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平面向量与三角形交汇


平面向量与三角形交汇试题
平面向量是高中数学的一个重要概念和工具,.由于向量具有几何形式与代数形式的双 重身份,与代数、几何都有着密切的联系,近几年的高考中加强了平面向量在平面几何中的 应用,特别是与三角形有关的试题频繁出现在高考试卷中.本资料从近几年高考试卷与模拟试 卷中精选出平面向量与三角形交汇的经典试题 55 例,供高三学生及教师参考.

一、

平面向量与三角形四心交汇 1.设 O 为△ABC 所在平面内一点若 A.外心 B.内心 C.垂心 , 则 O 为△ABC 的 ( D D.重心 )

??? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? 2.已知 O 是△ABC 所在平面上的一点, 若 PO ? ( PA ? PB ? PC ) (其中 P 为平面上 3 任意一点), 则 O 点是△ABC 的( C ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

3.设 O 为△ABC 所在平面内一点.当 OA 2+ OB 2+ OC 2 取得最小值时, O 是三角形

ABC 的( C ) A 内心 B 垂心 C 重心 D 外心

4.设 O 为△ABC 所在平面内一点.若 OA ? OB = OB ? OC = OC ? OA ,则 O 是三 角形 ABC 的( B )

A 内心

B 垂心

C 重心

D 外心

5.设 O 为△ABC 所在平面内一点.若 OA 2+ BC 2= OB 2+ CA 2= OC 2+ AB 2.则 O 是 三角形 ABC 的( B )

A 内心

B 垂心

C 重心

D 外心

6.设 O 为△ABC 所在平面内一点.若 ( OA + OB ) ? BA = ( OB + OC ) ? CB = ( OC + OA )?
AC ,则 O 是三角形 ABC 的( D )

A 内心

B 垂心

C 重心

D 外心

??? ? ??? ? ??? ? 7.已知 O 是△ABC 所在平面上的一点,若 aOA ? bOB ? cOC = 0,则 O 点是△ABC

的(

B ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? 解 : ∵ OB ? OA ? AB , OC ? OA ? AC , 则 (a ? b ? c)OA ? b AB ? c AC = 0 , 得
???? AO ? ??? ? ???? ??? ? ???? ???? ??? ? AB AC bc AB AC ? 与 ???? 分别为 AB 和 AC 方向上的单 ? ? ???? ) . 因为 ??? ( ??? a ? b ? c | AB | | AC | | AB | | AC |

??? ? ???? ??? ? ???? ??? ??? ? ? AB AC ? ? ???? ,则 AP 平分∠BAC. 又 AO 、 AP 共线,知 AO 平分 位向量,设 AP ? ??? | AB | | AC |

∠BAC. 同理可证 BO 平分∠ABC,CO 平分∠ACB,所以 O 点是△ABC 的内心. 8.设 P 为△ABC 所在平面内的动点.若 AP = ? ( AB + AC )( ? ≥0),则点 P 轨迹经 过△ABC 的( C A 内心 )

B 垂心

C 重心

D 外心
1 BC )( ? ≥0),则点 P 轨迹经 2

9.设 P 为△ABC 所在平面内的动点. AP = ? ( AB +

过△ABC 的(C ) A 内心 B 垂心 C 重心 D 外心 10.已知 O 是平面上的一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 ??? ? ???? ??? ? ??? ? AB AC ? OP ? OA ? ? ( ??? ? ???? ) , ? ? [0, ??) , 则动点 P 的轨迹一定通过△ABC | AB | sin B | AC | sin C 的( A ) A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 11.已知 O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 ??? ? ???? ??? ? ??? ? ? AB AC ? ? ? ???? ? , ? ? [0, ??) . 则 P 点的轨迹一定通过△ABC 的 OP ? OA ? ? ? ??? ? | AB | | AC | ? A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

12. O 是平面上一定点, A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足
OP ? OA ? ? ( AB AB cos B ? AC AC cosC

则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC ) ,? ? ?0,?? ? ,

的(

B.内心 C.重心 ??? ? ???? ??? ? AB AC ? ? ???? ), 解:由已知得 AP ? ? ( ??? | AB | cos B | AC | cos C
??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? BC AC ? BC ? ? ???? ) ∴ AP ? BC ? ? ( ??? | AB | cos B | AC | cos C

) A.外心

D.垂心

??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? | AB | ? | BC | cos(? ? B) | AC | ? | BC | cos C ??? ? ???? = ?( ? ) = ? (? | BC | ? | BC |) = 0, | AB | cos B | AC | cos C

??? ? ??? ? ∴ AP ? BC ,即 AP⊥BC,所以动点 P 的轨迹通过△ABC 的垂心,选 B.

13.已知 O 是平面上的一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? OB ? OC AB AC ? OP ? ? ? ( ??? ? ???? ) , ? ? [0, ??) , 则动点 P 的轨迹一 2 | AB | cos B | AC | cos C

定通过△ABC 的( A. 重心

) D. 内心

B. 垂心 C. 外心 ??? ? ???? OB ? OC ???? 解:设 BC 的中点为 D,则 ? OD , 2 ??? ? ???? ??? ? AB AC ? ? ???? ), 则由已知得 DP ? ? ( ??? | AB | cos B | AC | cos C ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? BC AC ? BC ? ? ???? ) ∴ DP ? BC ? ? ( ??? | AB | cos B | AC | ? cos C

??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? | AB | ? | BC | cos(? ? B) | AC | ? | BC | cos C ??? ? ???? = ?( ? ) = ? (? | BC | ? | BC |) = 0 . | AB | cos B | AC | cos C

∴DP⊥BC,P 点在 BC 的垂直平分线上,故动点 P 的轨迹通过△ABC 的外心. 选C .
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? AB ??? ? BA CB CA ? ) 14. 三 个 不 共 线 的 向 量 OA, OB, OC 满 足 OA ? ( ??? ? ? ??? ? ) = OB ? ( ??? ? + ??? | AB | | CA | | BA | | CB |
??? ? ??? ? ???? BC CA ? ? ??? ? ) = 0,则 O 点是△ABC 的( = OC ? ( ??? | BC | | CA |

) C. 内心 D. 外心

??? ? ??? ? AB CA ? ? ??? ? 表示与△ABC 中∠A 的外角平分线共线的向量,由 解: ??? | AB | | CA | ??? ? ??? ? ??? ? AB CA ? ? ??? ? ) = 0 知 OA 垂直∠A 的外角平分线,因而 OA 是∠A 的平分线, OA ? ( ??? | AB | | CA |
同理,OB 和 OC 分别是∠B 和∠C 的平分线,故选 C . ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? aPA ? bPB ? cPC 15.已知 O 是△ABC 所在平面上的一点, 若 PO ? (其中 P 是△ABC a?b?c 所在平面内任意一点),则 O 点是△ABC 的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? b AB ? c AC ??? ? ??? ? bPB ? cPC ? cPA ? bPA ??? 解:由已知得 PO ? PA ? = PA ? , a?b?c a?b?c ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ???? b AB ? c AC bc AB AC bc AB AC ? ? ???? ) , ( ??? ( ? )= ∴ AO ? = a ? b ? c | AB | | AC | a?b?c a?b?c c b 由上题结论知 O 点是△ABC 的内心. 故选 B. 16.已知 A,B,C 是平面上不共线上三点,动点 P 满足错误!未找到引用源。错

A. 垂心

B. 重心

误!未找到引用源。,则 P 的轨迹一定通过错误!未找到引用源。的(C)

A 内心

B 垂心

C 重心

D AB 边的中点

??? ? ??? ? ???? 17.已知点 G 是 ?ABC 的重心, 点 P 是 ?GBC 内一点, 若 AP ? ? AB ? ? AC , 则? ? ?

的取值范围是 ( )

2 3 B. ( ,1) C. (1, ) D. (1,2) 3 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? 18.两个非零向量 OA, OB 不共线,且 OP ? mOA, OQ ? nOB(m, n ? 0) ,直线 PQ 过 1 A. ( ,1) 2
?OAB 的重心,则 m,n 满足 ( ) 3 1 A. m ? n ? B. m ? 1, n ? 2 2

1 1 ? ?3 D.以上全不对 m n ???? ??? ? 19.O 是△ABC 外心,| OA |=1,且 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 ,则 OC ? AB 的值为(A)

C.

A. ?

1 5

B.

1 5

C. ?

6 5

D.

6 5

20.设 O 为为△ABC 的内心, 当 AB=AC=5 时, BC=6 时,





的值为

.

21.设点 G 是 ? ABC 的重心, GA ? 2 3, GB ? 2 2, GC ? 2 ,则 ? ABC 的面积是
6 2

22. 已 知 ?ABC 中 , G 是 重 心 , 三 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且
? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 56 aGA ? 4 0b G ? B 3 5 c G? C 0 ,则 ?B =__________. 60 ?

23.已知 O 是锐角 ?ABC 的外心,且 ?A ? ? ,若
m?

cos B cosC AB ? AC ? 2m AO ,则 sin C sin B

。 (用 ? 表示) sin ?

24.在△ ABC 中, AB ? BC ? 2 , AC ? 3 .设 O 是△ ABC 的内心,若 AO ? p AB ? q AC , 则 的值为
p q

3 . 2

25.在 Rt?ABC 中, ?C ? 90? , AC ? BC ? 2, D 是 ?ABC 内心,设 P 是⊙ D 外的 三角形 ABC 区域内的动点,若 CP ? ? CA ? ? CB ,则点 (? , ? ) 所在区域的面积为

1 1 ? ? 2 4

26. ?ABC 的 外 接 圆 的 圆 心 为 O , 两 条 边 上 的 高 的 交 点 为 H , ???? ??? ? ??? ? ???? OH ? m(OA ? OB ? OC ) ,则实数 m = . 27.设点 O 是 ?ABC 的外心, AB ? 2, AC ? 1, OA.BC =
28.O 是△ ABC 的外心且 3OA ? 4OB ? 5OC .则 ?C =_____. 解答:设△ ABC 外接圆半径为 R , 3OA ? 4OB ? 5OC 两边平方得



9 R 2 ? 24OA.OB ? 16 R 2 ? 25 R 2 , 3? 所以 OA.OB ? 0 ,优弧 AB ? , 2 由于 ?C 就是优弧 AB 所对圆周角, 3? ?C ? 所以 4 .

二、平面向量与三角形面积交汇 29. 点 O 在 ?ABC 内部且满足 OA ? 2OB ? 2OC ? 0 ,则 ?ABC 面积与凹四边形
ABOC 面积之比是(

C )
3 2

A.0

B.

C.

5 4

D.

4 3

30.点 O 为△ABC 内一点,且存在正数 ?1 , ?2 , ?3使?1 OA ? ?2 OB ? ?3 OC ? 0 ,设△ AOB,△AOC 的面积分别为 S1、S2,则 S1:S2=( C ) A.λ1:λ2 B.λ2:λ3 C.λ3:λ2 D.λ2:λ1 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 31.已知 P 是△ABC 所在平面上一点,满足 PA ? PB ? 2 PC ? 3 AB ,则△ABP 与△ ABC 的面积之比为

1: 2

. ,记△ABP、△BCP、△

32.已知 P 是△ABC 内一点,且满足

ACP 的面积依次为 S1,S2,S3,则 S1:S2:S3= .3:1:2 ??? ? ??? ? ???? ? 33.△ABC内接于以O为圆心半径为1的圆,且 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 ,则△ ABC 的面 积 S ? ___ .

6 5

2 1 34.已知P是△ABC内一点, 且满足→ AP= → AB+ → AC,△ABP的面积与△ ABC 的面之比 5 5 为_______

→ 2→ 1→ → 2→ 1→ 35.设 P、Q 为△ABC 内的两点,且AP= AB+ AC,AQ= AB+ AC,则△ABP 的面 5 5 3 4 积与△ABQ 的面积之比为________. 2 1 解析:根据题意,设→ AM= → AB,→ AN= → AC,则由平行四边形法则得→ AP=→ AM+→ AN,于 5 5

是 NP∥AB,所以

S△ABP S△ABC

|→ AN| 1 = = ,同理可得 → |AC| 5

S△ABQ S△ABC

1 = .故 4

S△ABP S△ABQ

4 = . 5

36. 在 ?ABC中,已知向量AB ? (cos18?, cos 72?), BC ? (2 cos 63?,2 cos 27?), 则?ABC 的面积等于 A.
2 2

( B.
2 4

A



C.

3 2
2

D. 2

三、平面向量与三角形形状交汇 37. 已知 ?ABC 三个顶点 A、B、C ,若 AB ? AB ? AC ? AB ? CB ? BC ? CA ,则

?ABC 为( C ) A.等腰三角形 C.直角三角形

B.等腰直角三角形 D.既非等腰又非直角三角形 A )

38.已知 ?ABC 三个顶点 A、B、C ,若 ( AB ? AC ).BC ? 0 ,则 ?ABC 为( A.等腰三角形 C.直角三角形

B.等腰直角三角形 D.既非等腰又非直角三角形 → → → → AB AC AB AC 1 → 39.已知非零向量→ AB与→ AC满足( + )· BC=0 且 · = , 则△ABC →| |AC →| →| |AC →| 2 |AB |AB 为( D ) A.三边均不相等的三角形 C.等腰非等边三角形 B.直角三角形 D.等边三角形

40.已知 O 为 ?ABC 内一点, 若对任意 k ? R , 有 | OA ? OB ? k BC |?| AC |, 则 ?ABC 一定是( A ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定

41. O 是 ?ABC 所在的平面内的一点,且满足( OB - OC ) · ( OB + OC -2 OA ) = 0,则 ?ABC 的形状一定为( C )

A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.斜三角形 42.已知 a, b, c 分别为△ABC 中∠A, ∠B, ∠C 的对边,G 为△ABC 的重心,且 ??? ? ??? ? ??? ? a ? GA ? b ? GB ? c ? GC = 0, 则△ABC 为( )

A. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形

B. 直角三角形 D. 等边三角形 ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? 解:∵G 是△ABC 的重心,∴ GA ? GB ? GC = 0, 又 a ? GA ? b ? GB ? c ? GC = 0,
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∴ aGA ? bGB ? c(GA ? GB) = 0, 即 (a ? c)GA ? (b ? c)GB = 0 .

??? ? ??? ? ∵ GA , GB 不共线,∴a – c = b – c = 0, 即 a = b = c.

∴△ABC 为等边三角形. 选 D. 四、平面向量与三角形最值交汇 43.在 ?ABC 中,O 为中线 AM 上一个动点,若 AM=2,则 OA ? (OB ? OC ) 的最小值 是________。 -2 44.已知 ?ABC 中, ?B ? 60? , O 为 ?ABC 的外心,若点 P 在 ?ABC 所在的平面上, ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? OP ? OA ? OB ? OC , 且 B P ? B? C8 , 则 边 AC 上 的 高 h 的 最 大 值 为 .2 3
BC ? 2 , 45.在 Rt?ABC 中,AC ? 2 , 已知点 P 是 ?ABC 内一点, 则 PC ? ( PA ? PB)

的最小值是( (A) ? 2

B

) (B) ? 1 (C) 0 (D) 1

46.已知等腰直角△ABC, ∠B=90°, AB=2, 点 M 是△ABC 内部或边界上一动点, → → N 是边 BC 的中点,则AN·AM的最大值为 ( C C.6 D.7 [解析] 如图,∵→ AN·→ AM=|→ AN|·|→ AM|·cos∠MAN= 5·|AQ|,显然当 M 与 C 重合时,|AQ|最大,∴当 M 点与 C 点重合时,→ AM·→ AN取得最大值 ) A.4 B.5

( 5)2+(2 2)2-1 3 10 ∵cos∠CAN= = 10 2× 5×2 2 ∴→ AC·→ AN=|→ AC||→ AN|=cos〈→ AC,→ AN〉 =2 2× 5× 3 10 =6.故选 C. 10

47.如图,△ ABC 中, AB ? 4 , AC = 8 , ?BAC ? 60 ? , 延长 CB 到 D ,使 BA ? BD ,当 E 点在线段 AD 上移动时,若 AE ? ? AB ? ? AC ,则 t ? ? ? ? 的最大值是 五、其它 .1 ?
2 3 3

D B E A C

48.已知 A、B、C 是平面上不共线的三点,O 是三角形 ABC 的重心,动点 P 满足 ??? ? 1 1 ??? ? 1 ??? ? ???? ( B ) OP ? ( OA ? OB ? 2OC ) 则点 P 一定为三角形 ABC 的 3 2 2 A.AB 边中线的中点 B.AB 边中线的三等分点(非重心) C.重心 D.AB 边的中点 ??? ? ??? ? ??? ? 49.设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2BP ,则( )
??? ? ??? ? ? A. PA ? PB ? 0 ??? ? ??? ? ? B. PC ? PA ? 0 ??? ? ??? ? ? C. PB ? PC ? 0 ??? ? ??? ? ??? ? ? D. PA ? PB ? PC ? 0

答案 B
??? ? ???? ? 50.在 ?ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足学 PA ? 2 PM ,则
??? ? ??? ? ??? ? PA ? ( PB ? PC ) 等于

( B.
4 3

)
4 9

A.

4 9

C. ?

4 3

D. ?

答案

A. ??? ? ???? ? 解析 由 AP ? 2PM 知, p 为 ?ABC 的重心,根据向量的加法,

??? ? ??? ? ???? ? ??? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ? ??? ? ??? ? 2 1 4 PB ? PC ? 2 PM 则 AP ? ( PB ? PC ) = 2 AP ? PM =2 AP PM cos0? ? 2 ? ? ?1 ? 3 3 9 ??? ? ??? ? ???? 51.已知 O 是 △ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 ,那

???? ???? A. AO ? OD ???? ???? C. AO ? 3OD

( ) ???? ???? B. AO ? 2OD
???? ???? D. 2 AO ? OD

答案



52.在△ABC 中, AR ? 2 RB, CP ? 2 PR, 若 AP ? m AB ? n AC, 则m ? n ?

(
2 3 8 C. 9 答案 B

)

A.

B

7 9

D.1

53.已知 Rt△ABC 的斜边 BC=5,则 AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB 的值等于 . 答案 -25
??? ? ??? ? ??? ? 如图,已知点 G 是△ABC 的重心,若 PQ 过△ABC 的重心,记 CA = a, CB = b, ??? ? ??? ? 1 1 CP = ma , CQ = nb , 则 ? =__________. C m n ??? ? 2 ???? ? 1 ? 1 ??? ? 1 1 ??? 解: CG ? CM = a + b = CP ? CQ , 3 3 3 3m 3n Q G P ∵P、G、Q 三点共线, 1 1 1 1 A M B ∴ ? ? 1 ,∴ ? = 3 . m n 3m 3n 54.在 △ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB , AC 于不同 ??? ? ???? ? ???? ???? 的两点 M ,N ,若 AB ? m AM , AC ? n AN ,则 m ? n 的值为 2 .

55.在直角 ?ABC 中, CD 是斜边 AB 上的高,则下列等式不成立的是( ???? 2 ???? ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ? (A) AC ? AC ? AB (B) BC ? BA ? BC ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ( AC ? AB) ? ( BA ? BC ) ??? ? 2 ???? ??? ? (C) AB ? AC ? CD (D) CD ? ??? ?2 AB

C




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