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2.3.2.2平面与平面垂直的判定定理(第二课时)


例2、已知锐二面角?- l- ? ,A为面?内一点,A到 ? 的距离为 2 3 ,到 l 的距离为 4,求二面角 ?- l- ? 的大小。 解:过 A作 AO⊥ ?于O,过 O作 OD⊥ l 于D,连AD
A ? l ? OD, OD ? AO ? O, OD ? 平面AOD,AO ? 平面AOD ? ? l ? 平面AOD ? AD ? 平面AOD,l ? AD ∴∠ADO就是二面角 ?- l- ? 的平面角

? l ? ? ? l ? AO

D

∵ AO为 A到?的距离 , AD为 A到 l 的距离 O

l

∴AO= 2 3 ,AD=4 在R t △AOD中,

?

AO 2 3 3 ? ? . ∵sin∠ADO= AD 4 2
∴ ∠ADO=60° ∴二面角 ?- l- ? 的大小为60 °

二面角的有关计算:
1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 找到或作出中的角就是所求的角
3、计算出此角的大小

步骤:
一“作”二“证”三“计算”

练习:如图,四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是边长为2 的正方形,其他四个侧面都是侧棱长为 5 的等腰三角形, 试画出二面角V-AB-C的平面角,并求出它的度数.
V

D A

O
B

C

E

小结
1.二面角的定义
2.二面角的作法 (1)定义法 (2)三垂线法 (3)垂面法 3. 3.二面角的求解步骤 一“作”二“证”三“计算”

平面与平面垂直的判定
(第二课时)

一、复习引入
1、回答问题: (1) 什么样的图形叫二面角?二面角的大小怎么度量? (2) 教室的墙面与地面所在的平面相交,它们所成的

二面角是多少度?在日常生活中把两个平面的这种
关系称作什么位置关系?

一、复习引入
2、合作探究:
如图,把一个等腰直角三角形△ABC沿斜边 BC 上 的高 AD 折成一个二面角,当∠BAC = 60?时,此二 面角的大小是多少? 为什么?
B D A A B

D

C

C

二、讲授新课
1. 两个平面垂直的定义 定义: 两个平面相交,如果它们所成的二面角是 直二面角,那么就说这两个平面互相垂直. 图形表示:
β α α β

2.判定定理 问题:工人师傅在砌墙时,如何判断墙面与地面是 垂直的呢?

2.判定定理
问题:工人师傅在砌墙时,如何判断墙面与地面是 垂直的呢? 如图,已知 AB ? ? , AB ? ? ,求证: ? ? ?

证明:设 ? ? ? ? CD ,则由 AB ? ?知,AB与CD共面.

? AB ? ?,CD ? ?

平面与平面垂直的判定定理 ? AB ? CD, 垂足为点B. A 一个平面过另一个平面的垂线, D 在平面?内过点B作BE ? CD, 则这两个平面垂直. E 则?ABE是二面角? ? CD ? ? 的平面角. β B
简述:线面垂直,则面面垂直 又AB ? BE , C

α

即二面角? ? CD ? ? 是直二面角.

AB ? ? , AB ? ? ? ? ? ?

?? ? ?

针对性练习
1.过一条直线与一个平面垂直的平面的个数为( D ) A.1 B.2 C.无数 D.1 或无数

2.已知直线l , m,平面?,? ,且l ? ? , m ? ? , 给出下列四个命题: (1)若? // ? , 则l ? m;( 2)若l ? m,则? // ? ; (3)若? ? ? ,则l // m;( 4)若l // m , 则? ? ? .
B 其中正确的命题的个数是( )

A.1 C .3

B .2 D .4

3.应用举例 如图, AB是⊙O的直径, PA垂直于⊙O所在的平面, C是圆周上不同于A, B的任意一点, 求证: (1) BC⊥平面PAC; (2)平面PAC⊥平面PBC.
证明: (1)设⊙O所在的平面为α ∵ PA⊥平面α, BC在平面α内 ∴ PA⊥BC P

又∵C是圆周上不同于A,B的任意一 点,AB是⊙O的直径 A ∴∠BCA是直角,即AC⊥BC

C O B

又∵ PA与AC是△PAC所在平面内两条相交直线 ∴ BC⊥平面PAC (2)又∵ 直线BC在平面PBC内 ∴ 平面PAC⊥平面PBC

变式演练:
如图, 已知 P 是△ABC 所在平面外一点, PA = PB = PC , ∠BAC = 90?. 求证: 平面PBC⊥平面ABC. 证明: 设 O 是 BC 中点, 连结 PO, AO P 在△PBC中, 因为 PB = PC ∴PO⊥BC,OB = OC 又∵∠BAC = 90 ? O ∴OA = OB = OC B 又∵PA = PB = PC ∴△POA ≌ △POC ∴PO⊥OA 又∵BC与OA是平面ABC内两条相交直线 A
∴PO⊥平面ABC ∵PO在平面PBC 内

C

∴平面PBC⊥平面ABC

三、课堂练习 1、如图, 正方形 S G1G2G3中, E, F分别是 G1G2 ,G2G3 的 中点, D 是 EF 的中点, 现沿 SE, SF及 EF 把这个正方形折 成一个四面体, 使 G1 , G2 , G3 三点重合, 重合后点记为 G , 则四面体 S – EFG 中必有 ( A ) A. SG⊥△EFG所在的平面 B. SD⊥△EFG所在的平面 C. GF⊥△SEF所在的平面 D. GD⊥△SEF所在的平面
S

S
G F E

G3 F G2

D G1 E

D

三、课堂练习 2、如图,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,你发现哪些 平面互相垂直,为什么? 答:共有 3 对.
平面ABD⊥平面BCD; 平面ABC⊥平面BCD; 平面ACD⊥平面ABC.
B C D

A

3、正方体ABCD-A1B1C1D1中, 已知E,F,G,H分 别是A1D1,B1C1,D1D,C1C的中点. 求证:平面ABHG⊥平面DEFC D1 C
E F
G

1

A1

B1
O H

D

C B

A

四、小结与体会 1. 平面与平面垂直的判定定理说明: 可由直线与平面

垂直证明平面与平面垂直.
线线垂直

? 线面垂直 ? 面面垂直

2.可利用等腰三角形底边上的中线,或直角三角形的 两直角边确定线线垂直,进而确定线面垂直.

五、作业P93-94学生同步课时作业

4. ?、? 、? 、? 是四个不同平面,若? ? ? ,
B ? ? ? ,? ? ?,? ? ?,则( ) A.? // ? 且? // ? B .? // ? 或? // ? C .这四个平面中可能任意两个都不平行 D.这四个平面中至多有一对平面平行


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