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3.3.1 函数的运算【杨高】


第三章 函数的基本性质

3.2.2 函数关系的建立

3.3.1 函数的运算

思考I 如果 y ? f ( x ), y ? g ( x ) 分别表示某班学号
为 x 的同学入学考试的语文成绩和数学成绩.

那么下列表达式分别是什么意思?
f (1) ? g (1) f (1

0) ? g (10) f (a ) ? g (a )

思考II

(1) f ( x ) ? x , x ? 1, g ( x ) ? x , x ? 3
(2) f ( x ) ?
x ? 2 , g ( x) ? 1 ? x

f ( x ) ? g ( x ) 分别是什么?

一、两个函数的和

一般地,已知两个函数
y ? f ( x ), x ? D1 , y ? g ( x ), x ? D 2 ,

设 D ? D1 ? D 2 , 若 D 不是空集, 那么把函数
y ? f ( x ) ? g ( x ), x ? D

叫做函数 y ? f ( x ), y ? g ( x ) 的和(和函数). 例 f ( x ) ? 2 x , x ? [ ? 1, ?? ), g ( x ) ? 3 x , x ? ( ?? ,1]

则 f ( x ) ? g ( x ) ? 5 x , x ? [ ? 1,1]

例1.判定下列两个函数是否可以求和,如果可以 求出它们的和函数

(1) f ( x ) ? x , g ( x ) ?

1 x

(2) f ( x ) ? x ? x ? 1, g ( x ) ? 2 x ? x ? 1 (3) f ( x ) ?
1 x , g ( x) ? 1 ?x

(4) f ( x ) ? 1 ? x 2 , g ( x ) ?

x ?1
2

例1.判定下列两个函数是否可以求和,如果可以 求出它们的和函数
x ? D f ? D g ? ( ?? , 0) ? (0, ?? ) 1 ? f ( x ) ? g ( x ) ? x ? , x ? ( ?? , 0) ? (0, ?? ) x

(1) f ( x ) ? x , g ( x ) ?

1

(2) f ( x ) ? x ? x ? 1, g ( x ) ? 2 x ? x ? 1
? D f ? D g ? [1, ?? )

? f ( x ) ? g ( x ) ? 3 x , x ? [1, ?? )

例1.判定下列两个函数是否可以求和,如果可以 求出它们的和函数 (3) f ( x ) ?
1 x , g ( x) ? 1 ?x

? D f ? (0, ?? ), D g ? ( ?? , 0) ? D f ? D g ? ?

? f ( x ) ? g ( x ) 无意义

(4) f ( x ) ? 1 ? x 2 , g ( x ) ?
? D f ? D g ? {? 1,1}

x ?1
2

? f ( x ) ? g ( x ) ? 0, x ? {? 1,1}

例2.求下列两个函数的和函数:
? x, x ? 0 (1) f ( x ) ? ? , g ( x ) ? 2 x ? 3, x ? R ? ? x, x ? 0 ? 3 x ? 3, x ? 0 解:f ( x ) ? g ( x ) ? ? ? x ? 3, x ? 0
? x ? 1, x ? 1 ?3 x, x ? ?1 (2) f ( x ) ? ? , g ( x) ? ? ? x ? 1, x ? 1 ? 2 x, x ? ?1

? 4 x ? 1, x ? 1 ? 解: f ( x ) ? g ( x ) ? ? 4 x ? 1, ? 1 ? x ? 1 ? 3 x ? 1, x ? ? 1 ?

二、两个函数的积

一般地,已知两个函数
y ? f ( x ), x ? D1 , y ? g ( x ), x ? D 2 ,

设 D ? D1 ? D 2 , 若 D 不是空集,那么把函数
y ? f ( x ) ? g ( x ), x ? D

叫做函数 y ? f ( x ), y ? g ( x ) 的积(积函数). 例 f ( x ) ? 2 x , x ? [ ? 1, ?? ), g ( x ) ? 3 x , x ? ( ?? ,1] 则 f ( x ) ? g ( x ) ? 6 x 2 , x ? [ ? 1,1]

例3.求下列两个函数的积: 1 2 (1) f ( x ) ? x , g ( x ) ? (2) f ( x ) ?
x , g ( x) ? x

x f ( x ) ? g ( x ) ? x , x ? ( ?? , 0) ? (0, ?? )

f ( x ) ? g ( x ) ? x , x ? [0, ?? ) x ?1 x?2 , g ( x) ? (3) f ( x ) ? x?2 x ?1 D f ? ( ?? , 2) ? (2, ?? ), D g ? (1, ?? )
D f ? D g ? (1, 2) ? (2, ?? ) f ( x) ? g ( x) ? x ? 1, x ? (1, 2) ? (2, ?? )

(选用)三、一次函数的和函数及其图像探究 例4.(1)已知 f ( x ) 与 g ( x ) 都是一次函数,则它们 的和函数是什么类型的函数? 一次函数 或 常值函数 (斜率互为相反数) (2)根据 f ( x ), g ( x ) 的图像,画出 f ( x ) ? g ( x ) 的图像
f ( x) f ( x) ? g ( x)

y
g ( x)

y

f ( x) ? g ( x) f ( x)

g ( x)

O

x

O

x


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