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江苏省南京师范大学附属中学2014届高三模拟考试数学试题 Word版含答案


绝密★启用前

南京师大附中 2014 届高三模拟考试


注意事项:



2014.05

1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题 (第 15 题~第 20 题)两部 分.本试卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟. . 纸

上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸. .. 2.答题前,请务必将自己的姓名、班级写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题

1 参考公式:锥体的体积公式为 V= S h,其中 S 是锥体的底面面积,h 是高. 3

一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题 卡 相应位置上 . .. . ..... 1.设集合 A={x|-1<x<2},B={x|0< x<4,x∈N},则 A∩B= 1+ai 2.若复数 (i 是虚数单位)为纯虚数,则实数 a= ▲ 2-i . ▲ .
频率 组距

0.039 0.028 0.018 0.010 0.005

3.某时段内共有 100 辆汽车经过某一雷达测速区域,将测得 的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图.根据图 形推断,该时段时速超过 50km/h 的汽车辆数为 ▲ . 4.如图是一个算法流程图,则输出的 S 的值是 ▲ .

30

40

50

60

70

80

时速(km/h)

5.一只口袋内装有大小相同的 5 只球,其中 3 只黑球,2 只白球, 从中一次随机摸出 2 只球,至少有 1 只黑球的概率是 ▲ .
开始

(第3题图)

6.已知 α,β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线, 则“α⊥β”是“m⊥β”的 ▲ 条件. (填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要”或“既不充分也不必要” ) 7.函数错误!未找到引用源。的单调增区间是 ▲ .

? ?2x-y≥0, 8.设实数 x,y,b 满足?y≥x, ,若 z=2x +y 的最小值为 3, ? ?y≥-x+b
则实数 b 的值为 ▲ . 9.设 a,b 均为正实数,则错误!未找到引用源。的最小值是 ▲ .

n≤10
N
输出s 结束

Y

(第 4 题图) 10.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间
1

错误!未找到引用源。的一个特征向量为错误!未找到引用源。 ,求 ad-bc 的值.

C. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设点 A,
?x=3+cosθ B 分别在曲线 C1:? (θ 为参数)和曲线 C2:ρ=1 上,求线段 AB 的最小值. ?y=4+sinθ

D. (不等式选做题) 1 1 1 设 a,b,c 均为正数, abc=1.求证: + + ≥ a+ b+ c. a b c

22. 【必做题】 在一个盒子中放有大小质量相同的四个小球,标号分别为错误!未找到引用源。 ,错误! 未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,4,现从这个盒 子中有放回 地先后摸出两个小球,它们的标号分别为 x,y,记 ξ=|x-y|. ... (1)求 P(ξ=1); (2)求随机变量 ξ 的分布列和数学期望.

2

23. 【必做题】 有三种卡片分别写有数字 1,10 和 100.设 m 为正整数,从上述三种卡片中选取若干张, 使得这些卡片上的数字之和为 m.考虑不同的选法种数,例如当 m=11 时,有如下两种 选法: “一张卡片写有 1, 另一张卡片写有 10” 或“11 张写有 1 的卡片” , 则选法种数为 2. (1)若 m=100,直接写出 选法种数; (2)设 n 为正整数,记所选卡片的数字和为 100n 的选法种数为 an.当 n≥2 时,求数 列{an}的通项公式.

3

南京师大附中 2014 届高三模拟考试 数学参考答案及评分标准
说明: 1. 本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比 照评分标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和 难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续 部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.{1}; 充分; 7. ; 12. (0, 9 8. ; 4 6- 2 ) ; 2 9.4; 1 10.(0, )∪(5,+∞); 20 1 14. . 5 11.24; 2.2; 3.77; 4.5; 9 5. ; 10 6.必要不

13.-7<a≤0 或 a=2;

二、解答题: 15.解析:(1)因为错误!未找到引用源。 ,由正弦定理 得错误!未找到引用源。 , 即错误!未找到引用源。= 3sin(A+C) . 因为 B=π-A-C,所以 sinB=sin(A+C), 所以错误!未找到引用源。 . 因为 B∈(0,π),所以 sinB≠0, 所以错误 !未找 到引用源。 ,因为错误 !未找 到引 用源。 ,所以错误! 未找 到引用 源。 . ??????7 分 ??????2 分 ??????4 分

(2)由(1)知错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用 源。 . ??????8 分

设错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 ,又 错误!未找到引用源。 在△ AMC 中,由余弦定理 得错误!未找到引用源。

4

即错误!未找到引用源。 故 源。 16 . 解 析 : PA⊥CD, 错 误

解得 x=2. ! 未 找 到

??????12 分 引 用

??????14 分 ( 1 ) 因 为 PA⊥ 平 面 ABCD , CD? 平 面 ABCD , 所 以

???????2 分

又∠ACD=90° ,则错误!未找到引用源。 ,而 PA∩AC=A, 所 ACD, 所 PCD. 以 , 平 以 CD⊥ 平 面 PAC , 因 为 CD? 平 面

??????4 分 面 PAC⊥ ??????7 分 平 面

(2)证法一:取 AD 中点 M,连 EM,CM,则 EM∥PA. 因为 EM 错误!未找到引用源。平面 PAB,PA 错误!未找到引用源。平面 PAB, 所 PAB. 在 Rt△ ACD 中,AM=CM,所以∠CAD=∠ACM, 又∠BAC=∠CAD,所以∠BAC=∠ACM, 则 MC∥AB. 因为 MC 错误!未找到引用源。平面 PAB,AB 错误!未找到 引用源。平面 PAB, 所以 MC∥平面 PAB. ? ? ????12 分 而 EM∩MC=M,所以平面 EMC∥平面 PAB. 由 于 PAB. 证法二:延长 DC,AB 交于点 N,连 PN. 因为∠NAC=∠DAC,AC⊥CD, 所以 C 为 ND 的中点. 而 E 为 PD 中点,所以 EC∥PN.
B C A P E



EM∥

平 ??????9 分
P E



A B C

M

D

EC

错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 平



EMC , 从 而

EC∥ 平 面

??????14 分

D

5

N

因为 EC 错误!未找到引用源。平面 PAB,PN 错误!未找到引用源。平面 PAB, 所以 EC∥ 平面 PAB.

??????14 分

17.解析:正三棱锥展开如图所示.当按照底边包装时体积最大. 设正三棱锥侧面的高为 h0,高为 h . 3 3 由题意得: x+h0=10,解得 h0=10- x. 6 6

D'

D C

O A B

D''

??????2 分 则 h= x2 h02- = 12 = x∈(0,10 3) . 1 1 3 所以,正三棱锥体积 V= Sh= × x2× 3 3 4 = 10 3 100- x. 3 ??????8 分 (10- 3 2 x2 x) - 6 12 10 3 100- x 3 ??????5 分 10 3 100- x 3 3x2 12 ,

x4 10 3 100x4 10x5 设 y=V2= (100- x)= - , 48 3 48 48 3 求 8 3, 导 得 y′ = 100x3 12 - 50x4 48 3 , 令 y′ = 0 , 得 x =

??????10 分

当 x∈(0,8 3)时,y′>0,y 随着 x 的增加而增大, 当 x∈(8 3,10 3)时,y′<0,y 随着 x 的增加而减小, 所 以 , 当 值. x = 8 3 cm 时 , y 取 得 极 大 值 也 是 最 大

??????12 分

此时 y=15 360,所以 Vmax=32 15 cm3. 答 : 当 底 面 边 长 为 8 cm3. 3 cm 时 , 正 三 棱 锥 的 最 大 体 积 为 32 15

??????14 分
6

18 2.







:



1













a



??????1 分 因为 e= 又 因 3 c 3 ,即 = ,所以 c= 3. 2 a 2 为 b2 = a2 - c2 = 4 - 3 = 1 , 所 以 b =

1.

??????2 分

x2 (2)由题设可知,椭圆的方程为 +y2=1,直线 MN 的方程为 y=x-1. 4

?x +y2=1 ? 设 M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程组? 4 ,消去 y 可得 5x2-8x=0, ? ? y=x-1
8 解得 x1=0,x2= . 5 8 3 将 x1=0,x2= ,代入直线 MN 的方程,解得 y1=-1,y 2= . 5 5 所 2. 设与直线 MN 平行的直线 m 方程为 y=x+λ. 以 MN = ( x1-x2)2+(y1-y2)2 ??????4 分 = 8 5

2

?x +y2=1 ? 联立方程组? 4 ,消去 y 可得 5x2+8λx+4λ2-4=0, ? y=x+λ ?
若直线 m 与椭圆只有一个交点,则满足△=64λ2-20(4λ2-4)=0,解得 λ= ± 5. ?????6 分 当直线 m 为 y=x- 5时,直线 l 与 m 之间的距离为 d1= |-1-(- 5)| 5-1 = ; 2 2 |-1- 5| = 2

2

当 直 线 m 为 y = x + 5 时 , 直 线 l 与 m 之 间 的 距 离 为 d2 = 5+1 ; 2 ??????8 分

设点 C 到 MN 的距离为 d,要使△CMN 的面积为 S 的点 C 恰有两个, 则需满足 d1<d<d2,即 因 为 S = 1 2 5-1 5+1 <d< . 2 2 d·MN = 4 5 2 d , 所 以 4 5- 4 5 < S <

4 5+4 . 5

??????10 分

(3)方法一 设直线 A1M 的方程为 y=k1(x+2),直线 A2N 的方程为 y=k2(x-2).

7

?x +y2=1 ? 联立方程组? 4 ,消去 y 得(1+4k12)x2+16k12x+16k12-4=0, ? ?y=k1(x+2)
2-8k12 4k1 解得点 M 的坐标为( ). 2, 1+4k1 1+4k12 同 -4k2 ). 1+4k22 理 , 可 解 得 点 N 的 坐 标 为 ( 8k22-2 1+4k22 ,

2

??????12 分

-4k2 4k1 1+4k12 1+4k22 由 M,D,N 三点共线,有 = 2 ,化简得(k2-3k1)(4k1k2+1)=0. 2-8k12 8k2 -2 -1 -1 1+4k12 1+4k22 由 3k1. 题 设 可 知 k1 与 k2 同 号 , 所 以 k2 =

??????14 分

?y=k1(x+2) 2(k1+k2) 4k1k2 联立方程组? ,解得交点 G 的坐标为( , ). y = k ( x - 2) k2-k1 k2-k1 ? 1

2(k1+k2) 2(k1+3k1) 将 k2=3k1 代入点 G 的横坐标,得 xG= = =4. k2-k1 3k1-k1 所 上. 以 , 点 G 恒 在 定 直 线 x = 4

??????16 分

方法二 显然,直线 MN 的斜率为 0 时不合题意. 设直线 MN 的方程为 x=my+1. 令 m=0,解得 M(1, 当 M(1, x- 3. 3 3 3 3 ),N(1,- )或 M(1,- ),N(1, ). 2 2 2 2

3 3 3 3 3 ),N(1,- )时,直线 A1M 的方程为 y= x+ ,直线 A2N 的方程为 y= 2 2 6 3 2

?y= 63x+ 33 联立方程组? ,解得交点 G 的坐标为(4, 3 ?y= 2 x- 3
当 M(1,- 若 点 4. G

3);

3 3 ),N(1, )时,由对称性可知交点 G 的坐标为(4,- 3). 2 2 恒 在 一 条 定 直 线 上 , 则 此 定 直 线 必 为 ??????12 分 x =

下面证明对于任意的实数 m,直线 A1M 与直线 A2N 的交点 G 均在直线 x=4 上. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),G(4,y0).

8

y1-0 y0 6y1 由点 A1,M,G 三点共线,有 = ,即 y0= . x1+2 4+2 x1+2 y2-0 y0 2y2 再由点 A2,N,G 三点共线,有 = ,即 y0= . x2-2 4-2 x2-2 所以, 6y1 2y2 = .① x1+2 x2-2

将 x1 = my1 + 1 , x2 = my2 + 1 代 入 ① 式 , 化 简 得 2my1y2 - 3(y1 + y2) = 0. ② ??????14 分
2

?x +y2=1 ? 联立方程组? 4 ,消去 x 得(m2+4)y2+2my-3=0, ? ?x=my+1
-2m -3 从而有 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 . m +4 m +4 将其代入②式,有 2m· -3 -2m -3· 2 =0 成立. 2 m +4 m +4

所 以 , 当 m 为 任 意 实 数 时 , 直 线 A1M 与 直 线 A2N 的 交 点 G 均 在 直 线 x = 4 上. ??????16 分

19.解析: (1)①由数列{an}是等差数列及 a1+a2+a3=9,得 a2=3, 由 3. 数 列 {bn} 是 等 比 数 列 及 b1b2b3 = 27 , 得 b2 =

??????2 分 设数列{an}的公差为 d,数列{bn}的公比为 q, 若 m=18,
? ?3+2d=3q, 则有? 2 ?3q -3q=18. ? ? ?d=3, 解得? ?q=3; ?



?d=-9, ? 2 ? ?q=-2. ?
通 项 公 式 为
?an=3n-3, ? ? n-1 ? ?bn=3 ;







{an}



{bn}





9 ? ?an=-2n+12, ? ? ?bn=3(-2) n-2.

??????4 分

② 由题设 b4-b3=m,得 3q2-3q=m,即 3q2-3q-m=0(*) . 因为数列{bn}是唯一的,所以 若 q =0,则 m=0,检验知,当 m=0 时,q=1 或 0(舍去) ,满足题意; 3 1 若 q≠0,则(-3)2+12 m=0,解得 m=- ,代入(*)式,解得 q= , 4 2 又 b2=3,所以{bn}是唯一的等比数列,符合题意.

9

所 3 . 4





m=0

或 ??????8 分



(2)依题意,36=(a1+b1) (a3+b3), 3 设{bn}公比为 q,则有 36=(3-d+ )(3+d+3q), (**) q 3 记 m=3-d+ ,n=3+d+3q,则 mn=36. q 将 ( ** ) 中 的 q 消 去 , 整 理 得 : 0 ??????10 分 n-m+ (m-n)2-12(m+n)+144 n-m+ (m+n-6)2-36 d 的大根为 = 2 2 而 m,n∈N*,所以 (m,n)的可能取值为: (1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6),(9,4),(12,3),(18,2),(36,1) . 所 以 , 当 m = 1 , n = 36 时 , d 的 最 大 值 为 d2 + (m - n)d + 3(m + n) - 36 =

35+5 37 . 2 20 . 解 析 : ( 1 ) 当 0), 由 f ′(x) > 0 得 : x >

??????16 分 a = 1 时 , f 2(x2+x-1) ′(x) = (x > x

??????1 分 -1+ 5 2 ; 由 f ′(x) < 0 得 : 0 < x <

-1+ 5 . 2

??????2 分 - 1+ 5 , + ∞) , 单 调 减 区 间 为 2

所 以 , f(x) 的 单 调 增 区 间 为 ( -1+ 5 (0, ) . 2 ??????3 分

(2)当 a=2 时,设切点为 M (m,n) . 2 f ′(x)=4x+3- ( x>0), x 2 所以,切线的斜率 k=4m+3- . m 又 直 线 OM 的 斜 率 为

2m2+3m-2lnm , m

??????5 分

2 2 2m +3m-2lnm 所以,4m+3- = ,即 m2+lnm-1=0, m m

又函数 y=m2+lnm-1 在(0,+∞)上递增,且 m=1 是一根,所以是唯一根,
10

所 1.

















??????7 分 1 (3)a=- 时,由函数 y=f(x)在其图象上一点 P(x0,y0)处的切线方程为: 4 y = ( - 1 3 2 1 3 x + - )(x - x0) - x2 + x 2 0 4 x0 4 0 4 0 ??????8 分 1 3 2 1 3 令 h(x)=(- x0+ - )(x-x0)- x02+ x0-2ln x0, 2 4 x0 4 4 设 F(x)=f(x)-h(x),则 F(x0 )=0. 1 3 2 1 3 2 且 F ′(x)=f ′(x)-h ′(x)=- x+ - -(- x0+ - ) 2 4 x 2 4 x0 = - 1 2 2 1 (x - x0) - ( - ) = - (x - x0) 2 x x0 2x ??????10 分 4 4 F(x) 当 0<x0<2 时, >x0,F(x)在(x0, )上单调递增,从而有 F(x)>F(x0)=0,所以, x0 x0 x-x0 (x - - 2ln

x0.

4 ) x0

>0; 4 4 F(x) 当 x0>2 时, <x0,F(x)在( ,x0)上单调递增,从而有 F(x)<F(x0)=0,所以, >0. x0 x0 x-x0 因 此 , y = f(x) 在 (0 , 2) 和 (2 , + ∞) 上 不 存 在 “ 巧 点”. ??????13 分 (x-2)2 当 x0=2 时, F ′(x)=- ≤0,所以函数 F(x)在(0,+∞)上单调递减. 2x F(x) F(x) 所以,x>2 时,F(x)<F(2)=0, <0;0<x<2 时,F(x)>F(2)=0, <0. x-2 x-2 因 2. 此 , 点 (2 , f(2)) 为 “ 巧 点 ” , 其 横 坐 标 为

??????16 分

南京师大附中 2014 届高三模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准
2014.05
.. 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答卷 ...... 纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. C
B

11

E D A

A.选修 4—1:几何证明选讲 解析:连接 BC,错误!未找到引用源。相交于点错误!未找到引用源。 . 因为 AB 是线段 CD 的垂直平分线, 所以 AB 是圆的直径,∠ACB=90° . ? ? ????2 分 设错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 ,由射影定理得 CE2=AE·EB,又错误!未找到引用源。 , 即有错误!未找到引用源。 ,解得错误!未找到引用源。 (舍)或错误!未找到引用源。 ??????8 分 所 以 , AC 源。 . B.选修 4—2:矩阵与变换 解析:由特征值、特征向量定义可知,A 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误! 未找到引用源。 , 即 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。, 得 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。 ??????5 分 同理可得错误!未找到引用源。 解得错误!未找到引用源。 . 因 4. C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解析:将曲线 C1 的参数 θ 消去可得(x-3)2+(y-4)2=1. 将 1. 曲 线 C2 化 为 直 角 坐 标 方 程 为 x2 + y2 = 此 ad - bc = 2 - 6 = -
2

= AE·AB = 5×6 = 30 , 错 误 ! 未 找 到 引 用 ??????10 分

??????10 分

??????5 分 曲线 C1 是以(3,4)为圆心,1 为半径的圆;曲线 C2 是以(0,0)为圆心,1 为半径的圆, 可求得两圆圆心距为 32+42=5, 所 以 , AB 的 最 小 值 为 5 - 1 - 1 =

3. D.选修 4—5:不等式选讲

??????10 分

12

1 1 2 1 1 2 1 1 2 证明:由 a,b,c 为正数,根据平均值不等式,得 + ≥ , + ≥ , + ≥ . a b ab b c bc c a ca 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 将此三式相加,得 2( + + )≥ + + ,即 + + ≥ + + . a b c a b c ab bc ca ab bc ca

??????5 分 由 abc=1,则有 abc=1. 所 以 , c. 22 源。 ; . 解 析 : 1 1 1 + + ≥ a b c abc + ab abc + bc abc = ca a + b +

??????10 分 ( 1 ) 错 误 ! 未 找 到 引 用

??????3 分 0, 1 , 2 ,

( 2 ) 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 的 所 有 取 值 为 3. ??????4 分

错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。,错误!未找到引 用源。 . 则随机变量错误!未找到引用源。的分布列为 错误! 未 找到引 用源。 错误! 未 找到引 用源。 错误! 未 找到引 用源。 错误! 未 找到引 用源。 错误! 未 找到引 用源。 错误! 未 找到引 用源。 错误! 未 找到引 用源。 错误! 错误! 未 未找到 找到引 引用 用源。 源。 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 的 数 学 期 望 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。 . 23 12. . 解 析 : ( 1 ??????10 分 ) m = 100 , 共 有 选 法 种 数 为 3

??????3 分

(2) 若至少选一张写有 100 的卡片时, 则除去 1 张写有 100 的卡片, 其余数字之和为 100(n -1), 有 an-1 种选法;

13

若不选含有 100 的卡片,则有 10n+1 种选法. 所
1






an



10n



1



an



??????8 分 从而,an=(an-an-1)+(an- 1-an-2)+···+(a2 -a1)+a1 =10n+1+10(n-1)+1+···+10×2+1+a1 (n+2)(n-1) =10 +n-1+a1 2 =5n2+6n+1 所 以 , {an} 的 通 项 公 式 是 an = 5n2 + 6n +

1.

??????10 分

14


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