …n , …. 它的形成和我们对它性质的认 识都源于经验 . 象篮球队员的号码只是记号 , 是某些自然 数的借用 , 它们不能用来作运算 , 如 : 33 号是否 等于 11 号加 22 号 ? 而另一个例子 :到银行去存钱 , 两个月分别 存 1 万元 , 2 万元 , 两个月总共存了 1 + 2 = 3 万 元 . 这个例子中的数就是自然数的意义 . 人们最初只是造了一个一个孤立的数 , 后 来 , 用每次加 ( 添) 上一个元素 ( 数) 的方法 , 把数 排成一个队伍 ( 数列) , 形成自然数 1 , 2 , 3 , …, n , …. 对于一个数集 , 如果其中任意两个数在进 行一种运算后 , 结果仍在这个数集中 , 那么我们 说这个数集对于这种运算是封闭的 . 自然数对加法 , 乘法封闭 . 提问 : 自然数对减法, 法 封 闭 吗 ? 为 什 除 么? ( 学生一般回答不封闭 , 如 4 - 6 , 7 ÷ 两个 3 ) 结果都不能用自然数表示 . 在生产实践中 , 人们往往需要测量具有相 反意义的量 , 例如 , 4 - 6 可能表示今天到银行存 4 万元 , 明天去银行支取 ( 借) 6 万元 ; 7 ÷ 可能 3 表示 7 个苹果三个小朋友分 . 由减法产生负整数 , 并进而产生了数零 . 事实上 , 负数与零是很晚才被人们真正认 识的 . 由除法 ( 即分) 产生分数
m ( m ∈Z , n ∈N) , n

的结果 . 提问 : 加 , , , 减 乘 除这四种运算对有理数集 封闭吗 ? ( 学生一般回答从整数集扩展到有理数集 后 , 对加 , , , 减 乘 除这四种运算是封闭的 . 除数 为零 , 是没有意义的 . ) 追问 :为什么没有意义 ? ( 学生一般难以回答) 古希腊人用线段表示正有理数 . 有一段时 间他们认为一切对象由整数组成 ( 分数可以看 作是两个整数的比) . 但事实上 , 这样的想法在 实践中遇到了困难 . 提问 : 正有理数可以用线段长表示 , 反过 来 , 线段长是否一定可以用有理数表示呢 ? ( 学生一般回答不能 , 如两边长为 1 的直角 三角形的斜边)
x =1 +1 =2,
2 2 2

我们把满足条件的线段长 x 记作 2 , 2 =
1 . 4 …, 它能否开尽 ( 有限小数) ?

提问 :你是如何认识 2 的 ? 它是一个有理 数吗 ? 为什么不是 ? ( 学生一般回答含糊 , 这里可引导学生完成 下面的证明 . ) 一个在数学史上很重要的证明 : 证明 2 不 是有理数 . 用反证法 : 假设 2 是个有理数 , 设为
2

p ,其 q

中 p , q 是非零整数 , 且 p , q 互质 , 所以 p , q 中有 一个是奇数 , 因
p 2 2 2 = 2 , 即 p = 2 q , 所以 p 是偶 q

数 , q 是奇数 , 设 p = 2 n , 代入 p2 = 2 q2 , 得 2 n2 =
q , 由此 q 成了偶数 , 矛盾 . 所以 2 不是有理数 .
2

并把分数 ( 含整数) 称为有理数 . 我们知道 :1 ÷ = 2
1 2 ;2 ÷ = . 3 2 3

即{ x| x 2 = 2 , x ∈Q} = , 2 因不能用整数 表示 , 最初人们不承认它是一个数 , 但它是存在 的 . 后来 , 人们引入了一些新的概念 , 经过实践 和研究 , 引进了新的数 , 称为无理数 . 这样 , 人们承认 2 是一个数了 , 历史上诞生 在公元前的古希腊 .

教 坛 弦 柱
2 作为一个数的记号 . 将满足 x = 2 且 "
2

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x≥" 0 的数 x 记作 2 .

无理数是无限不循环小数 , 有理数是有限 小数或无限循不小数 . 由于有理数都可以表示成有限小数或循环 小数 , 所以无限不循环小数不是有理数 , 就称它 为无理数了 . 有理数集加入全体无理数后 , 扩展成了实 数集 . 在数集从整数集扩展到实数集后 , 除了对 四则运算加减乘除封闭外 , 正数能进行开方运 算 , 但负数呢 ? 我们先来看两个解方程的例子 . 例 :请分别在我们学过的整数集, 有理数 集, 实数集中解下列方程 .
( 1) 3 x + 5 = 1 ; ( 2 ) x2 = 4 ; ( 3 ) x2 = 2 ; ( 4) x 2 = - 1 . ( 学生一般都能回答 : ( 1) 无解 , -

引入新数 : 引入新数 i , 称为虚数单位 , 它具有性质 i2 = - 1 , 并且可与实数按多项式的四则运算法则 进行四则运算 . 对于实数 b( b ≠ ) 与虚数单位 i 相乘 , 得 bi , 0 bi 与 a 相加 , 得到 a + bi 形式的数 , 这是以前所 没有的 . 关于虚数单位 i 的乘方 i n ( n ∈N) 有 1 2 3 2 4 3 i = i , i = - 1 , i = i ·i = - i , i = i ·i = - i ·i = 1 , 因此 , 有 4n 4n+ 1 4n+ 2 4n+ 3 i =1,i = i, i = - 1,i = - i( n ∈
N) ,

4 4 ,; ( 2) ± , ± , ± ; ( 3 ) 2 2 2 3 3

无解 , 无解 , ± 2 ; ( 4) 无解 , 无解 ; 无解 . ) 例 :解关于 x 的方程 ax2 + bx + x = 0 ( a ≠ ) . 0 ( 学生一般都能回答 :
x1 ,2 =

- b ± b - 4 ac 2 ( b - 4 ac ≥ ) ) 0 2a
2

这个公式的形式是非常有意义的 , 式子中 有我们初中所学的六种代数运算 , 加 , , , 减 乘 除, , . 乘方 开方 提问 : b2 - 4 ac ≥ 是怎么来的 ? 当 b2 - 4 ac 0 < 0 时呢 ? ( 学生一般都能回答 :当 b2 - 4 ac ≥ 有实数 0 解 , 当 b2 - 4 ac < 0 时没有实数解 . ) 是的 , 历史上 , 对于 x 的二次方程 , 当判别 式 b2 - 4 ac < 0 时 , 认为没有解 , 可以不去解 , 以 前也确实这么做的 . 到了后来 , 数学家发现 , 不仅在推导三次方 程求根公式时 , 要用到负数开平方的运算 , 即使 是解某些有三个实数根的三次方程在用到求根 公式时 , 也要用到负数开平方 . 于是 , 慢慢地 , 产 生了负数开方的做法 , 即认识到负数开平方有 意义 , 是能够运算的 .

二, 引入新数
方程求解启发了新数 , 这样的新数是为了 使负数能进行开平方运算 .

即虚数单位 i 的乘方结果只为 ± 或 ±i. 1 以后我们可以知道 , 将形式为 a + bi ( a , b ∈ R) 的数 , 进行加减乘除四则运算 , 经过合并整 理 , 其结果仍是这种形式 , 为实数集添加虚数单 位 i ( i2 = - 1) 后进行多项式四则运算的结果的 最简单最基本的形式 . 所以我们称形式 z = a + bi ( a , ∈R) 为复 b 数 , 且为复数的一般形式 , 其中 a , b 分别叫做复 数 z = a + bi 的实部与虚部 , 并且用 Re z 与 Im z 表示 . 复数的全体叫做复数集 , 用字母 C 表示 . 复数集是实数集的扩展 , 在扩展中引入一 个新数 i"即虚数单位 . " , 实数 a 成为复数 a + bi 在 b = 0 时的特殊情 况 , 因此 R < C. 虚部不为 0 的复数叫做虚数 , 实部为 0 的 虚数叫做纯虚数 . 实际上 , 在实数集里添加了虚数单位 i 后 , 实数集扩展为复数集 , 复数集里具有两个单位 量 , 一个是实数单位 1 , 另一个是虚数单位 i , 有 关实数的 , 都归并到实部 a , 有关纯虚数的 , 都归 并到虚部 b, 所以它一般表示为 a + bi ( a , ∈R) b 的形式 . 三, 课余练习 : 阅读课本的相应内容 , 完成 习题册相应练习 ( 略) 教学设计说明 :作为复数的第一节课 , 没有 把重点放在复数的介绍 , 而是和学生一起重点 回顾学习了初中所学的实数发展过程 , 介绍了 数集扩展的需要和可能 , 突出了数的本质在于 运算 . 我们在教学中 , 把数学史上好的数学发展 例子介绍学生 , 对学生提高数学修养 , 有很多好 处.

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